Родился 23 июня 1964 года в Москве, на Плющихе в семье Алексеевых Аркадия Павловича и Людмилы Георгиевны. Аркадий Павлович Алексеев — отец поэта, родился в многодетной семье, в Москве на той же Плющихе. В годы Великой Отечественной войны две старшие сестры и брат воевали на фронте, а младший Аркадий был определен в Суворовское военное училище. По окончании учебы служил в армии, а позже, выйдя в отставку, работал инженером-конструктором в КБ Томилинского электровакуумного завода. Аркадий Павлович обладал незаурядными творческими способностями: постоянно что-то изобретал и усовершенствовал, на работе подавал много рацпредложений, прекрасно рисовал, писал стихи и прозу. Серьезно увлекался музыкой, играл в любительском джазовом оркестре. Людмила Георгиевна Алексеева — мать поэта, родилась в Москве, жила на Плющихе, имеет высшее образование, которое получила на юридическом факультете Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова. После окончания университета работала прокурором в прокуратуре Московской области, а затем была избрана судьей Московского областного суда. Имеет почетное звание — заслуженный юрист Российской Федерации. Детство и отрочество Терентiя прошло в центре Москвы, в 3-м Ростовском переулке. Дом, в котором жил поэт, когда-то принадлежал фабриканту Василию Сушкину, и за ним так и сохранилось название — Сушкин дом. Стоял дом на высоком холме — левом берегу Москвы-реки, имеющем давнее историческое название Мухина гора, на современных картах Москвы это место обозначено, как Ростовская набережная. Первый официальный поэтический сборник Травнiка вышел в свет в 2007 году и назывался «Сушкин дом на Мухиной горе».