Cálculo Diferencial e Integral III

UNIDAD 1. Funciones de ℝ en ℝN

↗️ 1.1 Funciones de ℝ en ℝN como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.

↗️ 1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.

↗️ 1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.

↗️ 1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de arco, comparación de parametrizaciones.

↗️ 1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.

↗️ 1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.

↗️ 1.7 Fórmula de Frenet y Serret (opcional).

UNIDAD 2. Espacios normados (opcional)

↗️ 2.1 Espacios vectoriales, normas en ℝN.

UNIDAD 3. Topología de ℝN y funciones de ℝN en ℝM

↗️ 3.1 Conjuntos abiertos, cerrados, frontera.

↗️ 3.2 Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine y Borel (opcional), producto de compactos.

↗️ 3.3 Conexidad y conexidad relativa.

↗️ 3.4 Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

↗️ 3.5 Funciones de ℝN en ℝM, límites y continuidad.

↗️ 3.6 Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.

↗️ 3.7 Teorema de Bolzano y Weierstrass.

↗️ 3.8 Funciones continuas en compactos.

UNIDAD 4. Funciones de ℝN en ℝ

↗️ 4.1 Conjuntos de nivel y gráficas.

↗️ 4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.

↗️ 4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición de puntos críticos.

↗️ 4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.

↗️ 4.5 Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.

UNIDAD 5. Transformaciones (opcional)

↗️ 5.1 Matrices, determinantes, y resolución de sistemas.

↗️ 5.2 Valores y vectores propios.

↗️ 5.3 Formas bilineales y cuadráticas.

UNIDAD 6. Funciones de ℝN en ℝM

↗️ 6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.

↗️ 6.2 Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones, ejemplos.

↗️ 6.3 Teorema del rango (opcional).

↗️ 6.4 Definición del operador de divergencia, laplaciano y rotacional.

↗️ 6.5 Ejemplos.

UNIDAD 7. Máximos y mínimos

↗️ 7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla, lema de Morse (opcional).

↗️ 7.2 Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.

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