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¿Qué es el método de Gauss Seidel?
El método de Gauss-Seidel es un algoritmo numérico utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales, especialmente aquellos que surgen en problemas de ingeniería, física y matemáticas aplicadas. Este método es una variante del método de relajación, que a su vez es una forma de iteración para resolver sistemas de ecuaciones.
El método de Gauss-Seidel se utiliza principalmente para sistemas de ecuaciones lineales grandes y densos, es decir, aquellos en los que hay muchas ecuaciones y muchas incógnitas. Funciona iterativamente para encontrar la solución al sistema, aproximándose más y más a la solución exacta en cada paso.
El proceso consiste en tomar una estimación inicial para las incógnitas y luego iterar sobre cada ecuación, actualizando las incógnitas una a una en función de las estimaciones anteriores. Esto se repite hasta que se alcanza una precisión deseada o hasta que se cumplen ciertas condiciones de convergencia.
El método de Gauss-Seidel es útil porque puede ser más eficiente que otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales para ciertas clases de problemas, especialmente cuando se trata de matrices grandes y densas. Sin embargo, su convergencia no está garantizada para todos los sistemas, y su eficacia puede depender de la estructura particular del sistema de ecuaciones.
Un poco sobre su historia:
El método de Gauss-Seidel lleva los nombres de dos matemáticos prominentes que contribuyeron a su desarrollo: Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Gauss fue un matemático, astrónomo y físico alemán que hizo contribuciones significativas en varios campos de las matemáticas y la física. Es conocido por numerosos teoremas y resultados en álgebra, análisis matemático, geometría diferencial, estadística, teoría de números, entre otros. Gauss sentó las bases para muchos métodos numéricos, incluido el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896): Seidel fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números y el análisis numérico. Es especialmente conocido por su trabajo en métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que culminó en el desarrollo del método de Gauss-Seidel.
La historia del método de Gauss-Seidel se remonta al siglo XIX, cuando Seidel estaba investigando métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Basándose en el trabajo previo de Gauss y otros matemáticos, Seidel desarrolló un enfoque iterativo que demostró ser efectivo para ciertas clases de problemas. Este método fue formalizado y refinado a lo largo del tiempo, y hoy en día se enseña ampliamente en cursos de álgebra lineal y análisis numérico debido a su utilidad y aplicabilidad en una variedad de campos.
Aquí tenemos una breve explicación sobre el método de Gauss Seidel ➡️➡️
Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Seidel:
Formar las ecuaciones en términos de x, y, z:
Sustituir estos valores en las ecuaciones para encontrar nuevas estimaciones
Usar las nuevas estimaciones para calcular los valores actualizados:
Repetir el proceso hasta que las estimaciones converjan: Continuamos este proceso hasta que las diferencias entre los valores x, y, z en dos iteraciones consecutivas sean pequeñas (por ejemplo, menores a una cierta tolerancia).
A continuación método de gauss seidel en GeoGebra, donde puedes verificar el ejercicio anterior:
➡️Pulsa Aquí para ingresar al método de la regla de jacobi en colab. ⬅️
Aquí podemos comprobar a operabilidad, aplicando el método y graficando con ayuda de librerías:
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