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La prova di esame consiste nella valutazione delle attività prodotte durante i laboratori obbligatori (40%) e da una prova orale sul programma effettivamente svolto (60%).
PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO E SUL QUALE SI BASA LA PROVA D'ESAME:
Antinomia dell'insegnante
Definizione di difficoltà in matematica: alunno, insegnante, matematica e loro relazioni
Competenza matematica secondo OCSE-PISA
Classificazione dei problemi matematici: Riproduzione; Connessione; Riflessione con esempi.
La somma dei primi 100 numeri: soluzione proposta da Gauss
Scene di casi "problematici", osservazione
I numeri razionali. Concetto di "commensurabilità" e "incommensurabilità". I numeri irrazionali e il problema della misura.
Le frazioni con n e m nei numeri naturali. Frazioni apparenti, proprie e improprie. Esempi ed applicazioni nella didattica.
Analisi delle Scene dal libro di testo e classificazione come Gravi - Meno Gravi. Per ogni scena analisi delle ragioni per cui venissero classificate come gravi o meno gravi. Osservare, interpretare, giudicare, le diverse fasi della valutazione.
L'errore, rapporto tra errore e difficoltà. Assenza di errore implica nessuna difficoltà? Il compromesso delle risposte esatte. Testimonianze di filosofi e matematici. Esempio della circonferenza, segmento, corda, diametro, raggio....domanda aperta o quiz a risposta multipla?
Ancora sulla "commensurabilità dei numeri razionali" numerosi esempi concreti e proposte didattiche.
Il Teorema di Pitagora, enunciato e proposte didattiche per la scuola primaria. Attività di laboratorio per la presentazione del teorema di Pitagora che vale per ogni triangolo rettangolo. L'importanza del contesto.
Relazione tra Logica Proposizionale e Insiemi. Relazione tra Proposizione-Insieme; connettivi logici e operazioni tra insiemi; Esempi ed casi concreti.
Apprendimento come attività costruttiva. Importanza del contesto. Esempi: moto rettilineo uniforme in contesto (tubo a spirale); Esempio di Piaget sulla "quantità numerica". Esempio implicazione logica: carte con lettere e numeri (contesto astratto e poco realistico), casi equivalenti, controllo al Bar o affrancatura lettere.
Contesti e Scopi, pragamatica. Contesto e razionalità, il pensiero logico-scientifico e pensiero narrativo. Raccontare il contare, costruire un racconto. Prime interpretazioni: Johnnie e gli errori sistematici. Il concetto di uguale.
Il problema degli studenti e professori, le variabili non come etichette. Misconcetti e Modelli primitivi: altezza nei triangoli; moltiplicazione come operazione che "ingrandisce" e divisione come operazione che "rimpicciolisce"; il segno - e i valori negativi; la tangente ad una curva; l'uso delle parentesi, il caso del rombo e del quadrato. Analisi dei casi proposti. I misconcettti sulle frazioni.
I modelli primitivi: esempio grano - farina (Fischbein, 1989), le tangenti.
Il progettto ArAl.
Come riconoscere i misconcetti.
Convinzioni su di sé; sugli obiettivi; sulle aspettative (dell'insegnante, della famiglia, dello studente); sul successo in matematica e sulla matematica. I problemi eteroposti e i problemi endoposti. La responsabilità.
Esempi di didattica con il foglio a quadretti: il numero; l'addizione, la moltiplicazione e la divisione usando i quadratini del quaderno.
Problemi. Esempi concreti di problemi: il problema di Tizio in ritardo (velocità, spazio e tempo); Il problema di Carlo (quaderno e due penne). Il problema del quadrato e del parallelogramma (che ha il lato del quadrato come altezza).
Test sul problema. Decisioni e Scelte.
Riflessioni su Intelligenza Artificiale e Giovani: rischi e benefici
Definizione di numero naturale come serie di "uno". Utilizzando questa definizione introduzione delle seguenti tematiche: Uguaglianza tra numeri naturali. Concetto di minore e maggiore. Somma tra numeri naturali e operazioni. Rappresentazione algebrica con l'uso di lettere e simboli. La differenza (partendo dalla addizione). Moltiplicazione di due numeri naturali e proprietà. Esercizio sulla ricerca dei fattori, propedeutico all'introduzione della divisione tra due numeri naturali (con resto zero).
Con il metodo pratico (numero naturale come serie di "uno"), introduzione del concetto di sottrazione e divisione partendo dal concetto di addizione e moltiplicazione. Esercizi preliminari di scoposizione di un numero naturale prima nella somma di due addendi (come preparazione al concetto di sottrazione) e poi come prodotto di due fattori (come introduzione al concetto di divisione). Introdotti i concetti di: divisore, numero primo e quadrato perfetto. Esempi ed esercizi. Introduzione della notazione romana per "dieci", "cento", "mille". Primi esempi
Introduzione del sistema indo-arabico posizionale. Introduzione dei numeri da 1 a 9. Passaggio dal numero additivo al numero posizionale. Operazioni di somma e prodotto - passaggio dal numero additivo al numero posizionale. Algoritimo per l'addizione usando la scomposizione del numero in "miglialia, centinaia, decine e unità". Algoritmo della moltiplicazione usando la proprietà distributiva dopo aver scomposto il numero come somma di "miglialia, centinaia, decine e unità". Moltiplicazioni con 1 cifra, 2 cifre, 3 cifre e relazione con la proprietà distributiva. Esempi concreti.
La tavola Pitagorica. (si ringrazia il Prof. Paolo MAROSCIA, Sapienza Università di Roma, per aver fornito i seguenti spunti nel corso del seminario tenuto presso l'Università di Foggia il 24 marzo 2025 dal titolo "C’era una volta la tavola pitagorica ...Altro che tabelline!). Tutto il contenuto che segue è stato trattato a lezione, non necessita di materiale didattico aggiuntivo, solo la tavola pitagorica 10x10 e la capacità di osservazione. Costruzione della tavola pitagorica come scacchiera (tabella o matrice) 10x10. Simmetria rispetto alla diagonale principale. Rango 1 della tavola pitagorica, significato e implicazione. Perché i numeri pari sono in numero maggiore rispetto ai dispari? Di quanto? Cosa succede nel caso 9x9 (eliminando la riga 10 e la colonna 10)? Perché la successione delle ultime cifre dei primi 9 quadrati disposti sulla diagonale principale, a metà si inverte: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1? E' vero che i prodotti delle coppie di numeri situati nei vertici opposti di un rettangolo contenuto nella scacchiera sono sempre uguali tra loro? E' vero che i prodotti dei numeri situati sulle diagonali di un quadrato contenuto nella scacchiera sono sempre uguali tra loro? E' vero che ogni numero (non sul bordo) della tavola pitagorica è la media aritmetica degli otto numeri che lo circondano?
Tavola Pitagorica e i legami nascosti con il Triangolo di Tartaglia. La prima, la terza e la quinta sopradiagonale sono costituite da numeri pari: perchè? I numeri della prima sopradiagonale sono del tipo n(n+1) e prendono il nome di "numeri oblunghi" e divisi per 2 forniscono esattamente i numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15...(i numeri triangolari nel Triangolo di Tartaglia). I numeri triangolari e il numero di combinazioni di n+1 oggetti a 2 a 2. La geometria della tavola pitagorica. Problema 1: Quanti sono i quadrati contenuti nella tavola pitagorica 10x10? E in generale in una tavola n x n ? Problema 2: Quanti sono i rettangoli contenuti nella tavola pitagorica 10 x 10? E quelli in una tavola n x n? Identità di Nicomaco di Gerasa, che lega il quadrato della somma dei primi n numeri con la somma dei cubi dei primi n numeri, dimostrata partendo dalla tavola Pitagorica.
TESTI DI RIFERIMENTO: Rosetta Zan, Difficoltà in matematica. Osservare, interpretare, intervenire, Editore: Springer Verlag, ISBN: 8847005833
Per la sezione relativa ai numeri naturali non sono necessari libri di testo poiché la costruzione proposta nasce dalla definizione empirica di numero naturale come indicato nel programma dettagliato.
Per la sezione relativa alla tavola pitagorica, tutto il contenuto è stato trattato a lezione, non necessita di materiale didattico aggiuntivo, solo la tavola pitagorica 10x10 e la capacità di osservazione.
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