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Lo que veremos en este apartado y el siguiente valdrá para las variables cualitativas y las cuantitativas discretas. En el punto siguiente sabremos qué pasa con las variables cuantitativas continuas.
Se llama tabla de frecuencias a una tabla en la que se relacionan los distintos resultados de la variable con la cantidad de veces que han aparecido dichos resultados. Un ejemplo es la siguiente en la que se recogen el número de DVDs/CDs de música de una musipedia.
Los conceptos que vamos a reflejar en las tablas van a tener una representación que es necesario que conozcas. Ya hemos definido en la parte anterior qué se entiende por variable estadística: lo que estudiamos de la población. Vamos a representar la variable que se está estudiando por la letra x. Si suponemos ordenados de alguna manera los posibles valores de esa variable, llamaremos x1 al primer valor, x2 al segundo y así sucesivamente. En general, la columna donde vamos a colocar esos resultados la encabezaremos por el símbolo xi para indicar que están todos los valores; cada uno con su subíndice u orden correspondiente.
Se llama frecuencia absoluta al número de veces que aparece un determinado resultado de la variable estadística entre todos los datos que se han recogido. Vamos a representarla genéricamente por la letra f.
Si hemos entrevistado a 600 personas, de las cuales 250 han sido hombres y el resto
mujeres, la frecuencia absoluta del resultado Hombres sería 250 y del resultado Mujeres sería 350.
Importanlllte
Importanlllte
3. Gráficas
3. Gráficas
No exageramos si decimos que la estadística es una parte de las matemáticas omnipresente en nuestra vida. Las empresas, públicas y privadas, presentan sus campañas, su evolución y su estado actual a través de tablas de datos y gráficos. En la educación, se estudian los resultados obtenidos por el alumnado para saber si la evolución es positiva o no. En los medios de comunicación, a pesar de los llamativos titulares, mucha información se complementa y fundamenta a través de tablas numéricas y todo tipo de representaciones: en las elecciones, en la evolución de los accidentes de carretera, del precio de la bombona de butano, del rendimiento de un deportista... Y muchos más, como el que te mostramos en la imagen.
Animales en extinción en España. Imagen de José Alberto Bermúdez en el banco de imágenes del ITE
Licencia Creative Commons by-nc-sa
Como en los medios de comunicación el tiempo y el espacio son muy importatnes, cada vez es más usual que informaciones numéricas se ofrezcan mediante gráficos estadísticos. Esto se hace así por varias razones: cupan menos espacio, atraen más la atención, comparan fácilmente elementos entre sí y permiten asimilar más información de un solo vistazo. Sin embargo, hay que ser muy críticos con las gráficas que aparecen en los medios, pues no es raro que tengan errores significativos e incluso que estén manipuladas para llevarnos a confusión. Esto es especialmente habitual en el caso de la publicidad.
En este apartado vamos a ver los gráficos más usuales que se suelen utilizar en la estadística, y que encontrarás en los medios de comunicación.
Curiosidad
Curiosidad
En muchas ocasiones, las matemáticas han avanzado gracias al esfuerzo de personas que no eran matemáticas profesionales. Sin embargo, utilizaron las matemáticas para resolver problemas cotidianos con los que se encontraban. Una de esas personas fue la inglesa Florence Nightingale (1820,1910), quien está considerada como la creadora de la enfermería moderna y una de las primeras personas en utilizar los datos estadísticos para fundamentar sus ideas.
En el siguiente enlace a un vídeo puedes apreciar cómo utilizó los gráficos estadísticos (algunos de los cuales inventó ella misma) para reducir drásticamente la mortalidad en los hospitales.
Si, tras ver el vídeo, te apetece conocer algo más de la vida de esta apasionante mujer; puedes visitar el siguiente enlace en el que se habla de su vida, de sus conocimientos matemáticos (fue la primera mujer en ser admitida en la Sociedad Estadística de Inglaterra) y del principal gráfico que inventó.
3.1 Con barras y sectores
3.1 Con barras y sectores
Si vas a una librería y hojeas un libro ilustrado, ¿qué es lo primero en lo que te fijas? Estamos seguros de que, igual que nosotros, primero te fijas en las fotos y las ilustraciones que aparecen y, en el caso de que alguna te atraiga especialmente, después lees el pie de foto o el texto que acompañe a la ilustración.
Esta atracción por las ilustraciones es la que hace que nos sea más fácil y atractivo ver cualquier tipo de información numérica mediante un gráfico. En este apartado vamos a ver los gráficos más usuales que puedes encontrarte.
Libro ilustrado mediaval. Imagen del ITE en el banco de imágenes del ITE
Licencia Creative Commons by-nc-sa
Importante
Importante
El gráfico o diagrama de sectores está formado por un círculo dividido en sectores circulares, de forma que los ángulos de cada sector sean proporcionales a la frecuencia del resultado representado.
Esta representación gráfica puede utilizarse con cualquier tipo de variable. A la hora de representar los resultados, da igual que la frecuencia sea absoluta o relativa o incluso que se trate deel %. Como el círculo completo es proporcional al total y cada sector a una parte, en todos los casos el gráfico sería el mismo.
Diagrama de sectores. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Aprende a hacerlo
Vamos a construir el diagrama de sectores correspondiente a la siguiente distribución de colores del pelo de 100 personas.
Puedes elaborar este tipo de gráficos fácilmente mediante la hoja de cálculo. En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver la tabla y el gráfico anterior.
Para elaborar el gráfico a partir de la tabla se ha procedido de la siguiente forma:
Se ha hecho click sobre el icono y se ha elegido el tipo de diagrama en el cuadro de diálogo que aparece. En este caso el de sectores.
Se han seleccionado las columnas correspondientes a los valores xi y la de los % (debes utilizar la tecla control ya que las dos columnas no son contiguas).
A continuación se ha hecho click en la opción 4. Elementos del gráfico y se ha rellenado el campo correspondiente al Título (hemos puesto DISTRIBUCIÓN DEL COLOR DEL PELO). Hemos dejada marcada la opción Mostrar leyenda.
Hemos pulsado en el botón Finalizar para obtener el gráfico en formato básico.
Para conseguir que aparezcan los % al lado de cada sector se procede de la siguiente forma:
Hacemos click con el botón sobre el cículo y seleccionamos la opción Propiedades del objeto.
En el cuadro de diálogo que aparece debes hacer click sobre la pestaña Etiquetas de datos y activar la opción Mostrar valores como porcentajes y finalmente hacer click en el botón Aceptar.
Importante
Importante
El diagrama de barras es un gráfico formado por unos ejes coordenados en los que se representan, en el eje horizontal, separados regularmente, los distintos resultados de la variable y, en el eje vertical, adecuadamente dividido, los valores de la frecuencia correspondiente a cada resultado. Sobre cada uno de los resultados se eleva una barra, del mismo grosor, cuya altura equivale a la frecuencia que estemos representando.
El diagrama de barras se utiliza con las variables cualitativas y las cuantitativas discretas. Para las variables continuas, necesitaremos una variación que veremos más adelante.
Se llama polígono de frecuencias a la línea que une los extremos superiores de las barras.
En el siguiente enlace puedes elaborar un diagrama de barras sobre el número de hijos en 30 familias.
En el siguiente enlace a un documento puedes ver el diagrama de barras elaborado con los mismos datos de la actividad sobre la distribución del color del pelo y creado con OpenOffice.calc. La forma de elaborar el diagrama es análoga a la del de sectores pero especificando como tipo gráfico el decolumnas y como datos a representar las frecuencias absolutas.
Diagrama de barras. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Tarea
Tenemos una bolsa donde hay bolas de cinco colores diferentes: rojo, verde, azul, amarillo y turquesa. Sacamos bolas, anotamos su color y volvemos a dejarlas en la bolsa. Obtenemos el siguiente conjunto de valores:
Ro, Ve, Ve, Am, Tu, Ro, Am, Az, Tu, Ro, Ve, Tu, Am, Am, Am, Ve, Az, Ro, Az, Tu, Az, Ro, Ro, Ve, Ve.
Construye la tabla de frecuencias absoluta y relativa y dibuja los diagramas de barras y sectores correspondientes a esos datos.
Bolas. Imagen del ITE en el banco de imágenes del ITE
Licencia Creative Commons by-nc-sa
Curiosidad
Curiosidad
A veces se representa el polígono de frecuencias sin representar el diagrama de barras. Esto suele ser muy corriente en los medios de comunicación, en los cuales es usual ver gráficas lineales a trozos que en realidad son polígonos de frecuencias. Observa, por ejemplo, el siguiente gráfico en el que se recogen los nacimientos en una población desde el año 2005 al 2010.
En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el diagrama anterior y la tabla de datos en la que se basa. La forma de elaborar el diagrama es análoga al de sectores y de barras pero especificando como tipo gráfico el de Línea y como datos a representar las columnas correspondientes a niños y niñas. Prueba a modificar algunos de los datos de la tabla y elementos del diagrama (fuentes, colores, etc.).
Pensamos que uno de los objetivos primordiales de la educación es preparar a las personas para afrontar la vida social y laboral en que van a desenvolverse. Para que ello se haga de forma óptima, las personas deben aprender a ser críticas con aquello a lo que se enfrentan. Es por ello que cualquier consumidor de medios de comunicación debe enfrentarse a la información que le llega con criterio y examinando la veracidad o no de la noticia.
Por ejemplo, en el siguiente gráfico de tránsitos demotos y de personas menores de 18 años por una avenida podemos observar como la amplitud de los sectores no se corresponden con los porcentajes (%) que representan. Como puedes comprobar, el sector de las motos se corresponde con porcentaje del 25% (ya que abarca un cuadrante) y no un 10%. El sector de los menores de 18 años representa una zona inferior al 50%(abarca menos que un semicírculo) y no un 60% como se indica en el diagrama.
Este tipo de errores son realizados a veces de forma imprevista y otras veces de forma intencionada. Así, por ejemplo, en publicidad es muy común realizar este tipo errores con el fin de llamar la atención sobre un determinado producto o servicio, haciendo por ejemplo que las barras de un diagrama no estén realizadas todas en la misma escala, De esta forma dos barras que deberían tener poca diferencia se presenten una mucho más alta que la otra.
En en el diagramasde barras de la siguiente imagen puedes comprobar este tipo de errores. Observa las alturas y las frecuencias que representan las distintas barras.
Errores en diagramas de sectores. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Observa como la columna del canal 2 está totalmente desproporcionada con respecto a las demás y la del canal 3 tiene una altura mayor al doble de la del canal 4.
3.2 Para lo continuo
3.2 Para lo continuo
En el apartado anterior hemos estudiado los diagramas estadísticos de barras y de sectores, que se emplean para la representación de variables cualitativas y cuantitativas discretas. Ahora vamos a ver cómo podemos representar gráficamente los datos asociados a una variable cuantitativa continua.
Importante
Importante
El histograma es la representación típica para las variables estadísticas cuantitativas continuas. En este caso, en el eje de abscisas se distribuyen los extremos de los intervalos de forma adecuada. Sobre cada intervalo se eleva un rectángulo cuya superficie es igual a la frecuencia que corresponde a ese intervalo.
Como es usual dar la misma amplitud a cada intervalo, lo usual es hacer coincidir la altura del rectángulo con la frecuencia representada.
En los histogramas también se puede dibujar el polígono de frecuencias, que es la línea poligonal que une los puntos medios superiores de los rectángulos.
Histograma. Imagen de Arturo Mandly en Flickr
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Aprende a hacerlo
Vamos a construir el histograma correspondiente a la distribución de las estaturas de los alumnos de bachillerato recogidas en la tabla.
En el siguiente enlace a un documento OpenOffice.calc puedes ver el diagrama anterior, incluyendo el polígono de frecuencias y la tabla de datos en la que se basa.
Para elaborar el histograma se ha procedido primero a generar un diagrama de tipo de barras tal y como se ha realizado en el apartado anterior. Para que las barras queden juntas, deberás hacer click con el botón derecho encima de una de las columnas y en el cuadro de diálogo que aparece pulsar sobre la opción Propiedades del objeto. En la pestaña Opciones deberás poner a 0% el campo correspondiente a Espacio.
Para conseguir poner las distintas estaturas en el eje horizontal, deberás modificar el título del eje xadaptándolo correctamente a las marcas de las barras. Otra opción es que, en vez de colocar las estaturas, se coloquen los intervalos de ellas; lo cual es más sencillo. Basta con seleccionar como columna de etiquetas la columna de los intervalos y permitir que se muestren.
Una vez hecha una etiqueta, por ejemplo la del eje x, puedes copiarla y pegarla. El problema es que la que pegues no podrás modificarla, por lo que deberás realizar todos los ajustes de colores, fuente, etc. sobre la original y a continuación realizar la copia.
Para añadir el polígono de frecuencia tendrás que elaborar otro diagrama como el anterior pero de tipoLíneas. Deberás modificar el polígono que aparece colocándolo encima del diagrama de barras y haciendo coincidir los vértices con los puntos medios de la parte superior de las columnas. Una vez que has conseguido ajustarlo, deberás copiar dicho objeto y pegarlo en el otro diagrama y colocarlo correctamente.
Tarea
La siguiente tabla es la correspondiente a la actividad sobre la carnicería de tu barrio que realizaste en el apartado Acumulando en continuo. Recuerda que la columna de la frecuencia absoluta representa el número de días del mes en los que se ha comprado un número de kilogramos de carne correspondiente a cada intervalo.
Realiza el histograma correspondiente a partir del documento que creastes con OpenOffice para dicha actividad. Guarda posteriormente el documento con el nombre carne-histograma.ods.
En la red
En la red
En este apartado hemos trabajado con los diagramas más usuales que se utilizan en estadística, pero en todos ellos se pueden modificar sus condiciones para presentarlos de distintas formas. En el siguiente enlacepuedes ver variaciones de todos los modelos que hemos visto y otros diferentes.
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