Hàm biến phức (Functions of One complex variable)(Hệ Đại học Chính qui - CNTN Khoa Toán-Tin học)

Mã học phần : MTH10412 (bắt buộc riêng chuyên ngành Giải tích, tự chọn cho các chuyên ngành khác)

Số tín chỉ : 4 tín chỉ (Lý thuyết + Bài tập).

Thời khóa biểu : Học kỳ 2, năm 2019-2020, CS Linh Trung:

Chính qui+Cử Nhân Tài Năng:  12g30 - 16g00, thứ 4, NĐH 7.2.

Thời lượng: Gồm 15 bài giảng, 3 tiết lý thuyết+1 tiết bài tập/ 1 bài giảng. 

Thời gian tự học: ít nhất 3 tiếng/ tuần.

Lịch tiếp sinh viên : 

Tại Linh Trung: 12g10-12g30 thứ 4, tại phòng GV, nhà D, CS Linh Trung.

Tại Nguyễn Văn Cừ: 12g00 đến 12g30 thứ 5, tại bộ môn Giải tích, E201A, 227, Nguyễn Văn Cừ, Quận 5.

Trong cả 2 trường hợp, sinh viên phải hẹn và gửi câu hỏi trước qua mail ít nhất 1 ngày: 

                                                    lkha@hcmus.edu.vn.

Hay đối với sinh viên cư trú tại các quận trung tâm Tp. HCM có thể gửi mail hẹn gặp trao đổi tại bộ môn Giải tích, CS Nguyễn Văn Cừ, quận 5.

Nội dung chính : Học phần 4 tín chỉ này bao gồm toàn bộ nội dung cơ bản nhất của giải tích phức 1 biến: Số phức (đại số, hình học và topo trên mặt phẳng phức), hàm chỉnh hình 1 biến phức (định nghĩa, ví dụ, tính chất,...), Lý thuyết tích phân Cauchy trên mặt phẳng phức và các hệ quả của Công thức tích phân Cauchy, Lý thuyết chuỗi số phức (miền hội tụ) và chuỗi hàm phức (Chuỗi Taylor, chuỗi Laurentz), Lý thuyết thặng dư Cauchy và ứng dụng trong tính toán các tích phân thực (tích phân Riemann, tích phân suy rộng, tích phân giá trị chính Cauchy), một nhập môn về phương trình Cauchy-Riemann một chiều (nếu còn thời gian).

Mục tiêu môn học: kết thúc môn hôc, sinh viên cần có khả năng:

- Phân tích về định tính, định lượng của hàm phức một biến bằng các phương pháp: khai triển chuỗi, tích phân Cauchy, hình học của hàm và kỹ thuật phương trình đạo hàm riêng.

- Giải thích những định lý quan trọng phân biệt giải tích phức với giải tích thực.

- Áp dụng phương pháp giải tích phức trong các lĩnh vực khác và tính toán vài tích phân thực cơ bản.

Môn học bắt buộc trước đó: Giải tích 1,2,3 và Đại số tuyến tính.

Các môn học có thể học sau môn này:  Giải tích thực, Phương trình đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm phức nhiều biến, Giải tích phức và mặt Riemann, Giải tích Fourier, Biến đổi tích phân, Hình học đại số, Lý thuyết số giải tích, Cơ học.

Tài liệu học tập bắt buộc: 

[1]Theodore Gamelin, "Complex Analysis", 2001, Springer. 

(Dạng giấy : tìm tại Bộ môn Giải tích. Dạng ebook : bên dưới cùng của trang.)

Tham khảo thêm :

[2] Stephen D. Fisher, "Complex Variables", Second edition, 2012.(đây là tài liệu tôi dùng dạy Hệ Cao học Giải tích năm 2014.) 

[3] David Wunsch, "Complex variables with Applications", Third edition, 2004. (đây là tài liệu có nhiều ứng dụng vào Vật lý và Điện-Điện tử.) .

[4] Walter Rudin, "Real and Complex analysis", Third edition, 1986. (đây là tài liệu chuyên sâu của lý thuyết này, khá hàn lâm.) .

Hình thức thi : Điểm cuối kỳ (10 điểm) = Bài tập  (2 điểm, có điểm danh) + bài thu hoạch giữa kỳ (3 điểm) + điểm thi viết cuối kỳ theo lịch trường (5 điểm)   (+ điểm cộng tối đa là 1).

(i) Bài tập: Sẽ có bài tập về nhà cuối mỗi bài giảng (được đính kèm ở trang web này). Sinh viên cần làm hết và nộp lại vào đầu tiết của buổi học hôm sau. Nếu vì lý do bất khả kháng mà sinh viên không nộp vào buổi học này, thì bằng mọi cách sinh viên cần nộp tại Bộ môn Giải tích (Cơ Sở NVC) hay nộp qua mail trước khi buổi học tiếp theo diễn ra. Sinh viên có thể trao đổi với nhau, nhưng khi làm bài thì cần viết những lập luận riêng của bản thân. Các bài làm giống nhau sẽ bị điểm 0. Bài làm cuối cùng thì nộp cho một đại diện nào đó có thể đến CS NVC trước khi bắt đầu môn thi đầu tiên.

(ii) Thi Giữa kỳ: Sau khi kết thúc Chương 2.

- Nội dung: Chương 1,2.

- Thời gian: từ......, nộp bài vào tiết học ngày ...... 

(iii) Thi cuốí kỳ: 

- tự luận, ĐƯỢC sử dụng tài liệu GIẤY, 120 phút, 

- Nội dung: chương 1,2,4,5,6,7.

Lưu ý: 

- điểm 10 không chỉ dành cho sinh viên giỏi, mà còn dành cho sinh viên siêng năng, nên khối lượng bài tập sẽ nhiều, nhưng không khó.

- Sinh viên nghỉ quá 1/3 số buổi học (5 buổi trở lên) vẫn được tham gia mọi kỳ thi, nhưng sinh viên này sẽ không được điểm Bài tập , điểm cộng và các bài thi của sinh viên này sẽ được chấm chi tiết hơn bình thường.

- Thi Cuối kỳ: thi viết tự luận, không dùng tài liệu hay công cụ tin học, thời gian 120 phút, có cả lý thuyết, hình vẽ và tính toán . Lập luận rõ ràng, không khẳng định cho có.

Nếu sinh viên nào không thể tham dự một trong các kỳ thi (có lý do chính đáng và có xác nhận), hãy liên hệ tôi biết trước kỳ thi đó ít nhất 1 tuần. Tôi sẽ có cách xử lý.

 Các nội dung sau của Chương I đến Chương VII.

Complex numbers, polar form, complex multiplication, roots of complex numbers (much of this is review).

Stereographic projection .

Elementary functions, including power, root, exponential, logarithm, and trigonometric functions

Complex derivatives, basic rules of differentiation.

Cauchy-Riemann equations; inverse functions; harmonic functions; conformality; fractional linear transformations.

Review line integrals and Green's theorem; harmonic conjugates.

Complex line integrals, ML-estimate, fundamental theorem of complex calculus.Cauchy's theorem, Cauchy integral formulae, Liouville's theorem, Morera's theorem.

Weierstrass M-test, power series, radius of convergence, operations on power series, order of zeros.

Laurent decomposition, isolated singularities, orders of poles and zeros, partial fractions decomposition.

Residue theory, applications of residue calculus to evaluate integrals.

(sách khá nhiều trang vì lý do tác giả đưa những diễn giải từ cách nhìn Hình học vào Hàm biến phức. Và đó là những gì tôi muốn khi chọn đây là tài liệu chính, không đặt nặng kỹ năng tính toán, cần hiểu rõ bản chất hình học, vì đây là đặc trưng riêng của lĩnh vực này. Từ cách nhìn hình học này, sinh viên có thể học tiếp các học phần chuyên sâu của Giải tích phức như Lý thuyết hàm phức nhiều biến, Mặt Riemann...)

Lưu ý: nếu có thắc mắc hay khó khăn: trao đổi trực tiếp tại buổi học, hay hẹn gặp ở Bộ môn Giải tích và thậm chí trao đổi qua mail. ĐỪNG NGẠI!