12 ottobre: cifre significative

Data pubblicazione: Oct 13, 2011 7:59:48 AM

Che cos'è il calibro? L'abbiamo usato per misurare lunghezze, le dimensioni degli oggetti, con una precisione superiore a quella data dal righello. Ecco un calibro che sta misurando il diametro di una rondella.

Ci sono due scale: una superiore, in pollici (in), e quella che ci interessa, inferiore, in centimetri (cm).

Ciascuna è dotata di una contro scala corta scorrevole, chiamata nonio. In questo caso il nonio è ventesimale, cioè diviso in venti parti, quindi permette di leggere il ventesimo di millimetro (1/20 = 0,05 mm, scritto all'estremità destra del nonio).

Per sapere qual è il diametro della rondella si vede dove la tacca dello zero combacia con la scala superiore in centimetri: leggermente prima della tacca lunga del 2, più a destra della tacca corrispondente a 1,9 mm.

Quindi la rondella è "quasi" di 2,00 cm di diametro, maggiore di 1,9, ma non conosciamo la cifra dei centesimi. Questa cifra dei centesimi si può apprezzare con il nonio. Bisogna andare a vedere quale tacca del nonio coincide esattamente con una qualunque tacca della scala in centimetri. Vediamo che le tacche del 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sono chiaramente sfalsate rispetto alle tacche soprastanti. Quella dell'8 si trova leggermente più a destra, come quella compresa tra 8 e 9, ma lo spostamento in questo caso è minimo. La tacca del 9 è perfettamente coincidente, mentre quella del ventesimo successivo, compreso tra 9 e 10 centesimi (decimi di mm), sta leggerissimamente più spostata a sinistra (ci vorrebe una lente!).

Concludiamo che ad 1,9 cm o 19 mm dobbiamo aggiungere 9 decimi di millimetro, quindi: diametro = 19,9 mm o 1,99 cm.

Che cosa sono le cifre significative?

Le cifre significative sono quelle certe e la prima delle incerte, purché sia poco incerta. Nel nostro caso: l'1 (unità) dei cm, il 9 dei millimetri (decimi di cm) e il 9 dei decimi di millimetro (centesimi di cm), che ha un'incertezza di appena +/- 0,5, sono tutte e tre significative, cioè veritiere. La cifra successiva, lo 0 dei millesimi di cm, è incerta di +/- 5, quindi non ha senso scrivere d= 1,990 cm. Anche se le letture 1,985 cm e 1,995 cm sembrano sbagliate, ciò non ci autorizza a dire che i centesimi di millimetro (millesimi di cm) siano proprio 0. Potrebbero benissimo essere 2, 3 o anche 4 e noi, e il nostro calibro, non ci accorgeremmo della differenza. La cifra dei millesimi in questa misura non è significativa e va tagliata.

Calcoli con le cifre significative

Supponiamo che la nostra rondella abbia uno spessore di 0,15 mm misurati con il calibro. Questo dato ha due cifre significative. Quindi immaginiamo di dover calcolare il volume totale (comprensivo anche del foro centrale):

Volume = Area-base · altezza = r²·pi-greco · h = (1,990 cm / 2)² · 3,14159 · 0,15 cm = 0,4665378959625 cm³.

(1,990 cm / 2 = 0,995 cm è la metà del diametro misurato col calibro, cioè il raggio r)

Tutte le cifre dopo la virgola saranno significative, cioè veritiere?

Il calcolo ha considerato che la cifra dei millesimi è 0. Avremmo ottenuto lo stesso risultato se nella calcolatrice avessimo messo 1,990 cm come diametro e 0,150 cm come spessore (altezza). Ma sappiamo che quegli zeri potrebbero benissimo essere degli 1, dei 2 o dei 3 o forse anche dei 4. Proviamo a mettere un 1 al posto dello 0, 1,991 nel diametro e vediamo quali cifre restano identiche.

(1,991 cm / 2)²· 3,14159 · 0,150 cm = 0,467006896079625 cm³.

Vediamo che solo i decimi e i centesimi rimangono gli stessi. Quindi solo due cifre sono significative e le altre devono essere scartate. Proviamo ora a cambiare di un millesimo lo spessore:

(1,990 cm / 2)²· 3,14159 · 0,151 cm = 0,46964814860225 cm³.

Anche in questo caso non solo restano uguali solo il 4 e il 6, ma il sei diventerebbe praticamente un 7 (perché dopo c'è un 9)

Ciò significa che le cifre certe o quasi certe, veritiere, del volume sono solo il 4 dei decimi di cm³, che è veramente certo, e il 6 dei centesimi, che potrebbe oscillare tra 6 e 7.

Quindi alla fine come scriviamo il risultato? Dobbiamo tagliare tutte le cifre non significative (rosse) usando la prima di esse, se è un 5 o è maggiore di 5, per arrotondare l'ultima delle significative. In questo caso abbiamo un 6 ai millesimi, che sarà tagliato arrotondando il precedente 6 a 7:

volume = (1,99 cm / 2)²· 3,14159 · 0,15 cm = 0,4665378959625 cm³ = 0,47 cm³.

Vediamo quindi che:

le cifre significative da prendere, nel risultato di calcoli che comportano moltiplicazioni, divisioni e potenze, sono tante quante ce ne sono nella misura che ha meno cifre significative.

In questo caso lo spessore aveva solo due cifre significative, quindi il risultato avrà due c.s. anche se il diametro ne aveva tre.

Il volume avrebbe avuto due cifre significative e sarebbe stato di 0,47 cm³ +/- 0,01 cm³ anche se il diametro fosse stato misurato con uno strumento molto più preciso del calibro (il micrometro di precisione) e fosse risultato 1,9900 cm. Dato che lo spessore è di 0,15 cm misurati col calibro, la sua imprecisione "contagia" anche l'imprecisione nel risultato del calcolo del volume.

La morale della favola è che se in laboratorio si devono fare più misure per arrivare ad un risultato, è meglio farle tutte con precisione più o meno simile. Non serve sforzarsi a farne qualcuna con grande precisione per far vedere che si è meticolosi e precisi, se poi il risultato dipende da altre misure che non possiamo fare in modo molto preciso.