¡Por favor Sr. Kirchhof, resuelva mi circuito!

Post date: Mar 10, 2015 11:00:18 PM

En esta entrega vamos a utilizar lo que discutimos sobre ecuaciones lineales para resolver problemas con circuitos eléctricos.

En la figura siguiente vemos un circuito compuesto de 4 resistores y una fuente de voltaje.

El dibujo de la izquierda muestra el circuito con la fuente conectada al nodo 1 y el nodo 4 conectado a tierra. El dibujo de la derecha muestra un circuito equivalente. Nosotros podemos controlar la fuente y por lo tanto conocemos el voltaje V_i entre los nodos 1 y 4. Todos las otras 4 caídas de voltaje V₁₂, V₁₃, ... son incógnitas que tenemos que averiguar. También son desconocidas las 5 corrientes: la corriente I entregada por la fuente y la corriente circulando por los 4 resistores I₁₂, I₁₃, .... Planteemos las ecuaciones de este circuito y resolvamos con Octave.

Ley Kirchhof del voltaje

La ley de Kirchof del voltaje (que es una ley que se puede derivar de las ecuaciones del electromagnetismo), dice que en ausencia de campos magnéticos, la suma de las caídas de voltaje en un circuito cerrado (en un lazo, en un loop) debe ser 0.

En la figura de arriba, a la derecha, he marcado dos lazos con flechas rojas. La dirección de las flechas es arbitraria y simplemente indica en que dirección el voltaje cae. Lo único importante es que una vez que hemos dado un sentido a las flechas no lo podemos cambiar (si lo cambiamos mientras escribimos las ecuaciones, estas van a estar mal). Es decir que si V₁₂ es positivo, quiere decir que el nodo 1 tiene un voltaje más alto que el nodo 2. Si este voltaje es negativo, entonces es al revés, el nodo 2 tiene un voltaje mas alto que el nodo 1.

En el dibujo de la izquierda, marque otro lazo que no involucra a la fuente.

Escribamos las ecuaciones:

Las dos primeras corresponden a los lazos en la figura de la derecha. El primer lazo empieza en el nodo 1, va al 2 luego al 4 y vuelve al 1. Cuando circulo en la misma dirección que la flecha el voltaje aparece en la ecuación con signo positivo, y cuando circulo en contra del sentido de la flecha, el voltaje aparece con signo negativo (¡voy en contra!). En el caso del segundo lazo (la segunda ecuación) me paseo por los nodos 4,3,1 y de regreso 4. al tercera ecuación es dar una vuelta pasando por todos los resistores.

¿Se dan cuenta que la suma de las dos primeras ecuaciones genera la tercera? Esto quiere decir que la tercera ecuación no nos brinda nueva información: sabiendo las dos primeras ecuaciones, ya sabemos lo que dice la tercera. Por lo tanto la tercera ecuación no la vamos a utilizar (podrían no utilizar cualquier otra).

Aplicando nuestra habilidad para transformar sistemas de ecuaciones lineales en productos de matrices podemos obtener:

En este sistema parecen las 4 incógnitas de voltaje. En Octave podemos escribir la matriz de factores de la ley de Kirchhof de voltajes (LKV), de la siguiente manera:

LKV = [1 0 1 0; 0 1 0 1];

Ya tenemos las leyes de Kirchhof de voltaje, ahora veamos las corrientes.

Ley Kirchhof de las corrientes

La idea detrás de esta ley es que la corriente se conserva. Es decir que cuando corrientes se unen o se separan en un nodo, la suma se tiene que conservar. Para escribir estas ecuaciones nos paramos en un nodo y vemos que corrientes llegan al nodo (positivas) y que corrientes se van del nodo (negativas). En este caso también obedecemos el sentido de las flechas que definimos al principio. Repito, es importante mantener el sentido de las flechas hasta el final, pero el sentido es arbitrario. Una vez que elijen un sentido para la flecha, no lo cambien hasta que terminen.

Hagamos un ejemplo: la corriente que llega al nodo 1 viene directo de la fuente (corriente I); la corriente I₁₃ también llega al nodo, mientras que la corriente I₁₂ se va del nodo. Todo esto nos da la primera ecuación del siguiente sistema:

Las demás ecuaciones las pueden escribir siguiendo el mismo método para cada nodo. La ultima ecuación, nodo 4, también se puede deducir de las tres primeras (¿Pueden explicar cómo?), por lo tanto no la vamos a utilizar. El sistema escrito en forma matricial es:

Para construir esta matriz en Octave, es necesario dar el valor de resistencia de los resistores. Aquí elijo cualquier valor, uds. pueden usar otros:

R = [1 1 3 3];

VIR = [eye(4,4) diag(-R) zeros(4,1)];

En la última linea de comando utilizo 3 funciones que no hemos discutido aún. Para entender que hacen tenemos que mirar un poco la forma de las matrices en el sistema de ecuaciones. Si se fijan en la primera parte de la matriz podrán ver que hay unos (1) formando una diagonal. En la segunda parte también tenemos una diagonal formada por el negativo de las resistencias. La última columna de la matriz está llena de ceros. Ok, a las funciones:

eye(n,n): Esta función genera una matriz con n filas y n columnas que tiene la diagonal llena con unos.

Pregunta 1:

¿Qué matriz se genera si llamamos a esta función con dos argumentos distintos? Por ejemplo eye(2,3).

diag(v): Esta función genera una matriz cuya diagonal se llena con los elementos del vector v.

Pregunta 2:

¿Podés generar la matriz eye(4) con la función diag()?

zeros(n,m): Esta función genera una matriz con n filas y m columnas llenas de ceros.

Ensamblando todo el sistema

Quizás ya se han dado cuenta que ahora tenemos tantas ecuaciones como incógnitas. Ahora podemos armar el sistema de ecuaciones completo

Con color resalté cada uno de los bloques de la matriz y su procedencia. Los bloques marcados con un cero grande, indican que allí solo hay ceros.

En Octave podemos ensamblar esta matriz y resolver el sistema (¡Ojoi! antes de resolver necesitan darle un valor al voltaje V_i de la fuente) con el siguiente código:

A   = [LKV zeros(2,5); zeros(3,4) LKC; VIR];

neq = size (A,1); # Numero de ecuaciones

b   = [-Vi; Vi; zeros(neq-2,1)];

# Resolver el sistema

x  = A \ b;

V  = x(1:4);

I  = x(5:8);

Ii = x(9);

disp ("Voltages"); disp (V); disp ("Corrientes"); disp (I); disp ("Corriente de la fuente"); disp (Ii)

Noten como he vuelto a utilizar la función zeros() para rellenar los bloques con ceros. La última linea de este código muestra los resultados en pantalla ¿Coinciden con tus cálculos manuales?

El archivo adjunto contiene todo el código aquí utilizado.

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