Ecuaciones lineales? ¡No problem!

Post date: Mar 10, 2015 3:51:57 PM

Uno de los problemas más recurrentes en el cálculo numérico es el de resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¿Qué es una ecuación lineal? Si no conocen este nombre todavía, no se preocupen. Vamos a ilustrar todo desde el principio y de manera básica. También veremos una aplicación fundamental de las matrices.

La ecuación lineal

Los problemas lineales son muy comunes en la vida cotidiana. Son tan comunes que en el colegio nos enseñan a resolverlos con una regla: la famosa, y a veces odiada, regla de tres simple.

Esta regla resume la facultad de resolver proporciones. Ejemplo:

Problema 1:

Si un paquete de harina pesa 10 kg cuando está lleno ¿Cuánto pesa cuando solo queda un tercio del paquete?

En cada generación y en cada escuela se enseñan distintas formas de plantear este problema, pero la idea fundamental es que el peso del paquete es proporcional a la cantidad de harina. Esto quiere decir que mientras más(menos) harina, más(menos) pesa el paquete. Pero no solo implica que las dos magnitudes aumentan juntas, sino también que aumentan juntas de una manera particular: cualquier aumento de harina implica un aumento de igual proporción en el peso del paquete. Esto es lo que se llama una relación lineal

Donde P es el peso del paquete y V es la fracción de llenado del paquete (1=lleno, 0=vacío). El factor k es la proporcionalidad entre P y V. En nuestro problema la proporción es:

Otros ejemplos de proporcionalidades son la relación entre el volumen y la masa de un líquido (la proporcionalidad se llama densidad del líquido); entre el volumen y la altura de un cilindro (la proporcionalidad está dada por el área de la base del cilindro); entre el la altura de un fajo de billetes y la cantidad de billetes (la proporcionalidad es el espesor de cada billete), etc... seguro pueden imaginarse en un montón de relaciones lineales.

Una relación lineal que aparece en física del colegio secundario es la relación entre distancia recorrida en linea recta y rapidez.

Donde x es la posición final, x₀ la posición inicial, v es la rapidez y Δt el tiempo transcurrido. Como ven, la distancia recorrida es proporcional al tiempo transcurrido; también podemos decir que la distancia recorrida es proporcional a la rapidez.

Sistemas de ecuaciones lineales

Consideren el siguiente problema.

Problema 2:

Encuentra los números tales que: si sumamos el doble del primero con la mitad del segundo, obtenemos 10 y si restamos el primero al segundo obtenemos 5.

Escribamos este problema en ecuaciones

Los números que estamos buscando son x,y que al momento representan incógnitas. Podemos organizar las ecuaciones de la siguiente manera:

donde el punto indica producto escalar entre el vector fila y el vector columna (ver clase sobre el producto escalar). Ok, si miran estas ecuaciones con fuerza, se darán cuenta que se pueden simplificar un poco mas:

Es decir, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden escribir como la multiplicación entre una matriz (que tiene los factores de las ecuaciones lineales) y el vector de incógnitas, igualada al vector de datos. Es decir, en general, los sistemas lineales se pueden escribir de la forma siguiente

(1)

Donde A es la matriz de factores, x el vector de incógnitas y b el vector con los datos. A los vectores los marqué con negritas, pero en el futuro no lo voy a hacer, excepto para enfatizar o para evitar confusión entre escalares y vectores.

Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales

Cuando trabajamos con escalares (con números) sabemos como despejar una incógnita: se aplican las operaciones inversas hasta que la incógnita queda despejada. Si tenemos una ecuación lineal, podemos despejar de la siguiente forma

Como ven, multiplicamos ambos lados de la igualdad por la inversa multiplicativa de a. Pero para resolver el sistema de ecuaciones (1) ¿Cuál es la inversa multiplicativa de una matriz? La respuesta es un poco larga y no la vamos a discutir hoy (pueden investigar en la internet sobre "matriz inversa"). Lo bueno es que GNU Octave sabe como calcular la inversa de una matriz, así que van a poder resolver sistemas lineales antes de aprender la teoría. Con suerte esto los va a motivar para estudiar y entender la teoría.

Lo que si es necesario saber es que una matriz, a diferencia de un escalar, no siempre tiene inversa multiplicativa. En otras palabras ¡Hay problemas lineales que no tienen solución!

Pregunta 1:

¿Podés construir un sistema de dos ecuaciones lineales que no tenga solución?

Resolviendo el problema calculando la inversa

Si estamos seguros que el problema tiene solución, entonces la inversa de la matriz de factores tiene que existir y en Octave la calculamos con la función inv(). En nuestro ejemplo

A  = [2 0.5; -1 1];

b  = [10; 5];

Ai = inv (A);

x  = Ai * b

x =

Pregunta 2:

Si ahora tratás de calcular la inversa del problema imposible de la Pregunta 1 ¿Qué obtenés?

Resolviendo el problema sin calcular la inversa

Otra forma de resolver el problema en Octave es utilizar el operador \ (división izquierda). Este es un operador inteligente y elige la mejor forma de resolver el problema, desde un punto de vista numérico (ya veremos que significa esto). En la mayoría de los casos este operador no calcula la inversa explícitamente, puesto que dicha operación es un poco problemática. El código para resolver el sistema (1) con este operador es:

A = [2 0.5; -1 1];

b = [10; 5];

x = A \ b

x =

Pregunta 3:

Si ahora tratás de resolver el problema imposible de la Pregunta 1 ¿Qué obtenés?

¿Se chocan o no se chocan? Problemas de encuentro

Advertencia: el siguiente problema puede traerte recuerdos del colegio secundario :D.

Problema 2:

Un móvil A sale de un punto con una rapidez de 60 Km/h y luego de 30 minutos parte otro B del mismo punto a una rapidez de 80 Km/h ¿Cuándo alcanzará el segundo móvil al primero y a qué distancia del punto de partida se encuentran?.

Primero planteamos las ecuaciones de cada móvil:

Donde el subíndice indica a que móvil nos referimos. Estas ecuaciones nos dicen donde estarán los móviles A y B luego de un tiempo t. Vamos a reescribir estas ecuaciones para poner el problema en forma matricial (e.d. usando matrices). Primero notemos que nuestro objetivo es conocer en que tiempo t, las posiciones son iguales, e.d. x_A = x_B= x.

Reemplazando en las ecuaciones de arriba y poniendo las incógnitas del mismo lado obtenemos:

Ahora la matriz de factores es evidente y el problema se puede escribir como

El código de Octave que resuelve el Problema 2 es:

vA  = 60; t0A = 0;

vB  = 80; t0B = 0.5;   % 30 minutos son media hora

A   = [ vA -1; vB -1 ];

b   = [ vA*t0A; vB*t0B ];

sol = A \ b

sol =

Los móviles se encuentran 2 horas luego de la partida de A (t=2) y se encuentran a 120 kilómetros del punto de partida (x = 120). Para verificar que la solución es correcta podemos reemplazar en las ecuaciones iniciales (o multiplicar A*sol y verificar que obtenemos b).

¡A resolver problemas!

Si tienen preguntas participen en el foro de discusión.