Embedded Files
Sistema dièdric IV:
Poliedres regulars
En els apartats següents ens introduirem en l’estudi de superfícies i cossos, un terreny molt més concret que l’explorat en les tres últimes unitats. Amb tot, hi recorrerem per buscar-hi recursos (moviments, posicions favorables...) amb què resoldre, en projeccions dièdriques, les representacions dels políedres regulars.
1. Superfícies i cossos. Introducció
1. Superfícies i cossos. Introducció
No hem de confondre els conceptes de cos i superfície. El cos, o sòlid en la terminologia de la majoria del software 3D, sempre fa referència a un volum determinat al qual poder associar propietats com el pes, la densitat, centre de gravetat, etc.; la superfície, que pot ser il·limitada, coincideix amb l’embolcall imaginari que rodeja un cos. En el cas d’un cub, totes les seves superfícies són planes i, en el cas d’una esfera, són corbes; altres cossos, com el con, tenen superfícies planes i corbes.
1.1 Concepte de superfície
1.1 Concepte de superfície
Una superfície és el lloc geomètric de les posicions successives d’una línia, denominada generatriu, que canvia de posició, o de posició i forma, segons una llei determinada. Les línies que determinen el moviment de la generatriu, es denominen directriu de la superfície. En una superfície de revolució, cònica en l’exemple de la figura 1, la generatriu gira al voltant d’una recta fixa a la qual denominem eix, i a la qual està invariablement lligada.
Figura 1
La més elemental de les superfícies és el pla; en la seva generació, tant la generatriu com la directriu són línies rectes. La unió de dos o més plans defineix els angles següents:
Angle díedre, format per dos plans amb una intersecció o aresta comuna i (figura 2).
Quan són tres els plans que, concurrents dos a dos, tenen un punt comú anomenat vèrtex, la forma geomètrica que configuren es denomina angle tríedre. Un tríedre característic és l’anomenat tríedre trirectangle, format per tres plans ortogonals entre si (figura 3); els seus tres angles díedres seran rectes i cada aresta és perpendicular al pla de les altres dues.
Angle políedre, format per més de tres plans, amb un vèrtex V comú entre ells i limitat per les seves interseccions respectives anomenades arestes (figura 4). Cada pla de l’angle políedre es denomina cara, i l’angle format per dues cares consecutives, díedre.
Si perllongant una de les cares del políedre tot ell queda situat a un mateix costat respecte a aquesta cara, el políedre és convex; en cas contrari seria còncau.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
1.2 Generació i classificació
1.2 Generació i classificació
Una primera classificació agrupa les superfícies en limitades o il·limitades; entre les primeres s’hi inclouen les tancades, que tanquen un volum determinat i donen lloc als cossos que estudiarem en aquesta i en la pròxima Unitat.
Una superfície pot generar-se de dues maneres diferents:
1. Com a lloc geomètric de les posicions d’una línia qualsevol, que es mou en l’espai segons una llei determinada.
2. Com a envoltant d’una altra superfície, que alhora es mou en l’espai d’acord amb una llei determinada.
Classificarem les superfícies atenent la forma de la seva generatriu i les lleis a què respongui el seu moviment, les quals condicionen la forma de la directriu.
Un primer gran grup de superfícies són les reglades, la generatriu de les quals és una recta; alhora se subdivideixen en desenvolupables i guerxades. Les primeres poden estendre’s sobre un pla sense experimentar cap deformació ni trencat, i inclouen les polièdriques (regulars i irregulars) i les radials o radiades (còniques i cilíndriques). Les superfícies guerxades no poden desenvolupar-se sobre un pla com les desenvolupables.
Les superfícies corbes tenen per generatriu una corba, però no són desenvolupables ni guerxades; entre les quals es troben l’esfera i el tor.
1.3 Políedres regulars
1.3 Políedres regulars
Un políedre és una figura tridimensional tancada, formada per diferents plans que s’interseccionen entre si. Cada polígon format en la intersecció d’una cara amb les altres del políedre, defineix una de les cares del políedre. Els segments comuns a dues cares són les arestes, i la intersecció d’aquestes forma cada un dels vèrtexs del políedre.
Un políedre és regular quan les seves cares estan formades pel mateix polígon regular i els angles políedres són també iguals entre si. Tots els políedres regulars són convexos i en cada un d’ells existeix un centre geomètric únic que, a la vegada, és el centre de les esferes inscrita, circumscrita i tangent a les arestes del políedre. La primera és tangent a totes les seves cares en els punts centrals, i el seu diàmetre coincideix amb la distància entre cares oposades; la segona passa per tots els seus vèrtexs, mentre que la tercera és tangent a totes les arestes en els seus respectius punts mitjos, i el seu diàmetre és igual a la distància entre arestes oposades.
Sabent que per formar un angle políedre la suma dels angles de les cares concurrents en un vèrtex no pot arribar a ser 360°, ja que, en aquest cas, formarien un angle pla, i que el mínim de cares concurrents en un vèrtex ha de ser tres, els políedres regulars convexos no poden ser més que els cinc següents:
Si el polígon de la cara és un triangle equilàter, les cares concurrents en cada vèrtex poden ser tres, quatre o cinc (figura 5), donant lloc, respectivament, als políedres següents: Tetràedre, octàedre i icosàedre.
Figura 5
Si el polígon de la cara és un quadrat, només poden ser tres les cares concurrents en cada vèrtex, ja que amb quatre arribarien a l’angle de 360° (figura 6). El políedre format és un hexàedre o cub.
Quan el polígon de la cara és un pentàgon regular i els angles interiors del qual mesuren 72°, només en poden ser tres les cares concurrents en cada vèrtex, perquè amb quatre superarien els 360° (figura 7). El políedre format és un dodecàedre.
Figura 6
Figura 7
1.4 Fórmula d'Euler
1.4 Fórmula d'Euler
En la taula següent recollim les característiques geomètriques dels políedres regulars convexos:
El nombre d’arestes de cada políedre serà igual al total d’arestes de totes les seves cares (obtingut multiplicant-ne el nombre pels costats de cada una) dividit per dos, que són les cares que concorren en cada aresta.
El nombre de vèrtexs s’obté dividint el nombre total de vèrtexs del conjunt de cares del políedre, obtingut multiplicant el nombre de cares pels vèrtexs de cada una, entre el nombre de cares que concorren en cada vèrtex.
En cada un dels políedres, el nombre de cares, vèrtexs i arestes estan relacionats per la fórmula d’Euler:
Nre. de cares + Nre. de vèrtexs = Nre. d’arestes + 2
1.5 Políedres conjugats
1.5 Políedres conjugats
Anomenem conjugats dos políedres en els quals el nombre de cares d’un d’ells coincideix amb el nombre de vèrtexs de l’altre i viceversa.
El punt central de les cares d’un hexàedre o cub defineix la posició de cada un dels vèrtexs del seu políedre conjugat, l’octàedre, inscrit en ell (figura 8). De forma similar, unint els punts centrals de les cares d’un octàedre, hi formarem el cub conjugat i inscrit, tal com podem apreciar en la representació en perspectiva de la figura 9. Un altre parell de políedres conjugats, amb les mateixes propietats descrites, són el dodecàedre i l’icosàedre. El tetràedre és el políedre conjugat de si mateix.
Figura 8
Figura 9
2. Els diferents políedres regulars
2. Els diferents políedres regulars
En aquest apartat realitzarem la descripció dels diferents políedres regulars, així com les relacions entre alguns elements lineals característics de cada un d’ells, el coneixement dels quals ens facilitarà la seva representació en projeccions dièdriques.
En tots els políedres regulars és possible establir-hi una secció plana, que denominem secció principal i que, passant pel seu centre geomètric, conté i relaciona les seves magnituds principals.
2.1 Tetràedre
2.1 Tetràedre
2.1.1 Elements i relacions
2.1.1 Elements i relacions
El tetràedre és un políedre regular convex, les quatre cares del qual són triangles equilàters. Cada un dels seus quatre vèrtexs és l’element comú a les tres cares i arestes que hi concorren (figura 10).
L’aresta i l’altura h del tetràedre es relacionen mitjançant un triangle rectangle que hem representat en la figura anterior; un triangle en el qual la hipotenusa és l’aresta i els seus catets són l’altura i la projecció a’ de l’aresta sobre una de les cares del políedre.
Figura 10
La secció principal és la intersecció del tetràedre amb un pla que passi per una de les seves arestes i pel seu centre geomètric (figura 11). Aquesta intersecció és un triangle isòsceles de base l’aresta a del tetràedre, els costats iguals del qual coincideixen amb l’altura hc de cada una de les cares. En la secció principal, l’altura referida a l’aresta coincideix amb la mínima distància entre arestes oposades, da, del tetràedre.
Analitzades les característiques de la secció principal, podem construir-la de forma independent del políedre al qual pertany; així ho hem realitzat en la figura 12, coneguda l’aresta a del tetràedre:
Figura 11
Analitzades les característiques de la secció principal, podem construir-la de forma independent del políedre al qual pertany; així ho hem realitzat en la figura 12, coneguda l’aresta a del tetràedre:
Amb l’aresta a com a costat, construïm el triangle equilàter ABC.
Determinem l’altura hc corresponent a la cara representada.
El triangle isòsceles de base a i costats iguals a l’altura hc, és la secció principal. L’altura da és la distància entre arestes oposades.
Figura 12
Essent r i R els radis, respectivament, de les esferes inscrita i circumscrita en el políedre, tots dos apareixen continguts i relacionats en la secció principal (figura 13):
R és la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets el radi r de l’esfera inscrita i el radi del polígon de la cara, equivalent aquest darrer a les 2/3 parts de l’altura de la cara hc, per ser aquesta un triangle equilàter.
Figura 13
2.1.2 Representació del tetràedre
2.1.2 Representació del tetràedre
La dada més habitual, en abordar les seves projeccions dièdriques, és la seva aresta. Vegem-ne, a partir d’ella, les representacions més habituals:
Amb una cara paral·lela o recolzada en un dels plans de projecció
En la representació de la figura 14, suposem el tetràedre amb una de les seves cares continguda en un pla horitzontal, per tant, la seva projecció horitzontal estarà en veritable magnitud, triangle equilàter A’B’C’ de costat igual a l’aresta del políedre; la projecció vertical A’’B’’C’’ correspon a la projecció vertical d’un pla horitzontal, perpendicular a la línia de correspondència entre projeccions.
Figura 14
La projecció horitzontal del quart vèrtex, E’, coincideix amb el centre geomètric de la cara projectada en veritable magnitud. Per situar la projecció vertical, E’’, hem de trobar l’altura h del tetràedre; altura que determinem mitjançant una construcció auxiliar sobre la seva representació en planta, abatent el triangle rectangle format per l’aresta, la seva projecció ortogonal sobre la base i la pròpia altura. En aquest triangle, A’E’ és el primer dels catets; la magnitud del segon, h, es determina sobre la perpendicular a l’anterior al situar com a hipotenusa una longitud igual a l’aresta a.
Conegudes les projeccions horitzontals i verticals dels quatre vèrtexs, en realitzem la seva unió parant especial atenció en la visibilitat de les arestes. Els contorns aparents són sempre visibles completament, mentre que la visibilitat de la resta d’arestes depèn de la direcció en què s’ha obtingut la projecció a la qual pertanyen.
Amb una de les seves cares continguda en un pla qualsevol
Conegudes les projeccions del pla ABCD que conté una de les cares del tetràedre i la seva aresta 1 – 2, abatem el pla per poder-hi representar en veritable magnitud la cara continguda. En la figura 15 hem abatut el pla ABCD sobre l’horitzontal de projecció, representant-hi sobre la veritable magnitud la cara 1 – 2 – 3 (el segment 1’ – 2’ està en veritable magnitud per ser la projecció horitzontal d’un segment horitzontal). Sobre la cara abatuda determinem l’altura h del tetràedre, amb la construcció auxiliar utilitzada en la representació anterior d’aquest políedre.
Figura 15
Mitjançant una combinació de moviments obtenim la projecció vertical auxiliar A1’’ – B1’’ – C1’’ de la que deduïm la cota relativa z2 que ens permet determinar la projecció vertical 3’’. Sobre la projecció auxiliar, amb l’altura h determinada del tetràedre, trobem la projecció auxiliar 41’’, que referim a la projecció principal 4’; la cota relativa z3 ens serveix per trobar 4’’. La representació de les arestes en ambdues projeccions, d’acord amb la visibilitat corresponent, ens completa el traçat.
Amb una aresta sobre el PH i l’oposada paral·lela
Tant l’aresta continguda en el PH com la seva paral·lela, tindran la projecció horitzontal en veritable magnitud; les seves projeccions A’B’ i C’E’ reflectiran la perpendicularitat existent entre elles en el tetràedre. El traçat del contorn aparent ens completa la projecció horitzontal (figura 16).
Figura 16
Les projeccions verticals A’’B’’ i C’’E’’ corresponen a les projeccions verticals de dos segments horitzontals, el primer d’ells per sota de l’altre i amb una cota relativa entre ambdós igual a la mínima distància entre arestes oposades da. Trobem aquesta distància en la secció principal del tetràedre, o abatent en la representació en planta el triangle rectangle format per l’altura de la cara hc, la seva projecció ortogonal sobre la base i la distància entre arestes oposades.
Conegudes les projeccions verticals dels quatre vèrtexs, completem la projecció homònima del tetràedre amb el traçat de les arestes corresponents, visibles o no segons la direcció de la projecció efectuada.
2.2 Hexàedre
2.2 Hexàedre
2.2.1 Elements i relacions
2.2.1 Elements i relacions
L’hexàedre és un políedre regular convex, les sis cares del qual són quadrats i els seus angles políedres són tríedres trirectangles. Cada un dels seus vuit vèrtexs és l’element comú a les tres cares i arestes que hi concorren (figura 17).
Figura 17
Mitjançant el triangle rectangle de la figura 18, a partir de l’aresta a del cub podem determinar la diagonal d de cada una de les seves cares. Un segon triangle rectangle ens permet determinar la diagonal D del políedre.
La relació entre les tres magnituds anteriors la vèiem també en la representació del primer cub en perspectiva. A partir d’una d’aquestes, en podem determinar, gràficament, el segment representatiu de la longitud de les altres dues; així, en la figura 19, coneixent la diagonal D del cub, resolem les longituds de l’aresta a i de la diagonal d de la cara:
Figura 18
Figura 19
Amb centre en el punt mig del segment D tracem una semicircumferència, arc capaç de 90° el diàmetre de la qual sigui la longitud D.
Dividim D en tres parts iguals i per la primera d’elles aixequem una perpendicular al segment D fins a tallar l’arc.
Els catets del triangle rectangle format responen a les longituds buscades d’a i d.
La secció principal de l’hexàedre és la representada en la figura 20: un rectangle de costats a i d que, com veiem també en la figura 21, relaciona, en la forma indicada anteriorment, aquestes magnituds amb la diagonal D del cub. En la figura 22 indiquem les seccions produïdes per altres plans que, passant també pel centre geomètric del políedre, tenen una inclinació diferent de la del pla que ens produeix la secció principal.
Figura 20 Figura 21 Figura 22
Com vèiem en el tetràedre, els radis r i R de les esferes inscrita i circumscrita estan relacionats mitjançant un triangle rectangle (figura 23):
R és la hipotenusa d’un triangle rectangle que té per catets el radi r de l’esfera inscrita i el radi del polígon de la cara (1/2 de la diagonal d de la cara, per ser aquesta un quadrat).
Figura 23
2.2.2 Representació de l'hexàedre
2.2.2 Representació de l'hexàedre
Coneguda la seva aresta a, obtindrem les projeccions corresponents a les posicions més habituals:
Amb una cara recolzada o paral·lela a un dels plans de projecció
Amb una de les cares en la posició sol·licitada, l’oposada es projecta coincidint-hi, i les quatre restants són projectants respecte al pla horitzontal. La projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l’aresta del cub (figura 24); les quatre arestes perpendiculars als plans paral·lels al PH són verticals i, en tenir la seva projecció vertical en veritable magnitud, ens permeten completar-hi aquesta projecció.
Figura 24
En estudiar la visibilitat de la projecció vertical, recordem que les arestes que formen el contorn aparent del cos són sempre visibles; per conèixer la visibilitat de les arestes interiors, examinem la projecció horitzontal observant que, si mirem la figura segons la correspondència entre projeccions A’ – A’’, l’aresta BF és la primera que es veu, per tant, és visible en projecció vertical; per aquesta mateixa raó, l’aresta DH és oculta i la representem amb línia discontínua.
Amb una cara situada en un pla qualsevol
Si coneixem el pla que conté una de les cares de l’hexàedre, podem trobar les projeccions dièdriques del políedre de forma similar a la utilitzada en la representació del tetràedre, amb una de les seves cares contingudes en un pla ABCD qualsevol, de la figura 15.
El pla ABC conté una de les cares del cub, de la qual coneixem l’aresta 1 – 2 (figura 25). Fem servir el costat AB com a frontissa per tal de realitzar l’abatiment del pla ABC respecte al pla horitzontal. Amb el pla abatut, el costat 1 – 2 està en veritable magnitud i podem traçar la cara 1234 en veritable magnitud.
Un canvi de pla vertical transforma el pla oblic inicial en un de cantell A1’’B1’’ – C1’’, al qual referim la cara 1234 de la base del cub. Per la nova projecció d’aquests punts, 11’’, 21’’, etc. tracem les perpendiculars al pla auxiliar que, donada la seva posició, seran rectes frontals. Sobre aquestes perpendiculars mesurem la longitud real de l’aresta del cub i completem d’aquesta forma la projecció vertical auxiliar.
Figura 25
Des de la projecció auxiliar referim els vèrtexs de la base superior a les perpendiculars a la frontissa traçades per 1’, 2’ etc. i obtenim les projeccions 5’, 6’, 7’ i 8’ corresponents a la projecció horitzontal de la cara superior del cub. Amb aquestes projeccions completem la projecció horitzontal de l’hexàedre.
Per representar la projecció vertical en la posició del pla ABC, determinem primer les projeccions verticals dels vèrtexs de la base inferior, utilitzant rectes auxiliars que, pertanyents al pla ABC, passin pels vèrtexs de la base. De la projecció vertical auxiliar prenem la cota relativa z corresponent al vèrtex 51’’ respecte a la projecció vertical d'A1’’B1’’; així determinem la projecció vertical 5’’ que, unida amb 1’’, ens dona la projecció vertical d’una de les arestes laterals del cub.
El paral·lelisme entre les projeccions d’arestes paral·leles en l’espai ens ajuda en el traçat de les diferents arestes. L’estudi de la visibilitat, segons el punt de vista de cadascuna de les projeccions, completa les projeccions sol·licitades de l’hexàedre.
Amb una diagonal perpendicular a l'horitzontal de projecció
Aquesta representació la podem efectuar de dues maneres; mitjançant la primera disposem l’hexàedre amb una de les seves cares paral·lela o continguda en el PH i disposat, en relació amb el PV, de tal forma que una de les seves diagonals, l'AG en la figura 26, sigui una recta frontal.
Figura 26
A partir d’aquesta posició auxiliar inicial, efectuem un canvi de pla horitzontal perquè la diagonal anterior quedi en posició de recta vertical; per a això disposem la nova projecció horitzontal en la direcció d’A’’ – B’’. Referim els allunyaments relatius de la projecció horitzontal anterior i representem la visibilitat de les diferents arestes, segons la nova direcció de projecció.
De l’anàlisi de la representació anterior, extraiem les conclusions que ens permeten representar l’hexàedre en la posició sol·licitada de manera directa (figura 27), sense utilitzar projeccions auxiliars. El cub queda inscrit en una esfera el diàmetre de la qual és la diagonal principal A’’– G’’. Dividint aquesta diagonal en tres parts iguals, obtenim els vèrtexs C’’ i E’’ que, units amb G’’ i A’’, ens donen el contorn aparent del políedre en projecció vertical; projecció que completem amb les arestes D’’ – H’’ i B’’– F’’, coincidents per pertànyer al mateix pla projectant.
En projecció horitzontal, el contorn de la figura és un hexàgon regular inscrit en una circumferència el radi de la qual coincideix amb la projecció horitzontal del segment A’’ – E’’. Referim vèrtexs segons la correspondència entre projeccions i tracem les arestes segons la visibilitat del conjunt; observem, per exemple, que l’aresta GC, per ser la de més cota, serà visible en projecció horitzontal; al contrari, l’aresta AE és la de menor cota i es representa oculta en la mateixa projecció.
Figura 27
Amb una aresta en un dels plans de projecció
Coneixem les projeccions de l’aresta AE; per estar continguda en el PH, la seva projecció sobre aquest pla estarà en veritable magnitud. Busquem una projecció auxiliar vertical en la qual l’aresta AE es vegi com a recta de punta (figura 28); per a això efectuem un canvi de pla vertical en la direcció de la projecció A’ – E’. En la nova projecció vertical les cares perpendiculars a AE es veuran en veritable magnitud, per tant dibuixem un quadrat amb un dels seus vèrtexs en A1’’E1’’, costat igual a la projecció A’ – E’, i amb qualsevol inclinació perquè no tenim condicions.
Figura 28
Les cares perpendiculars a l’aresta AE, donat que AE és un segment horitzontal, seran plans verticals i les seves projeccions horitzontals seran segments perpendiculars a A’ – E’. De la projecció auxiliar obtindrem la correspondència dels vèrtexs que formen el cub i, també, les cotes relatives que, coneguda la projecció horitzontal, ens permetran completar la projecció vertical.
En l’estudi de la visibilitat horitzontal, l’aresta A’ – E’ és oculta, ja que és la de menor cota de totes les que formen el políedre. En la visibilitat de la projecció vertical, en comparar els allunyaments dels vèrtexs D i F, és major el del segon, per tant, les tres arestes que hi concorren són visibles, a la inversa del que passa amb les arestes concurrents en el vèrtex D.
Vídeos sobre resolució d'exercicis d'hexàedre
Vídeos sobre resolució d'exercicis d'hexàedre
Representació de l'hexàedre: diverses posicions.
Hexàedre sobre una aresta horitzontal
Hexàedre, coneguda la seva diagonal sobre recta vertical i una aresta frontal
Hexàedre, coneguda la seva diagonal sobre recta vertical
Construcció d'un cub coneguda la secció mitjana (pla horitzontal).
Construcció d'un cub coneguda la secció mitjana (recta horitzontal).
Construcció d'un hexàedre coneguda l'aresta més baixa i el centre del poliedre.
Construcció d'un hexàedre amb una cara sobre un pla oblic als plans de projeccions
2.3 L'octàedre
2.3 L'octàedre
2.3.1 Elements i relacions
2.3.1 Elements i relacions
L’octàedre és un políedre regular convex format per vuit cares, totes elles triangles equilàters (figura 29). Té sis vèrtexs i dotze arestes. Les cares oposades són paral·leles dues a dues i la distància entre elles és una magnitud que es determina a partir de la secció principal, i que utilitzarem en alguna de les seves representacions dièdriques.
Figura 29
Les tres diagonals són iguals i perpendiculars i es tallen en els seus punts mitjos, punts que coincideixen amb el centre geomètric del políedre. Coneguda l’aresta, podem determinar la longitud de la diagonal D mitjançant la construcció del triangle rectangle de la figura 30.
Figura 30
La secció principal és la intersecció de l’octàedre amb un pla que passa pel seu centre geomètric i per les altures de dos parells de cares oposades (figura 31). Aquesta intersecció és un rombe, el costat del qual coincideix amb l’altura hc del triangle de les cares i les diagonals del qual són l’aresta a i la diagonal D de l’octàedre; la distància dc entre costats oposats de la secció principal coincideix amb la mínima distància entre cares oposades de l’octàedre.
Figura 31
En la figura 32 disposem perpendicularment els valors coneguts d’aresta i diagonal, tallant-se en els seus respectius punts mitjos, per fixar la posició de les diagonals del rombe que ens permeten traçar la secció principal; en ella determinem el segment dc de la distància entre cares. La figura 33, amb la representació de mitja secció principal, és una simplificació de l’anterior:
Un triangle isòsceles de base a i altura la meitat de la diagonal, D/2. L’altura, traçada amb relació a un dels costats iguals, coincideix amb la distància entre cares dc i amb el diàmetre de l’esfera inscrita en l’octàedre.
Figura 32 Figura 33
2.3.2 Representació de l'octàedre
2.3.2 Representació de l'octàedre
Amb una de les seves diagonals perpendicular al PH
Amb la diagonal EF representada com una recta vertical (figura 34), el contorn aparent, A’B’C’D’, de la projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l’aresta de l’octàedre. Les diagonals A’C’ i B’D’ tenen la mateixa longitud que la diagonal E’’F’’, totes elles en veritable magnitud. Respecte a la diagonal EF es projecten, horitzontalment, les vuit arestes restants de l’octàedre.
En projecció vertical, els vèrtexs E i F estan en els extrems de la diagonal corresponent, mentre que els altres quatre es troben sobre el pla mitjà de l’octàedre, horitzontal i de cota igual a la meitat de la longitud de la diagonal. Completem el traçat amb la representació de les arestes i l’estudi de la seva visibilitat en la forma acostumada.
Figura 34
Amb una cara recolzada en el pla horitzontal
Comencem per representar la projecció horitzontal (figura 35); el triangle A’B’F’ hi està en veritable magnitud, corresponent a la projecció horitzontal de la cara continguda en el PH. La cara oposada, C’D’E’, paral·lela a l’anterior i al PH, també està en veritable magnitud i es projecta horitzontalment segons un triangle equilàter desfasat 180° en relació amb l’anterior. La unió de les projeccions dels sis vèrtexs defineix el contorn aparent i ens completa la projecció horitzontal.
Figura 35
En projecció vertical, les cares ABF i CDE es projecten com a dos plans horitzontals paral·lels, el segon dels quals té, respecte al primer, una cota relativa igual a la distància entre cares oposades. La determinem amb una construcció auxiliar, realitzada sobre la representació en planta: abatem sobre l’horitzontal el triangle rectangle que té per catets la distància entre cares i la projecció horitzontal de l’altura d’una cara, i per hipotenusa, la veritable magnitud d’aquesta última. Un segon triangle auxiliar ens determina també la distància entre cares, en funció de la veritable magnitud de l’aresta i de la seva projecció.
Amb el pla mig situat en un pla donat
En el pla 123 donat, coneixem també les projeccions de l’aresta AB de l’octàedre (figura 36). Girem el pla respecte a un eix de punta que passa pel vèrtex 1’ – 1’’, fins a col·locar-lo horitzontal i representem en veritable magnitud la secció A1’B1’C1’D1’. Al desfer el gir tindrem les projeccions, C’D’ i C’’D’’, dels altres dos vèrtexs de la secció. Pel seu centre O’ – O’’ tracem la perpendicular r al pla de cantell; aquesta serà una frontal que, sobre la seva projecció vertical, mesurarem la veritable magnitud de la diagonal del políedre, per completar la posició dels vèrtexs E’’ i F’’ que referim a la projecció horitzontal de la recta r. L’estudi en la forma acostumada de la visibilitat de les arestes completa la representació sol·licitada.
Figura 36
Vídeos sobre construccions d'octaedres
Vídeos sobre construccions d'octaedres
Elements principals de l'octàedre
Construcció secció principal d'un octàedre
Representacions de les posicions característiques de l'octàedre
Octàedre recolzat sobre una cara i aresta de punta
Octàedre recolzat sobre una cara
Octàedre amb una cara en posició pla vertical
Octàedre recolzat sobre aresta i diagonal de punta
Octàedre recolzat sobre aresta i cap aresta és frontal
Octàedre recolzat sobre un vèrtex i diagonal vertical
Exercici PAU juny 2014
Projeccions horitzontal i vertical dels punts a-a′ i b-b′. Projeccions verticals dels
punts c-c′ i d-d′.
Exercici
a) Determineu la projecció horitzontal d’un quadrat que tingui els vèrtexs en els punts a-a′, b-b′, c-c′ i d-d′.
b) Dibuixeu les projeccions horitzontal i vertical d’un octaedre regular de manera que els costats del quadrat determinat en l’apartat anterior siguin arestes de l’octaedre. Diferencieu les arestes vistes de les ocultes.
3. Seccions planes, desenvolupaments i transformades
3. Seccions planes, desenvolupaments i transformades
Determinar la secció que un pla produeix en un cos, políedre regular en el nostre cas, o la intersecció d’aquest amb una recta, no són més que dues aplicacions de les interseccions entre elements fonamentals que hem estudiat en la Unitat anterior. Ho veurem en els pròxims apartats.
3.1 Seccions planes dels políedres
3.1 Seccions planes dels políedres
Denominem secció plana a la intersecció d’un pla amb un cos. En la descripció efectuada dels diferents políedres, a més a més de la denominada secció principal, hem parlat d’altres seccions característiques; per exemple, la secció hexagonal produïda en un cub per un pla que, passant pel centre del políedre, sigui perpendicular a una de les seves diagonals. En general, per determinar una secció plana qualsevol, haurem de buscar els punts d’intersecció de cadascuna de les arestes del cos amb el pla; aquests punts d’intersecció seran els vèrtexs del polígon secció. Vegem-ne dos exemples, amb dues posicions de plans diferents:
- Secció plana d'un tetraedre per un pla projectant
Partim de les dues projeccions del tetràedre i del pla sector, en aquest cas un pla DFG de cantell (figura 37).
Per ser el pla projectant vertical, els punts d’intersecció amb el políedre seran els d’intersecció de la seva projecció vertical D’’F’’G’’ amb les projeccions verticals de les arestes del tetràedre. Així, directament, trobem les projeccions verticals 1’’, 2’’, 3’’ dels vèrtexs del polígon secció. Referim les anteriors projeccions a les corresponents arestes de la projecció horitzontal del tetràedre, i tindrem la projecció horitzontal de la secció. En la projecció horitzontal, considerant opac el pla DFG, podem estudiar la visibilitat del conjunt format pel tetràedre i el pla sector.
Figura 37
Si volem conèixer la secció produïda pel pla DFG en veritable magnitud, haurem de situar l’esmentat pla en posició, per exemple, de pla horitzontal. En la figura hem realitzat aquesta transformació mitjançant un abatiment, obtenint la projecció 11’ – 21’ – 31’ de la secció plana en veritable magnitud.
- Secció plana d'un hexàedre per un pla qualsevol
Per determinar la secció que un pla produeix en una figura quan el pla és oblic als de projecció, podem procedir de dues maneres: determinant la intersecció de cadascuna de les arestes amb el pla, en una aplicació de la intersecció recta-cos que veurem en el pròxim apartat, o, més fàcilment, col·locant el pla en posició de pla projectant; d’aquesta segona manera, la secció que produeix el pla es veurà com una recta i la seva determinació és immediata, com ja hem vist en l’exemple anterior.
Suposem l’hexàedre representat en la figura 38 i en volem determinar la seva secció per un pla MNP, oblic als de projecció. En la direcció de la projecció horitzontal d’una de les rectes horitzontals del pla, efectuem un canvi de pla vertical que ens situï el pla MNP com un pla de cantell. En relació amb la mateixa direcció determinem la nova projecció vertical del cub. Els punts en què el segment M1’’ – N1’’ – P1’’, projecció projectant del pla, talla les arestes de la nova projecció vertical són els vèrtexs del polígon secció; mitjançant les respectives línies de correspondència entre projeccions, passem els vèrtexs de la secció a les projeccions inicials del cub. En referir 1’’, 2’’, etc. utilitzem les cotes relatives de la projecció vertical auxiliar.
Figura 38
Si busquem la secció en veritable magnitud, abatrem respecte a un dels plans de projecció el pla MNP que la conté; abatiment que realitzem a partir de la posició del pla en la projecció auxiliar. Observem en la secció abatuda que les arestes produïdes com a intersecció d’un pla sobre dues cares paral·leles d’un mateix cos, són també paral·leles.
Qualsevol secció plana la resoldrem de la manera com hem efectuat en els exemples anteriors: si el pla és projectant, trobarem directament el polígon secció en la intersecció de la traça projectant del pla amb les arestes del cos (si el pla fos horitzontal o frontal, tindríem, a més, la projecció no projectant de la secció en veritable magnitud); si el pla és oblic, efectuarem un canvi de pla per aconseguir-ne la posició de pla projectant amb els avantatges derivats.
3.2 Interseccions recta-políedre
3.2 Interseccions recta-políedre
Trobar la intersecció d’una recta amb un sòlid consisteix en determinar-hi els punts d’entrada i sortida de la recta. Per a això utilitzarem un pla auxiliar que contingui la recta (figura 39) i determinarem la secció que l’esmentat pla produeix en el sòlid; els punts d’intersecció entre la secció i la recta són els punts buscats.
Figura 39
En projeccions dièdriques, hem buscat les interseccions entre una recta r i un octàedre, conegudes les projeccions d’ambdós (figura 40).
Utilitzem com a pla auxiliar un projectant horitzontal que, en aquesta projecció, coincideix amb r’ (no cal representar la projecció vertical del pla auxiliar). La seva intersecció amb la projecció horitzontal de les arestes del políedre defineix la posició dels vèrtexs 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ i 6’ de la secció auxiliar.
Referim els vèrtexs anteriors a la projecció vertical de les arestes de l’octàedre; la seva unió representa la projecció vertical de la secció auxiliar, i la intersecció d’aquesta amb la projecció vertical r’’ determina les projeccions verticals, P’’ i Q’’, dels punts buscats. A continuació, referirem aquests a la projecció horitzontal r’ de la recta. En ambdues projeccions representem amb traç discontinu el segment comprès entre els punts P i Q, per diferenciar la part de la recta que travessa l’interior del políedre.
No hi afegim més exemples, ja que independentment del políedre de què es tracti, sempre utilitzarem un procediment idèntic al que acabem de veure.
Figura 40
Intersecció entre un pla oblic i un tetraedre
Intersecció entre un pla projectant horitzontal i un cub
3.3 Desenvolupaments
3.3 Desenvolupaments
En classificar les superfícies a l’inici del tema, les polièdriques (entre les quals s’inclouen els políedres regulars) figuraven dintre de les denominades desenvolupables. Això significa que la superfície exterior associada a cadascun d’ells pot estendre’s sobre un pla.
Com que estan formats per polígons regulars, representar el seu desenvolupament no presenta cap més dificultat que la de dibuixar cadascuna de les seves cares en contacte amb les contigües; així ho hem realitzat per a cadascun d’ells en la figura 41.
Figura 41
El desenvolupament de l’hexàedre correspon al representat en la figura 38. Sobre ell hem indicat la secció que en el políedre produïa un pla MNP; aquesta representació es denomina transformada de la secció. Tant les arestes que defineixen el desenvolupament de la superfície del sòlid, com els segments corresponents a la transformada de la secció plana, han de ser sempre veritable magnitud.
Page updated
Report abuse