Embedded Files
Sistema dièdric II: moviments
Els moviments que estudiarem en aquesta unitat tenen per finalitat situar un element geomètric - punt, recta o pla- en una posició, que anomenarem posició favorable, de la qual deriven propietats mètriques o la determinació de les quals resulti fàcil. Aquests moviments són tres: canvi de pla, gir i abatiment.
1. Canvi de pla de projecció
1. Canvi de pla de projecció
En el canvi de pla substituïm un dels plans de projecció per un de nou, perpendicular al pla que mantenim, i respecte del qual l'element considerat tingui una posició favorable. La projecció sobre el pla que es manté no variarà i obtindrem una nova projecció sobre el nou pla de projecció.
La figura 1 mostra com d'un mateix objecte obtenim projeccions verticals diferents segons la direcció des de la qual s'efectuen.
Figura 1
1.1 Noves projeccions de punt i recta
1.1 Noves projeccions de punt i recta
Per determinar les noves projeccions d'una recta en efectuar-hi un canvi de pla de projecció, horitzontal o vertical, n'hi haurà prou de determinar les noves projeccions de dos dels seus punts. Veurem els canvis de pla a efectuar en una recta obliqua per transformar-la en una de les següents posicions favorables:
De recta obliqua a recta horitzontal
Una recta horitzontal, paral·lela al PH, té tots els punts amb la mateixa cota, i la seva projecció vertical és perpendicular a la direcció que estableix la correspondència entre les projeccions dels seus punts.
Partint d'una recta obliqua, per aconseguir que la seva projecció vertical tingui les característiques de les rectes horitzontals, afectarem un canvi de pla horitzontal de projecció. La nova correspondència entre projeccions, condicionada pel tipus de recta que volem obtenir, s'establirà perpendicularment a la projecció vertical inicial, que no variarà.
A la figura 2, perpendicularment a r", busquem les noves projeccions horitzontals de dos punts A i B de la recta. A qualsevol lloc de la perpendicular a r", traçada des de B", hi situarem la nova projecció B1'. A partir d'aquesta projecció, i amb el valor d'allunyament a agafat de la projecció horitzontal inicial, situem la nova projecció A1', que, juntament amb B1', permet traçar r1'. Com que el canvi de pla efectuat ha estat horitzontal, la projecció vertical de la recta no ha variat.
Figura 2
De recta obliqua a recta frontal
Conegudes les característiques de la recta frontal, disposarem la nova correspondència entre projeccions perpendicularment a la seva projecció horitzontal, que es mantindrà invariable. El canvi de pla a efectuar és un canvi de pla vertical de projecció. Les noves projeccions es disposen en zones netes del paper i s'evita la superposició de projeccions.
En la construcció de la figura 3, en traslladar-hi la cota relativa z en relació amb la nova projecció vertical A1", aconseguirem la projecció vertical, B1", d'un segon punt de la recta. Per A1" i B1" passa la nova projecció vertical r1".
Figura 3
De reca obliqua a recta vertical
El pas entre aquestes projeccions exigeix la realització de dos canvis de pla, els quals seran successius i un de cada tipus. Tot seguit veurem en quin ordre s'han de produir.
A la posició final de recta vertical la projecció horitzontal és un punt. Per arribar a aquesta projecció horitzontal haurem de partir d'una posició en què tots els punts de la projecció horitzontal anterior tinguin el mateix allunyament, cosa que només passa en la recta frontal. Per tant, haurem de passar de recta obliqua a frontal i, d'aquesta a vertical.
E la figura 4, s'hi ha realitzat gràficament el procés descrit. En el primer canvi de pla -vertical- disposem la correspondència entre projeccions perpendicularment a la projecció horitzontal r' de la recta donada. En determinar la nova projecció vertical, queda transformada en recta frontal.
El segon canvi de pla -horitzontal- disposem la nova correspondència entre projeccions en la direcció de la projecció vertical r1", que no variarà i passarà a ser la projecció vertical r2" de segon canvi de pla. La nova projecció horitzontal, r2', serà un punt perquè no existeix allunyament relatiu entre els punts de l'anterior projecció horitzontal r1'.
Figura 4
De recta obliqua a recta de punta
Per arribar a la posició de recta de punta, el pas intermedi és una recta amb tots els punts de la seva projecció vertical amb la mateixa cota (recta horitzontal). Per tant, hem de passar de recta obliqua a horitzontal, canvi de pla horitzontal, i d'aquesta, a recta de punta, a través d'un segon canvi de pla, lògicament, vertical.
A la figura 5 s'ha realitzat gràficament el procés descrit. En el primer canvi de pla disposem la nova correspondència entre projeccions perpendicularment a la projecció vertical r" de la recta donada.
En el segon canvi de pla -vertical- disposem la nova correspondència entre projeccions en la direcció de la projecció horitzontal r1', que no variarà i passarà a ser la projecció horitzontal r2' del segon canvi de pla. La corresponent projecció vertical, r2", serà un punt perquè no existeix diferència de cota a l'anterior projecció vertical r1".
Figura 5
Vídeos sobre canvis de pla: recta
1.2 Noves projeccions del pla
1.2 Noves projeccions del pla
Com hem fet a les rectes, si en un pla oblic ara hi efectuem un canvi de pla, és per aconseguir una de les posicions favorables que es descriuen a continuació.
De pla oblic a pla de cantell
El pla de cantell, perpendicular al pla vertical de projecció, es caracteritza per ser projectant vertical. Les rectes horitzontals d'un pla oblic, en passar aquest a pla de cantell, es transformen en rectes de punta.
Al pla ABC de la figura 6, hi representen l'horitzontal auxiliar h, que fem passar pel seu vèrtex de menor cota. Per transformar aquesta horitzontal en recta de punta, cal fer un canvi de pla vertical de projecció en la direcció de h'.
Situem la projecció vertical A1", a qualsevol punt de la direcció assenyalada per h'; respecte d'ella, amb les cotes relatives z1 i z2 agafades de la projecció vertical inicial, determinen les projeccions C1" i B1", que completen la projecció projectant del pla de cantell.
Figura 6
De pla oblic a pla vertical
Per passar de pla oblic a vertical utilitzarem com a recta auxiliar una frontal f que, amb un canvi de pla horitzontal de projecció, transformarem en recta vertical.
Tracem la frontal auxiliar f al pla ABC donat (figura 7). A la direcció assenyalada per f" fixem la nova projecció horitzontal A1'. En relació amb aquesta nova projecció i fent servir els allunyaments relatius a1 i a2, fixarem les noves projeccions dels altres vèrtexs del triangle. Hem de mantenir el mateix sentit dels allunyaments i de les projeccions (el vèrtex C era el de més allunyament a la projecció horitzontal inicial i ho ha de continuar sent a la nova).
Figura 7
Unes altres posicions que també considerem favorables són les dels plans horitzontal i frontal, pel fet de tenir les veritables magnituds dels elements que contenen a sobre d'una de les seves projeccions. Però, per disposar de plans en veritable magnitud, el recurs més utilitzat és l'abatiment, tal com veurem a l'apartat 3.
D'un pla oblic a un pla de cantell
D'un pla oblic a un pla vertical
De projectant vertical a pla horitzontal / De pla de cantell a pla horitzontal
Canvi de pla vertical i horitzontal d'una figura tridimensional: piràmide
Canvi de pla horitzontal
Canvi de pla vertical
2. Gir
2. Gir
Una altra forma d'arribar a una posició favorable és realitzant un gir, en aquest moviment romanem invariables els dos plans de projecció, i el que varia la posició és l'element geomètric considerat, el qual gira al voltant d'un eix perpendicular a un dels plans de projecció. Per a cada element girat haurem de determinar les seves dues noves projeccions.
2.1 Gir d'un punt
2.1 Gir d'un punt
Un punt que gir al voltant d'un eix vertical es mou en un pla horitzontal, perpendicular a l'eix. La circumferència que el punt descrit es projecta horitzontalment en veritable magnitud (figura 8) i verticalment en un segment perpendicular a la projecció vertical de l'eix traçat per la projecció vertical del punt.
Figura 8
A la figura 9 repetim el procés, en projeccions dièdriques, a partir de les projeccions P'-P" del punt a girar i de l'eix vertical de gir, e'-e". La trajectòria del punt P és una circumferència de centre e' i radi igual a la distància entre e' i P". A sobre d'aquesta circumferència es trobarà la nova projecció horitzontal P1' del punt. La projecció vertical P1" es trobarà sobre la perpendicular a e" traçada des de P", en la seva intersecció amb la línia de correspondència traçada des de P1'.
Figura 9
En girar un punt respecte d'un eix horitzontal (figura 10), el moviment del unt s'hi produeix en un pla frontal que es projecta verticalment en veritable magnitud i, horitzontalment, com un segment perpendicular a la projecció e' de l'eix.
Figura 10
2.2 De recta obliqua a recta horitzontal
2.2 De recta obliqua a recta horitzontal
Partint d'una recta obliqua, haurem de girar la seva projecció vertical fins que ocupi la posició de les rectes horitzontals. Per realitzar aquest gir de la projecció vertical, necessitarem un eix de punta.
A la figura 11, hi hem disposat com a eix de gir una recta de punta, e'-e", que es talla amb la recta donada en el punt B'-B". Un segon punt de la recta, A'-A", ens serveix per realitzar el gir de la projecció vertical fins a la posició A1", d'igual cota que B" (invariable pel fet de pertànyer a l'eix de gir). Per determinar-ne la projecció horitzontal r1', tracem la línia de correspondència des de A1" fins a tallar la perpendicular a l'eix traçada per A'. Aquesta intersecció és la projecció A1', que, unida amb B', defineix la projecció r1'.
Figura 11
De recta obliqua a recta frontal
Respecte de l'eix vertical e'-e" girarem la projecció horitzontal de la recta donada fins a la posició característica de les rectes frontals.
Tracem l'eix (figura 12) de manera que es talli amb la recta en un punt B'-B", que serà invariable en el gir. Realitzarem el gir d'un segon punt de la recta, A'-A", de manera que la nova projecció horitzontal A1' tingui el mateix allunyament que B'. Referim A1' a la projecció vertical i tracem les dues noves projeccions de la recta r1'-r1".
Figura 12
De recta obliqua a recta de punta
Per portar veritables magnituds sobre les projeccions d'una recta o mesurar la veritable magnitud d'un segment, n'hi ha prou amb qualsevol de les dues rectes anteriors, ja que totes dues tenen en veritable magnitud la projecció sobre el pla al qual són paral·leles.
Com a exemple de realització d'un doble gir, a la figura 13 disposem el pas d'una recta obliqua a recta de punta. Mitjançant el gir respecte de l'eix de punta e'-e", transformem la recta obliqua inicial en recta horitzontal. Des d'aquesta posició, i mitjançant el gir respecte d'un eix vertical j'-j", arribem a la posició desitjada de recta de punta r2'-r2".
Invertim l'ordre dels girs, aconseguiríem el pas de recta obliqua a recta vertical passant per una recta frontal intermèdia.
Figura 13
2.3 Gir d'un pla
2.3 Gir d'un pla
Si el gir d'una recta és la forma més ràpida d'aconseguir tenir-la en posició favorable, no succeeix el mateix amb el gir de plans. Per passar un pla oblic a projectant, el moviment més ràpid i net de línies és el canvi de pla, encara que amb un gir també és possible fer-ho, tal com veurem a continuació.
De pla oblic a pla de cantell
Al pla ABC de la figura 14 tracem la recta m de màxim pendent que passa pel vèrtex B. És perpendicular a les seves horitzontals i ho continuarà sent quan passi a ser un pla de cantell- En aquesta posició, les horitzontals seran rectes de punta i la recta de màxim pendent serà lògicament, frontal.
Pel vèrtex B fem passar també l'eix vertical e'-e" respecte del qual farem el gir. Girem el punt d'intersecció entre h' i m' per tal que aquesta última ocupi la posició m1', corresponent a la projecció horitzontal d'una frontal. Determinem la corresponent projecció vertical m1", que coincideix amb la projecció projectant del pla i sobre la qual situem, amb perpendiculars traçades des de A" i C", les noves projeccions d'aquests vèrtexs. Finalment, els referim a la projecció horitzontal girant A' i C' el mateix angle que havíem girat la recta de màxim pendent.
D'una forma similar realitzarem el gir d'un pla oblic fins a la posició de pla vertical, perpendicular al pla horitzontal de projecció.
Figura 14
El gir al sistema dièdric
Gir d'un punt amb un angle determinat
Gir d'una recta al voltant d'un eix (l'eix talla a la recta)
Gir d'una recta al voltant d'un eix (l'eix no talla a la recta)
Gir: transformació d'un pla obliquo a projectant.
3. Abatiment
3. Abatiment
L'abatiment s'aplica exclusivament a un pla; per tant, les expressions "abatre un punt" o "abatre una recta" són incorrectes.
Abatre un pla és girar-lo respecte de la seva recta d'intersecció amb un altre pla, fins a fer-os coincidir. La recta d'intersecció o eix de l'abatiment rep el nom de xarnera o frontissa. Si l'abatiment es fa a sobre d'un dels plans de projecció, al pla abatut tindrem la veritable magnitud de tots els elements geomètrics continguts en aquest pla.
3.1 Abatiment d'un pla
L'abatiment d'un pla, en projeccions dièdriques, l'efectuem com a suma dels dos moviments anteriors.
Canvi de pla, per passar del pla oblic inicial a un dels projectants (de cantell o vertical).
Gir, per situar el pla projectant coincident amb el corresponent de projecció.
Per abatre horitzontalment el pla ABC de la figura 15 comencem per situar-ho, a través d'un canvi de pla, com a pla de cantell. En la direcció de la projecció horitzontal h' del pla ABC situem la projecció A1", respecte de la qual -i amb les cotes relatives z1 i z2- situem les projeccions C1" i B1".
La projecció h' és l'eix del gir de la projecció auxiliar A1"B1"C1" fins a una posició de la horitzoantal A2"B2"C2". La projecció horitzontal corresponent (A)(B)(C) és l'abatiment del pla ABC i la seva veritable magnitud.
Als abatiments respecte del pla vertical de projecció o de plans paral·lels a ell, la frontissa serà una recta frontal del pla. En tots els casos els punts de la frontissa són punts dobles, és a dir que una de les seves projeccions i el seu abatiment coincideixen en un menteix punt.
3.2 Abatiment i relació d'afinitat
Entre la projecció horitzontal i la posició abatuda damunt d'un pla horitzontal existeix una relació d'afinitat, la qual ve definida pels elements següents:
Eix: la frontissa de l'abatiment.
Direcció d'afinitat: perpendicularment a l'eix.
Un parell de punts afins.
A la figura 15 comprovem aquesta afinitat i com les rectes afins, B'C' i (B)(C), es tallen al mateix punt de l'eix d'afinitat (coincident amb el de gir). Aquesta afinitat, en figures més complexes, ens pot ajudar a completar l'abatiment.
Figura 15
3.3 Restituir formes abatudes a projeccions
El pal delimitat per les rectes paral·leles r i s (figura 16) conté un quadrat, amb un costat sobre cada una de les rectes i amb el vèrtex de mentor cota en el punt A, situat sobre les projeccions de la recta s. cal determinar les dues projeccions del quadrat.
Pel punt A donat fem passar una recta horitzontal h; la seva projecció horitzontal h' defineix la direcció per efectuar un canvi de pla i situar el pla definit per les rectes r i s en posició del cantell (la cota z del punt 2'-2" ens permet determinar la projecció auxiliar).
La projecció h' és l'eix del gir de la projecció de cantell A1"21" fins a una posició de pla horitzontal A2"22". Per la projecció abatuda (2) i ple punt d'intersecció entre h' i r' passa la projecció abatuda (r). L'abatiment de la recta (s) és paral·lel a l'anterior i passa pel punt doble A'-(A).
La perpendicular des del punt A'-(A) a la recta (r) determina el vèrtex abatut (B) i la magnitud real del costat del quadrat, que permet completar els vèrtexs (C) i (D). Les perpendiculars a h' traçades des de cada vèrtex de la projecció abatuda determinen, a la recta corresponent, les projeccions B', C' i D', que, referides a projecció vertical, completen les dues projeccions del quadrat. En ambdues projeccions es manté el paral·lelisme entre costats oposats.
Figura 16
3.4 Completar les projeccions d'una forma plana
L'abatiment és el moviment més utilitzat per determinar les projeccions d'una forma de la qual coneixem la VM. Ho veurem a la resolució del problema següent.
El triangle A'B'C' és la projecció horitzontal d'un triangle equilàter, la projecció vertical del costat de menor cota és el segment A"B". Cal completar la projecció vertical del triangle (figura 17). Per completar la projecció vertical d'aquest triangle necessitem conèixer la cota z del vèrtex C, la qual determinen mitjançant projeccions auxiliars.
El costat AB, del qual coneixem les dues projeccions, és un segment horitzontal amb la projecció A'B' en veritable magnitud i coincident amb la magnitud del costat del triangle. Utilitzem el seu valor per representar el triangle A'B'(C), abatiment del triangle ABC.
En la direcció de A'B' realitzem dues projeccions auxiliars: la primera A1"B1"C1", és la projecció vertical corresponent al triangle abatut; la segona és el gir de l'anterior respecte de la recta de punta A'B'-A1"B1".
La Projecció auxiliar C2" es troba en correspondència dièdrica amb C', i a sobre de l'arc de centre A1"B1" i radi la distància des d'aquest punt fins a C1". La cota z de C2" mesurada en aquesta projecció auxiliar ens serveix per determinar la projecció vertical C".
Figura 17
Vídeo abatiment d'un punt 3D
Abatimiento de un punto (Diédrico).mp4Abatiment d'un pla obliquo. Verdadera magnitud (VM)
Abatiment d'un pla obliquo. Resolució de figures planes.
Page updated
Report abuse