Unitat 4

Sistema dièdric I: Introducció

Introducció

El sistema dièdric o de Monge pren el seu nom del matemàtic i científic francès Gaspard Monge (1746-1818), qui es va plantejar com representar els objectes de forma clara per a la seva construcció. Els seus estudis van permetre representar i abordar amb major facilitat l'estudi de la resta de Sistemes de Representació.

El sistema dièdric (del grec Di = dos i Hedra = cara) és el procediment de representació basat en la projecció cilíndrica ortogonal sobre, fonamentalment dos plans perpendiculars denominats: horitzontal i vertical de projecció. Aquests plans divideixen l'espai en quatre quadrants o diedres. La línia d'intersecció entre els plans H i V es denomina línia de terra o línia de plegament del pla horitzontal sobre el vertical.

Els elements a presentar en aquest sistema poden situar-se en qualsevol dels quatre diedres. No obstant això, les dues posicions normalitzades corresponen a objectes ubicats en el primer diedre (Sistema europeu) o en el tercer (Sistema Americà).

1. Fonaments del sistema dièdric

De tots els sistemes de representació dels quals vam parlar el curs passat, el sistema dièdric és el més utilitzat en enginyeria, arquitectura, disseny... i en totes aquelles activitats on calgui prendre mides o fer càlculs, directament, sobre la representació gràfica. Aquest sistema de representació permet la representació precisa en dues dimensions de qualsevol objecte de tres dimensions (Fig. 1). Els seus fonaments són:

Figura 1

Utilitza dos plans de projecció perpendiculars entre si, un d'horitzontal i un altre de vertical. De vegades, cal un tercer pla, el de perfil, perpendicular als dos anteriors.
En el sistema europeu de col·locació de vistes, l'objecte se suposa situat entre l'observador i el pla de projecció. Respecte dels dos plans principals de projecció, l’objecte se situa per davant del pla vertical i per damunt de l'horitzontal.
L'objecte es projecta a sobre dels plans de projecció mitjançant la projecció cilíndrica ortogonal.
La projecció feta a sobre del pla vertical s'anomena alçat o projecció vertical, i s'anomena planta o projecció horitzontal la projecció del pla horitzontal.
La planta i l'alçat se situen en un mateix pla girat el pla horitzontal respecte de la seva intersecció amb el vertical, fins que quedi com a prolongació d'aquest últim.

2. Delimitació del sistema i notacions a utilitzar

El procés d'obtenció de les projeccions dièdriques d'un cos (per exemple la piràmide de la figura 1) és el següent:

Fem passar per cadascun dels vèrtexs de la piràmide rajos de projecció verticals. Les seves interseccions amb el pla horitzontal de projecció determinen, a sobre d'aquest pla, la projecció horitzontal o planta de la piràmide.

Figura 1

D'una forma semblant, els rajos de projecció perpendiculars al pla vertical de projecció passen pels vèrtexs del cos, en determinen la projecció vertical o alçat (fig. 2).

Figura 2

Si traiem la piràmide situada entre els dos plans de projecció, a sobre d'aquests, tenim les projeccions principals de la piràmide (fig. 3); però aquesta representació encara és tridimensional.

Figura 3

Passarem a una representació bidimensional girant el pla horitzontal de projecció respecte de la seva intersecció amb el vertical, fins que coincideixin coplanàriament (fig. 4).

Figura 4

Notació a utilitzar (tot i que no hi ha una norma concreta ni única):

ELEMENT A L'ESPAI

Lletra sense cap apòstrof.

Per exemple, punt A, recta r...

PROJECCIÓ HORITZONTAL

Lletra amb un apòstrof.

Per exemple, A' és la projecció horitzontal d'un punt A.

PROJECCIÓ VERTICAL

Lletra amb dos apòstrofs.

Per exemple, r" és la projecció vertical d'una recta r.

3. Projeccions dièdriques dels elements simples

3.1 El punt

Seguint amb la piràmide anterior (figura 5), per a cada vèrtex o punt de l'espai tindrem dues projeccions: per al punt A tindrem les projeccions A' i A", horitzontal i vertical respectivament, separades una distància qualsevol però buscant la millor comprensió i claredat del dibuix.

A partir de les projeccions d'un dels punts situem les dels altres tenint en compte aquests dos conceptes:

Cota. És la distància des d'un punt fins al pla horitzontal de projecció. Quan parlem de cota relativa ens referim a la diferència de les distàncies de dos punts al pla horitzontal, i és visible en la separació entre les projeccions verticals d'aquests punts. El punt V de la figura 5 té més cota que el punt A.
Allunyament. És la separació des de qualsevol punt respecte del pla vertical de projecció. Quan parlem d'allunyament relatiu ens referim a la diferència de les distàncies de dos punts al pla vertical, i és visible a la separació entre les projeccions horitzontals d'aquests dos punts. A la mateixa figura 5, els punts A i V tenen el mateix allunyament, que és menor que el del punt B i més gran que el del punt C.

Figura 5

3.2 De la recta

Una recta a l'espai ve definida quan se'n coneixen dos dels punts. A les projeccions dièdriques, si hi unim les projeccions de dos dels punts d'una mateixa recta, obtindrem les seves dues projeccions.

Representació de la recta. Posicions particulars

La taula que hi ha sota, mostra els tipus de rectes i les seves característiques (quan es parla de veritable magnitud, es vol indicar que una projecció té la mateixa dimensió que la real situada a l'espai):

La projecció, a sobre del pla de projecció al qual un pla és perpendicular, s'anomena projectant i és un segment en el qual es troben les projeccions de tots els elements continguts en aquest pla.

3.3 El pla

La representació dièdrica d'un pla es pot realitzar mitjançant les projeccions dels elements que ens serveixen per definir-lo a l'espai (figura 6).

Tres punts no alienats.
Dues rectes paral·leles.
Dues rectes que es tallin en un punt.
Una recta i un punt exterior a aquesta.

Figura 6

Representació del pla. Posicions particulars

Quan utilitzem tres punts, es representa la porció del pla limitada entre aquests tres punts, encara que la seva superfície sigui il·limitada. La taula següent presenta els tipus de plans i les seves característiques.

Vídeo sobre fonaments del sistema dièdric TRADICIONAL

Vídeo sobre introducció al sistema dièdric DIRECTE

Alfabet del punt. Dièdric tradicional

Representació de la recta. Dièdric tradicional

Representació d'un pla. Dièdric directe

Posicions particulars dels plans. Dièdric directe

4. Pertinences

4.1 Entre elements simples

Entre els tres elements anteriors -punt, recta i pla- podem establir relacions de pertinença que, en projeccions dièdriques i per a cadascun dels casos possibles, recordem de forma resumida:

4.2 Rectes notables del pla

De les infinites rectes que podem situar damunt d'un pla destaquem les anomenades rectes notables. Les dues primeres s'utilitzaran com a rectes auxiliars.

Recta horitzontal d'un pla

Aquesta recta compleix una doble condició: ser horitzontal i pertànyer a un pla α. En un pla podrem traçar-hi infinites rectes horitzontals i totes seran paral·leles entre si. A més, cada una d'aquestes rectes representa la intersecció del pla α amb un pla horitzontal.

A la figura 7 s'ha representat l'horitzontal del pla ABC, que passa pel punt A del pla. Com que es tracta d'una recta horitzontal, la seva projecció vertical és perpendicular a la direcció definida per la correspondència A' A", la projecció horitzontal passa per A' i per la projecció 1' d'un segon punt comú al pla i a la recta.

Figura 7

Recta frontal d'un pla

La recta frontal d'un pla és una recta que, simultàniament, és frontal i pertany a un pla α. Les rectes frontals d'un pla representen la intersecció d'aquest pla amb un pla frontal. En un pla podem traçar-hi infinites rectes frontals, que, a més, seran paral·leles entre si.

A la figura 8 hi ha representada una de les frontals del pla ABC, que passa, a més pel punt C del pla. Com que és una recta frontal, la seva projecció horitzontal és perpendicular a la direcció definida per la correspondència A' A". La projecció vertical es determina mitjançant un segon punt, 1'-1", comú al pla i a la recta.

Figura 8

Recta de màxim pendent

És la recta del pla que forma l’angle més gran possible amb un pla horitzontal. És perpendicular a totes les rectes horitzontals del seu pla.

En el pla ABC de la figura 9 hem traçat la recta de màxim pendent que passa pel punt B. Primer tracem una qualsevol de les horitzontals del pla ABC. La projecció horitzontal de la recta de màxim pendent passa per B' i és perpendicular a h'. La projecció vertical passa per B" i per la projecció vertical, 2", del punt d'intersecció entre les projeccions horitzontals m' i h'.

Figura 9

Aquesta recta també serveix per definir la posició d'un pla (figura 10). A partir de les projeccions m'-m" d'una recta de màxim pendent tracem una segona recta que, tallant-se amb l'anterior, definirà el pla. Per la projecció horitzontal P' d'un punt qualsevol de la recta m, hi tracem h' perpendicular a m', i per P" tracem la protecció vertical h" d'una recta horitzontal. Les rectes m i h defineixen el pla.

Amb posicions diferents del punt P tindríem altres plans paral·lels a l'anterior, però tots ells compartirien la recta m com a recta de màxima pendent.

Figura 10

Rectes notables d'un pla

Recta de màxima inclinació

És la recta del pla que forma l’angle més gran possible amb el pla vertical de projecció o amb qualsevol pla frontal. És perpendicular a totes les rectes frontals del seu pla.

En el pla ABC de la figura 11 hem traçat la recta de màxima inclinació que passa pel punt C. Primer en tracem una qualsevol de les frontals del pla. La projecció vertical de la recta de màxima inclinació passa per C" i és perpendicular a f". La projecció horitzontal passa per C' i per la projecció horitzontal, 2', del punt d'intersecció entre les projeccions verticals n" i f".

Figura 11

Aquesta recta, per si sola, defineix un pla (figura 12). Per un punt P qualsevol de la recta de màxima inclinació n tracem una de les rectes frontals del pla. Per P" tracem f", perpendicular a n", i per P' tracem la projecció horitzontal f' corresponent a una recta frontal. Les rectes n i f defineixen el pla.

Hi ha infinits plans amb la mateixa recta de màxima inclinació, els obtindrem variant la posició P, situat arbitràriament a sobre de la recta n. Tots aquests plans serien paral·lels entre ells.

Figura 12

5. Paral·lelisme

El paral·lelisme és invariant projectiu amb la projecció cilíndrica ortogonal. És a dir, els elements paral·lels a l'espai, projectats damunt d'un pla mitjançant aquest tipus de projecció, continuen sent paral·lels.

5.1 Entre rectes

Dues rectes del mateix pla ocupen una d'aquestes dues posicions relatives:

Es tallen (figura 13a) i tenen un únic punt comú, el punt P.
Són paral·leles (figura 13b). Tenen les projeccions horitzontals i verticals paral·leles.

Dues rectes no coplanàries, si no són paral·leles, es creuen a l'espai (figura 13c).

Figura 13a

Figura 13b

Figura 13c

5.2 Entre recta i pla

Una recta r és paral·lela a un pla α si és paral·lela a una recta qualsevol del pla α (figura 14). A la inversa, podem afirmar que perquè un pla sigui paral·lel a una recta r, al pla hi ha d'haver, com a mínim una recta s paral·lela a r. En veurem dos exemples en projeccions dièdriques:

Figura 14

Recta paral·lela a un pla passant per un punt

Pel punt P de projeccions P'-P" (figura 15) volem traçar una recta paral·lela al pla ABCD de projeccions també conegudes. La recta demanada serà paral·lela al pla si ho és a una de les seves infinites rectes. A la resolució, s'hi ha representat una recta paral·lela a un dels costats del quadrilàter que defineix el pla.

Figura 15

Pla paral·lel a una recta passant per una altra recta

Del feix de plans que passen per la recta h donada (figura 16), només n'hi haurà un que sigui paral·lela a la recta r de la mateixa figura. Aquest pla, que el determinen com a intersecció de dues rectes, ha de tenir una recta s paral·lela a r. Per tant, per un punt qualsevol, P'-P" de la recta h, tracem les projeccions s'-s" d'una recta paral·lela a r. El pla format per les rectes s i h és el pla demanat.

Figura 16

5.3 Entre plans

Un pla és paral·lel a un altre quan al primer dels plans hi ha, com a mínim, dues rectes paral·leles a altres dues del segon pla (figura 17). Les quatre rectes notables de dos plans paral·lels a altres dues del segon pla (figura 17). Les quatre rectes notables de dos plans paral·lels també són paral·leles entre elles.

Figura 17

A la figura 18 hi ha representats dos plans paral·lels, el primer donat per tres punts i l'altre donat per dues rectes que es tallen. Aquests plans són paral·lels perquè les dues rectes que defineixen el segon són paral·leles a altres dues rectes del primer.

Figura 18

Pla paral·lel a un altre passant per un punt

Per un punt P volem traçar un pla paral·lel al pla ABC (figura 19). El nou pla haurà de contenir dues rectes paral·leles a altres dues del pla ABC. Utilitzem dues rectes que es tallin i que, alhora, siguin paral·leles a dues rectes del pla donat: la recta r paral·lela al costat AB del triangle i una segona recta s, paral·lela al costat BC. Totes dues ens defineixen el pla demanat.

Figura 19

6. Perpendicularitat

La perpendicularitat no és invariant projectiu respecte de la projecció cilíndrica ortogonal. Per tant, la perpendicularitat entre dos elements de l'espai només és visible a les seves projeccions quan es compleixen determinades condicions.

6.1 Teoremes relacionats amb la perpendicularitat

Abans de resoldre les qüestions de perpendicularitat, hem de conèixer els principis següents:

Teorema de les tres perpendiculars. Si dues rectes r i s són perpendiculars a l'espai i una d'elles, la recta r de la figura 20, és paral·lela a un pla de projecció, les seves projeccions damunt d'aquest pla, r' i s', són també perpendiculars.

Si dues rectes són perpendiculars a l'espai, però cap d'elles no és paral·lela a un dels dos plans de projecció, aleshores no es projecten com a perpendiculars ni horitzontalment ni verticalment.

Figura 20

Recta perpendicular a un pla. Quan una recta r és perpendicular a un pla, és perpendicular a totes les rectes d'aquest pla, m, s, t..., passin o no pel punt d'intersecció de la recta r amb el pla (figura 21).

Figura 21

6.2 Entre rectes

La perpendicularitat entre dues rectes pot donar lloc als casos següents:

Si una de les rectes és paral·lela a un dels plans de projecció, les seves projeccions damunt d'aquest pla es veuran perpendiculars (en aplicació del teorema de les tres perpendiculars).

Si la recta donada és horitzontal (figura 22) des de la projecció horitzontal P' del punt donat tracem la projecció horitzontal, r', perpendicular a h', referim el punt I' d'intersecció entre r' i h' a la projecció vertical h"; per I" i P" passa la projecció vertical de r". Les rectes r i h es tallen perpendicularment al punt I.

Figura 22

Si la recta donada és frontal (figura 23), des de la projecció vertical P" del punt tracem r" perpendicular a f". La projecció horitzontal r' està traçada per P' i amb qualsevol inclinació. Així, Les rectes r i f es creuen perpendicularment.

Si les dues rectes són obliqües respecte dels plans de projecció, les seves projeccions damunt d'aquests plans no es veuran perpendiculars. Aquesta és una proposició derivada del fet que la perpendicularitat no és invariant projectiu.

Figura 23

6.3 Entre recta i pla

Perquè una recta sigui perpendicular a un pla n'hi ha prou que sigui perpendicular a dues rectes qualssevol, no paral·leles, d'aquest pla. Les dues rectes escollides, per la facilitat de veure a les projeccions la perpendicularitat existent a l'espai, són una horitzontal i una frontal del pla.

Recta perpendicular a un pla passant per un punt

En primer lloc, tracem una horitzontal i una frontal del pla ABC donat (figura 24). Les projeccions de la recta perpendicular, r'-r", passaran per les projeccions del punt P i seran perpendiculars, respectivament, a la projecció horitzontal h' de la recta horitzontal i a la projecció vertical, f", de la recta frontal del pla ABC.

Figura 24

Pla perpendicular a una recta passant per un punt

El nou pla vindrà definit per dues rectes, que tallant-se al punt P donat, siguin perpendiculars a la recta r també donada (figura 25). Com que r és una recta obliqua, i per poder veure la perpendicularitat a projeccions dièdriques, les rectes perpendiculars a la recta han de ser paral·leles als plans de projecció. El pla format per l'horitzontal h i la frontal f és perpendicular a la recta donada.

Figura 25

Recta perpendicular a un pla de cantell per un punt exterior

La recta perpendicular a un pla de cantell és una recta frontal (paral·lela al pla de projecció al qual el pla és perpendicular) (figura 26). La projecció vertical de la recta f passa per P" i és perpendicular a la traça projectant del pla ABC. La projecció horitzontal f' passa per P' i té la posició habitual d'aquesta projecció a les rectes frontals.

D'una manera semblant, la perpendicular des d'un punt exterior a un pla vertical serà una recta horitzontal, i el seu traçat serà semblant al que acabem de realitzar.

Figura 26

6.4 Entre plans

Perquè un pla α sigui perpendicular a un altre pla β (figura 27) n'hi ha prou que el primer dels plans contingui una recta que sigui perpendicular a l'altre pla, d'acord amb les condicions de perpendicularitat entre recta i pla que hem vist a l'apartat 6.3.

Figura 27

Pla perpendicular a un altre passant per una recta

Pel punt P de la recta r (figura 28) tracem una recta s perpendicular al pla ABC: la seva projecció horitzontal s' és perpendicular a la projecció h' d'una de les horitzontals del pla, i s" és perpendicular a la projecció vertical f" d'una de les rectes frontals del pla. El pla format per les rectes r i s, que es tallen al punt P, és perpendicular al pla ABC perquè conté una recta, la s, perpendicular a aquest pla.

Figura 28

6.5 Entre rectes obliqües

Recta perpendicular a una altra passant per un punt P

Tracem un pla que, passant pel punt donat, sigui perpendicular a la recta r. Totes les rectes d'aquest pla seran perpendiculars a la donada.

Amb una recta horitzontal i una altra de frontal que es tallen al punt P (figura 29) definim un pla perpendicular a la recta r, d'acord amb els principis que hem vist a 6.3. Qualsevol de les rectes d'aquest pla -la s, per exemple- que fem passar pel punt P és perpendicular a la recta r (com que totes dues són obliqües, les seves projeccions no es veuen perpendiculars).

Figura 29

Page updated

Report abuse