第5回山口代数セミナー
日付: 2025年3月4日(火), 5日(水)
場所: 山口大学理学部1号館 第11講義室
プログラム
4日(火)
10:30--11:30 淺井 聡太(東京大学)
TF同値と2項準傾複体 I
(昼食)
13:00--14:00 淺井 聡太(東京大学)
TF同値と2項準傾複体 II
14:30--15:30 飯塚 亮太(名古屋大学)
変異が誘導する(前)三角圏構造 I
15:50--16:50 飯塚 亮太(名古屋大学)
変異が誘導する(前)三角圏構造 II
(懇親会)
5日(水)
10:30--11:30 山浦 浩太(山梨大学)
On the stable category of graded Cohen-Macaulay modules over a graded IG-algebra
(昼食)
13:00--14:00 源 泰幸(大阪公立大学)
Hirzebruch-Riemann-Roch formula for dg-algebras and universal Auslander-Reiten triangles
14:20--15:20 源 泰幸(大阪公立大学)
A relative version of Smith theorem, Calabi-Yau completion and a generalization of derived quiver Heisenberg algebras
アブストラクト(講演順)
淺井 聡太(東京大学)
・TF同値と2項準傾複体
有限次元多元環の傾理論において、2項準傾複体は、中心的な研究対象の一つである。特に、射影加群圏の実Grothendieck群において、2項準傾複体とその直和因子が定める錐たちは、扇構造をなし、これをsilting fanと呼ぶ。その研究のための道具の一つが、Baumann-Kamnitzer-Tingleyの半安定ねじれ対を用いて、私が導入した実Grothendieck群上の同値関係「TF同値」である。TF同値の定義には、2項準傾複体は現れないが、それにもかかわらず、TF同値がsilting fanを復元することを、私は証明した。本講演では、この結果について、百合草やBrüstle-Smith-Treffingerによる先行研究との関連も含めて、解説する。1コマ目では、2項準傾複体を用いずにすむ範囲で、TF同値の定義や性質を述べ、2コマ目で、内点をもつTF同値類が、2項準傾複体の錐の内部に他ならないことを、説明する。
飯塚 亮太(名古屋大学)
・変異が誘導する(前)三角圏構造
三角圏においてcluster-tilting部分圏、silting部分圏、simple-minded system、simple-minded collectionの変異は三角圏構造を誘導することが、それぞれIyama-Yang、Iyama-Yoshino、Coelho Simões-Pauksztello、Jinによって独立に示された。またこれらが定める三角圏構造は、Nakaokaで構成されたconcentric twin cotorsion pair (cTCP)が定める(Beligiannis-Reitenの意味での)前三角圏構造と(全く同じか)よく似たものになっている。
一方、完全圏において、フロベニウス完全圏の安定圏が三角圏となることがHappelによって、より一般にextriangulated圏 (ET圏)において、フロベニウスET圏の安定圏は三角圏となることがNakaoka-Paluによって示されている。
本講演では上述の三角圏における各々の変異やcTCP、フロベニウスET圏の同時一般化であるmutation triple (MT)という枠組みをET圏において定義する。MTは常に前三角圏の構造を定めるが、ある条件を満たす時はより強く三角圏の構造を定める性質を持つ。上述した三角圏を誘導する全ての例は、この条件を満たすMTであり、このMTによる三角圏構造の構成は全ての例を含んでいることを紹介する。
山浦 浩太(山梨大学)
・On the stable category of graded Cohen-Macaulay modules over a graded IG-algebra
Λを有限次元代数、Mをその両側余傾加群とします。AをΛのMによる自明拡大とするとき、Aは次数付きIwanaga-Gorenstein代数となります。Happelによる1980年代の研究成果を元にして、2021年に源-山浦は次のことを示しました：(1)有限生成Λ加群の圏の有界導来圏Dから次数付きCohen-Macaulay A加群の安定圏Cへの忠実充満関手Hが存在する。(2)Λが大域次元有限のときのみ、Hは三角圏同値になる。本講演の目的はこの結果を精密化することにあります。講演ではΛがIwanaga-Gorenstein代数のときにCの構造を観察し、Cのあるthick部分圏C'が存在して、DとVerdier商C/C'の間の圏同値がHから導かれることを説明します。
源 泰幸(大阪公立大学)
・Hirzebruch-Reiman-Roch formula for dg-algebras and universal Auslander-Reiten triangles
Homologically smooth, proper な微分次数代数AのHochschild homology には向井pairingと呼ばれるpairingが定まり、それに関してHirzebruch-Reiman-Roch formulaと呼ばれている結果がCaldararu-Willerton（代数多様体の場合）, Shklyarov, Petit, Polishchuk-Vaintrovにより得られています。向井pairingとSerre双対のpairingに関する相互律（代数多様体の場合はCaldraru-Willerton）を示すことで、Serre双対のpairingの計算を向井pairingのHRR formulaに還元し、Herschend氏との共同研究で得られていた箙Qの道代数kQの場合に関するSerre双対の計算公式をhomologically smooth, proper 微分次数代数に一般化します。この結果とHappelによるAuslander-Reiten triangleの判定法から、homologically smooth, proper 微分次数代数にたいしてuniversal AR triangleと呼ぶべき両側微分次数付加群の完全三角が存在することが従います。
・A relative version of Smith theorem, Calabi-Yau completion and a generalization of derived quiver Heisenberg algebras
基礎体k上連結なKoszul代数AにたいしてそれがAS正則であることとそのKoszul双対A^{!}が次数Frobeniusであることが同値であり、また、AがCalabi-YauであることとA^{!}が次数対称であることが同値であることがP. Smithにより示されています。仮定からAのKoszul性を外してもこの同値性が成り立つことがLu-Palmieri-Wu-Zhangにより示されています。基礎体k上連結という仮定をhomologically smooth な微分次数代数上R連結に一般化してもこの同値性が成り立つことが今回の主結果です。この同値性をR上連結な次数対称代数の最も簡単なもの（次数成分が0次1次のみのもの。自明拡大）に適用すれば、KellerによるRのCalabi-Yau completionが得られます。その次に簡単な次数対称代数（次数成分が0,1,2次のみのもの）に適用すれば、箙Heisenberg代数の一般化と言えるものが得られます。
第4回山口代数セミナー
日付: 6月15日(土), 16日(日)
場所: 山口大学理学部1号館 第11講義室
プログラム:
15日(土)
10:30--11:30 神田 遼(大阪公立大学)
Roos categories I
(昼食)
13:00--14:00 神田 遼(大阪公立大学)
Roos categories II
14:30--15:30 小境 雄太(東京理科大学)
有限skew braceの表現論 I
15:50--16:50 小境 雄太(東京理科大学)
有限skew braceの表現論 II
(懇親会)
16日(日)
09:30--10:30 青木 利隆(神戸大学)
Tilting mutation of Brauer configuration algebras I
10:50--11:50 青木 利隆(神戸大学)
Tilting mutation of Brauer configuration algebras II
(昼食)
13:30--14:30 加瀬 遼一(岡山理科大学)
τ傾有限代数のフロベニウス・ペロン次元について I
14:50--15:50 加瀬 遼一(岡山理科大学)
τ傾有限代数のフロベニウス・ペロン次元について II
アブストラクト(講演順)
神田 遼(大阪公立大学)
・Roos categories
This talk is based on arXiv:2405.16468.
In 1965, Roos proved that a Grothendieck category satisfies Grothendieck's conditions Ab6 and Ab4* if and only if it is the quotient category of the category of modules over a ring by a bilocalizing subcategory. We call a Grothendieck category satisfying Ab6 and Ab4* a Roos category. Consequently, it follows that every Roos category is represented by a pair consisting of a ring and its idempotent ideal, and is equivalent to the category of firm modules over an idempotent non-unital ring.
In 2015, Brandenburg, Chirvasitu, and Johnson-Freyd conjectured that every dualizable locally presentable linear category is strongly generated by compact projective objects. However, it turned out that there is a counterexample. It follows that every Roos category is dualizable, and there is a nonzero Roos category that has no nonzero projective objects, constructed by Roos. Therefore the conjecture should be modified as follows: every dualizable locally presentable linear category is a Roos category.
Stefanich, in a preprint in 2023, proved that every dualizable locally presentable linear category is a Grothendieck category satisfying Ab4*. We observe that it also satisfies Ab6, which gives an affirmative answer to the modified conjecture.
小境 雄太(東京理科大学)
・有限skew braceの表現論
Skew braceは2017年にGuarnieri-Vendraminにより導入された代数的構造である。Skew braceの構造を調べることは，Yang-Baxter方程式の非退化集合論的解についての情報を得ることにつながる。さらに，ホップ・ガロア構造におけるホップ・ガロア対応の全射性を調べることにも役立つなど，多くの応用があり，skew braceの研究は急速に進んでいる。
Skew braceはある意味で，群の一般化である。そこで，有限skew brace，すなわち位数が有限であるskew braceの表現と，有限群の表現がどの程度似た性質をもつか，という疑問が生じる。
本講演では，マシュケの定理やクリフォードの定理をはじめとする有限群の表現論における諸定理の有限skew brace版が成り立つことを説明する。さらに，基礎体が正標数をもつ場合の有限skew braceの表現に関するいくつかの特徴付けも与える。
本講演はお茶の水女子大学のCindy Tsang氏との共同研究に基づく。
青木 利隆(神戸大学)
・Tilting mutation of Brauer configuration algebras
Tilting theory is a powerful tool to analyze the structure of derived categories and a rich source of derived equivalences. In fact, for symmetric algebras, tilting mutation yields large family of derived equivalent symmetric algebras as the endomorphism algebras. Thus, it is a fundamental problem to describe tilting mutation of a given symmetric algebra.
Brauer graph algebras are symmetric special biserial algebras defined from combinatorial objects called Brauer graphs. It is known that tilting mutation of Brauer graph algebras is compatible with flip of Brauer graphs. In this talk, we generalize this result to the class of Brauer configuration algebras introduced by Green and Schroll. More precisely, under a certain condition, we introduce flip of Brauer configurations and show that it is compatible with tilting mutation of the corresponding Brauer configuration algebras.
This talk is based on a joint work with Yingying Zhang (arXiv:2403.14134).
加瀬 遼一(岡山理科大学)
・τ傾有限代数のフロベニウス・ペロン次元について
アーベル圏(や三角圏)のフロベニウス・ペロン(FP)次元はChen--Gao--Wicks--Zhang--Zhang--Zhuにより定義された概念であり、Etingof--Nikshych--Ostrikによる半単純テンソル圏の対象に対するFP次元の類似物となっています。FP次元は無限大を含む非負の値を取りますが、アーベル圏(や三角圏)として有限次元道代数の加群圏(やその導来圏)を考えるとその表現型がFP次元によって区別されることが知られています。
本講演ではτ傾理論をもとにτ傾有限代数(の加群圏)のFP次元について幾つかの具体例や計算例を与えます。また有限表現型代数の場合にそのFP次元の上限について考察します。