<!--Mathjax--><script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><!--Inhaltsverzeichnis--><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
document.getElementById("contents").innerHTML = document.getElementById("contents").innerHTML.replace( /<h([\d])>([^<]+)<\/h([\d])>/gi, function (str, openLevel, titleText, closeLevel) { if (openLevel != closeLevel) { return str; }
if (openLevel > level) { toc += (new Array(openLevel - level + 1)).join("<ul>"); } else if (openLevel < level) { toc += (new Array(level - openLevel + 1)).join("</ul>"); }
level = parseInt(openLevel);
//Hinzufügen eines Namens in den Überschriften-Tags var anchor = titleText.replace(/ /g, "_"); toc += "<li><a>" + titleText + "</a></li>";
return "<h" + openLevel + "><a name=\"" + anchor + "\">" + titleText + "</a></h" + closeLevel + ">"; } );
//Ende der Gesamt-Liste if (level) { toc += (new Array(level + 1)).join("</ul>"); }
//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Table of Contents</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<!--HTML-Start--><h3>Bogenmaß</h3><h4>Bogenlänge eines Kreisbogens</h4><h5>Bezeichnungen und Kreisteile</h5><p><a href="https://de.serlo.org/mathe/1553/kreisbogen-kreissektor-und-kreisring#kreisbogenlaenge">Zusammenfassung bei Serlo</a></p><ul><li>Kreissektor</li><li>Mittelpunktswinkel</li><li>Kreisbogen</li><li>Bogenlänge</li></ul><h5>Berechnung der Bogenlänge</h5><ul><li>Berechnung der Bogenlänge b für einen Bogen mit Radius r und Mittelpunktswinkel \(\alpha\)<br />\(\dfrac{b}{U_{Kreis}}=\dfrac{\alpha}{360°}\\b=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi\cdot r\\b=\dfrac{\alpha}{180°}\cdot\pi\cdot r\\\alpha=\dfrac{180°}{\pi\cdot r}\cdot b\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/cfxykxzq">Berechnung mit Geogebra</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1553/kreisbogen-kreissektor-und-kreisring#:~:text=Berechnung%20des%20Kreisrings-,Berechnung%20der%20Kreisbogenl%C3%A4nge,-Die%20Kreisbogenl%C3%A4nge">Bogenlänge bei Serlo</a></li></ul><h5>Definition des Bogenmaßes</h5><ul><li>Das Bogenmaß \(x\) ist die Bogenlänge für Radius 1.<br />\(x=\dfrac{\alpha}{180°}\cdot\pi\\\alpha=\dfrac{180°}{\pi}\cdot x\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wdugsrvg">Berechnung mit Geogebra</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1963/bogenma%C3%9F">Bogenmaß bei Serlo</a></li></ul><h4>Besondere Bogenmaße</h4><p>Aus der Definition des Bogenmaßes<br />\(x=\dfrac{\alpha}{180°}\cdot\pi\\\alpha=\dfrac{180°}{\pi}\cdot x\)<br />ergeben sich folgende besondere Werte:</p><table><caption>Umrechnungstabelle</caption><tbody><tr><th scope="row">\(\alpha_{Gradmaß}\)</th><td>0°</td><td>30°</td><td>45°</td><td>60°</td><td>90°</td><td>120°</td><td>135°</td><td>180°</td><td>270°</td><td>360° </td></tr><tr><th scope="row">\(\alpha_{Bogenmaß}\)</th><td>0</td><td>\(\dfrac{\pi}{6}\)</td><td>\(\dfrac{\pi}{4}\)</td><td>\(\dfrac{\pi}{3}\)</td><td>\(\dfrac{\pi}{2}\)</td><td>\(\dfrac{2}{3}\pi\)</td><td>\(\dfrac{\pi}{6}\)</td><td>\(\pi\)</td><td>\(\dfrac{3}{2}\pi\)</td><td> \(2\pi\)</td></tr></tbody></table><p><br /><br /></p><h4>Bogenmaß bei Sinus- und Kosinus</h4><p><a href="https://de.serlo.org/mathe/1961/trigonometrie-am-einheitskreis">Zusammenfassung bei Serlo</a></p><h5>Sinus- und Kosinus am Einheitskreis mit Bogenmaß</h5><ul><li>Sinus und Kosinus sind am rechtwinkligen Dreieck durch das Verhältnis der Katheten zur Hypotenuse definiert (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1565/sinus-kosinus-und-tangens">Serlo</a>).</li><li>Sinus und Kosinus in einem rechtwinkligem Dreieck beim Einheitskreis (<a href="https://www.geogebra.org/m/yqgskdme">Geogebra</a>)<ul><li>\( \sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \)</li><li>\( \cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)</li></ul></li><li>Werte von Sinus und Kosinus bestimmter Winkel im Bogenmaß am Einheitskreis mit Geogebra<ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/zk9y7bt3">Gradmaß gegeben</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fuhfsurz">Bogenmaß gegeben</a></li></ul></li></ul><h5>Besondere Werte für Sinus und Kosinus</h5><ul><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1961/trigonometrie-am-einheitskreis#:~:text=Qudranten%20am%20Einheitskreis.-,Wichtige%20Werte,-In%20der%20unteren">Tabelle besonderer Werte für Sinus und Kosinus bei Serlo</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/tkhgtpr6">Bestimmung der besonderen Werte für Sinus und Kosinus in Geogebra</a></li><li><strong>Berechnungen der besonderen Werte für Sinus und Kosinus mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis</strong> (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1961/trigonometrie-am-einheitskreis">Serlo</a>)<ul><li>\(\textbf{Für das rechtwinklige Dreieck}\\\textbf{im Einheitskreis gilt:}\\\sin\alpha=\cos(90°-\alpha)\\\cos\alpha=\sin(90°-\alpha)\)</li><li>\(\textbf{Berechnung von }\sin30°=\cos60°\\\text{Für die Hälfte des gleichseitigen Dreiecks}\\\text{mit drei 60°-Winkeln und Seitenlänge 1 gilt:}\\\sin30°=\dfrac{1}{2}\\\cos60°=\dfrac{1}{2}\)</li><li>\(\textbf{Berechnung von}\sin45°=\cos45°\\ (\sin45°)^2+(\sin45°)^2=1^2\\2(\sin45°)^2=1\\ (\sin45°)^2=\dfrac{1}{2}\\\sin45°=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\\sin45°=\sqrt{\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 2}}\\\sin45°=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\\\cos45°=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)</li><li>\(\textbf{Berechnung von}\sin60°=\cos30°\\ (\sin60°)^2+(\cos30°)^2=1^2\\\ (sin60°)^2=1-(\dfrac{1}{2})^2\\\sin60°=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\\sin60°=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\\\cos30°=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)</li></ul></li></ul><h5>Vorzeichen der Werte für Sinus und Kosinus</h5><p><a href="https://de.serlo.org/mathe/1961/trigonometrie-am-einheitskreis#:~:text=Gegenkathete-,Vorzeichen,-Die%20trigonometrischen%20Funktionen">Serlo</a></p><h5>Bestimmung der Winkel bei gegebenen Sinus- und Kosinuswerten</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/m/mqwrtqrn">Geogebra</a></p><h3>Sinus- und Kosinusfunktion</h3><h4>Zusammenhang zwischen Kreisbewegung und Sinus- und Kosinusfunktion</h4><ul><li><a href="https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sincostan_de.htm">Animation von Walter Fendt</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/2149/zusammenhang-zwischen-kreisbewegung-und-sinus-und-kosinusfunktion">Animation bei Serlo</a></li></ul><h4>Periode von Sinus- und Kosinusfunktion</h4><p>Wegen der Entstehung der Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion wiederholen sich die Funktionswerte nach \(2\pi\). (<a href="https://de.serlo.org/mathe/2113/periode-einer-funktion">Serlo</a>)</p><h4>Zuordnungsvorschrift von Sinus- und Kosinusfunktion</h4><ul><li>\(f_1:x\mapsto f_1(x)=\sin(x), D_{f_1}=\mathbb{R}\)</li><li>\(f_2:x\mapsto f_1(x)=\cos(x), D_{f_2}=\mathbb{R}\)</li></ul><h4>Zusammenhang zwischen den Graphen von Sinus- und Kosinusfunktion</h4><ul><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1909/sinusfunktion-und-kosinusfunktion">Beschreibung der Ermittlung einzelner Punkte der Graphen und deren Eigenschaften bei Serlo</a><ul><li>Nullstellen und Extrema von Sinus- und Kosinusfunktion</li><li>Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion<br /><ul><li>\(\sin(x+\dfrac{\pi}{2})=\cos(x)\)</li><li>\(\cos(x-\dfrac{\pi}{2})=\sin(x)\)</li></ul></li></ul><ul><li>Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.</li></ul></li><li>Zeichnen der Graphen von Sinus- und Kosinusfunktion für eingeschränkte Definitionsmengen und Ermittlung der Winkel für vorgegebene Sinus- und Kosinuswerte (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/qv4fsmfs">Geogebra</a>)</li></ul><h3>Allgemeine Sinusfunktion</h3><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/hhxmbjdv">Zeichnen einer allgemeinen Sinusfunktion</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/nm3guena">Bedeutung der Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/54038/verschieben-und-strecken-von-trigonometrischen-funktionen#:~:text=%C3%9Cberblick%20%C3%BCber%20den%20Einfluss%20der%20Parameter">Informationen zur allgemeine Sinusfunktion in Serlo</a></li></ul><h4>Zuordnungsvorschrift der allgemeinen Sinusfunktion</h4><ul><li>\(f:x\mapsto f(x)=a\cdot \sin(b(x+c))+d, x\in D_f=\mathbb{R}, a, b, c, d\in\mathbb{R}, a\neq 0,b\neq 0\)</li><li>Graph mit Geogebra</li></ul><h4>Bedeutung der Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion</h4><p>Geogebra</p><h5>Streckung in y-Richtung (Parameter a)</h5><ul><li>\( f(x)=a\cdot\sin(x), D_f=\mathbb{R}, a\in \mathbb{R}, a\neq 0 \)</li><li>Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung</li><li>\(W_f=[-|a|;|a|]\)</li></ul><h5>Streckung in x-Richtung (Parameter b)</h5><ul><li>\( f(x)=\sin(b\cdot x), D_f=\mathbb{R}, b\in \mathbb{R}, b\neq 0 \)</li><li>Spiegelung an der y-Achse falls b<0</li><li>Streckung um den Faktor \(\dfrac{1}{|b|}\) in x-Richtung</li><li>Periodenlänge \(\dfrac{2\pi}{|b|}\)</li><li>Nullstellen \(x_k=\dfrac{\pi}{b}\cdot k, k\in \mathbb{Z}\)</li></ul><h5>Verschiebung in x-Richtung (Parameter c)</h5><ul><li>\( f(x)=\sin(x+c), D_f=\mathbb{R}, c\in \mathbb{R}\)</li><li>Verschiebung um -c in x-Richtung (c<0 positive Richtung nach rechts, c>0 negative Richtung nach links)</li><li>Nullstellen \(x_k=k\pi-c, k\in \mathbb{Z}\)</li></ul><h5>Verschiebung in y-Richtung (Parameter d)</h5><ul><li>\( f(x)=\sin(x)+d, D_f=\mathbb{R}, d\in \mathbb{R}\)</li><li>Verschiebung um d in y-Richtung</li><li>\(W_f=[-1+d;1+d]\)</li></ul><h4>Eigenschaften einer allgemeinen Sinusfunktion</h4><h5>Funktionsterm einer allgemeinen Sinusfunktioin</h5><p>\(f(x)=a\cdot \sin(b(x+c))+d, x\in D_f=\mathbb{R}, a, b, c, d\in\mathbb{R}, a\neq 0,b\neq 0\)</p><h5>Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion für d=0</h5><p>\(x_k=\dfrac{k\pi}{|b|}+c; k\in \mathbb{Z}\)</p><h5>Extrema der allgemeinen Sinusfunktion</h5><p>Die Extrema liegen in der Mitte zweier benachbarter Nullstellen.</p><h5>Periode der allgemeinen Sinusfunktion</h5><p>\(p=\dfrac{2\pi}{|b|}\)</p><h5>Wertemenge der allgemeinen Sinusfunktion</h5><p>\(W_f=[-|a|+d;|a|+d]\)</p><h4>Skizzieren einer allgemeinen Sinusfunktion</h4><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/hhxmbjdv">Geogebra</a></li><li>Bestimmung der Parameter aus dem Term \(f(x)=a\cdot \sin(b(x+c))+d\)</li><li>Zeichnen der Intervallgrenzen der Definitionsmenge auf der x-Achse.</li><li>Zeichnen dreier benachbarter Nullstellen \(x_k=\dfrac{k\pi}{|b|}+c; k\in \mathbb{Z}\) (z.B. k=0;1;2) der nicht in y-Richtung verschobenen allgemeinen Sinusfunktion (d=0), die eine Periode festlegen.</li><li>Ist die Definitionsmenge auf ein Intervall beschränkt, zeichnen der Intervallgrenzen der Definitionsmenge auf der x-Achse mit den entsprechenden Funktionswerten .</li><li>Mit Hilfe der halben Periode alle Nullstellen für d=0 in der Definitionsmenge kennzeichnen</li><li>Extrema unter Berücksichtigung der Parameter a und b für Maxima und Minima einzeichnen. (z.B. befindet sich zwischen den Nullstellen \(N_0\) und \(N_1\) ein Maximum, wenn entweder a>0 und b>0 oder a<0 und b<0 ist.)</li><li>Für \(d\neq 0\) werden die besonderen Punkte entsprechend einer Parallelen im Abstand d zur x-Achse eingezeichnet.</li></ul><h4>Zeichnen einer allgemeinen Sinusfunktion mit Geogebra</h4><p>Graph mit <a href="https://www.geogebra.org/calculator/hhxmbjdv">Geogebra</a> (Besondere Punkte können durch durch Auswahl des Graphen markiert werden.)</p><h4>Bestimmung des Terms einer allgemeinen Sinusfunktion aus dem Graphen</h4><ul><li>Für den Graphen einer allgemeinen Sinusfunktion gibt es mehrere Möglichkeiten diesen durch entsprechende Parameter darzustellen.</li><li>Zeichnen einer Mittelparallelen zu den Parallelen durch die Extrema zur x-Achse</li><li>Ablesen bezüglich eines Schnittpunktes der Mittelparallelen mit dem steigenden Graphen aus der Zeichnung von<ul><li>Amplitude</li><li>Periode</li><li>Verschiebung in x-Richtung</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/nm3guena">Geogebra</a></li></ul><h3>Modellieren periodischer Vorgänge</h3><h4>Vorgehen beim Modellieren periodischer Vorgänge</h4><ul><li>Die Werte eines periodischen Vorgangs werden in einem Koordinatensystem als Graph dargestellt.</li><li>Bestimmung des Terms einer allgemeinen Sinusfunktion aus dem Graph</li></ul><h4>Schwingung eines Federpendels als Beispiel</h4><ul><li>Die Werte für die Auslenkung der Schwingung eines Federpendels (<a href="https://www.youtube.com/watch?v=ZZiE8KbkTuw">YouTube</a>) werden in Abhängigkeit von der Zeit mit Hilfe einer Wertetabelle in ein Zeit-Auslenkungs-Koordinatensystem eingetragen und somit ein Zeit-Auslenkungs-Diagramm erstellt (<a href="https://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-schwingungen/grundwissen/harmonische-schwingungen#:~:text=folgenden%20Bedingungen%20erf%C3%BCllt.-,Bedingung%20A,-Die%20Bewegung%20des">LeifiPhysik</a>), das an eine allgemeine Sinusfunktion erinnert.</li><li>Es gibt eine <a href="https://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_de.htm">Animation von Walter Fendt für die Schwingung eines Federpendels</a>, welche die <a href="https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sincostan_de.htm">Animation von Walter Fendt zur Entstehung des Graphen der Sinusfunktion aus der Rotation eines Punktes beim Einheitskreis</a> ergänzt,</li><li>Aus dem Zeit-Auslenkungs-Diagramm ergibt sich folgender Funktionsterm der Schwingung eines Federpendels:<ul><li>\(y(t)=y_0\cdot\sin(\dfrac{2\pi}{T}\cdot( t-\dfrac{T}{4}))\) mit Schwingungsdauer \(T\)</li><li>Vergleich mit dem Funktionsterm einer allgemeinen Sinusfunktion<br />\(f(x)=a\sin(b(x+c))+d\)<br />mit \(a=y_0, b=\dfrac{2\pi}{T}, c=-\dfrac{T}{4}, d=0\)</li></ul><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/dzr6prau">Geogebra</a></li></ul></li></ul><h3>Zusammenfassung des Kapitels "Sinus und Kosinusfunktion"</h3><ul><li>Das Verhältnis von Umfang \(U\) zum Durchmesser \(d\) ist bei allen Kreisen gleich der irrationalen Zahl \(\pi\) (Zahl mit unendlich vielen Dezimalen ohne Peiode). <br />\(\dfrac{U}{d}=\pi\) (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/cxkgkkxj">Geogebra</a>)</li><li>Die Länge eines Kreisbogens \(b\) ergibt sich aus dem Umfang eines Kreises und dem dazugehörigen Mittelpunktswinkel \(\alpha\) im Gradmaß (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/cfxykxzq">Geogebra</a>).<br />\(\dfrac{b}{U}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\Rightarrow b=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\)</li><li>Die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius \(r=1\) ermöglicht es, einen Winkel nicht nur im Gradmaß sondern auch im Bogenmaß zu messen (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/wdugsrvg">Geogebra</a>).<ul><li>\( x=\dfrac{\alpha}{180^\circ}\cdot \pi \)</li><li>\( \alpha=\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x \)</li></ul></li><li>Sinus und Kosinus stellen in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete bzw. Ankathete zur Hypotenuse bezüglich eines Winkels dar,<ul><li> weswegen sich deren Werte an den Koordinaten eines Punktes \(P(\cos(\alpha);\sin(\alpha))\) auf dem Einheitskreis ablesen lassen,</li><li>wobei \(\alpha\) den Winkel gegen den Urzeigersinn zwischen x-Achse und Strecke zwischen Punkt und Ursprung darstellt.</li><li>Im Uhrzeigersinn wird der Winkel als negativ bezeichnet.</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/zk9y7bt3">Geogebra</a></li></ul></li><li>Für bestimmte Winkel, wie 30°,45°,60°, lassen sich die Werte von Sinus und Kosinus mit Hilfe gleichschenkliger, gleichseitiger und rechtwinkliger Dreiecke exakt berechnen (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/tkhgtpr6">Geogebra</a>).</li><li>Die Werte für Sinus und Kosinus für Winkel größer als 90° lassen sich am Einheitskreis auf Winkel kleiner 90° zurückführen (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/mqwrtqrn">Geogebra</a>).</li><li>Um die Werte von Sinus und Kosinus als Graph einer Funktion mit reellen Zahlen darzustellen, werden die Winkel auf der x-Achse im Bogenmaß angegeben, wobei sich folgende Eigenschaften ergeben (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/tuc3wuhu">Geogebra</a>).<ul><li>Für die Wertemenge von Sinus- und Kosinusfunktion gilt \(W_f=[-1;1]\).</li><li>Die Werte von Sinus- und Kosinusfunktion wiederholen sich mit der Periode \(p=2\pi\), sodass die Nullstellen und Extrema beider Funktionen jeweils einen Abstand von \(\dfrac{p}{2}\) haben und die Extrema sich jeweils in der Mitte zwischen zwei Nullstellen befinden.</li><li>Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse.</li><li>Der Graph der Kosinusfunktion ergibt sich aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung nach links in Richtung der x-Achse um \(\dfrac{\pi}{2}\), sodass gilt \( \cos(x)=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})\).</li></ul></li><li>Bei gegebenen Werten für Sinus und Kosinus lassen sich die dazugehörigen Winkel sowohl am Einheitskreis als auch bei den Funktionsgraphen (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/qv4fsmfs">Geogebra</a>) durch Schnitt mit einer entsprechenden Geraden parallel zur x-Achse ermitteln.</li><li>Der Graph der allgemeinen Sinusfunktion mit dem Funktionsterm<br />\(f(x)=a\cdot\sin(b\cdot (x+c))+d, x\in D_f=\mathbb{R}, a, b, c, d\in\mathbb{R}, a\neq 0,b\neq 0\)<br />entsteht durch den Graph von Sinus- und Kosinusfunktion durch Streckung oder Verschiebung in y- bzw. x-Richtung , was sowohl<ul><li>zum Zeichnen des Graphen bei gegebenem Funktionsterm (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/hhxmbjdv">Geogebra</a>),</li><li>als auch zur Ermittlung der Parameter bei gegebenem Graphen genutzt wird (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/nm3guena">Geogebra</a>), </li><li>und somit für die Modellierung vieler periodischer Vorgänge genutzt wird, wie z.B. der Schwingung eines Federpendels (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/dzr6prau">Geogebra</a>, <a href="https://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_de.htm">Walter Fendt</a>).</li></ul></li></ul><!--HTML-Ende-->
</div>