<!--Mathjax--><script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><!--Inhaltsverzeichnis--><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
document.getElementById("contents").innerHTML = document.getElementById("contents").innerHTML.replace( /<h([\d])>([^<]+)<\/h([\d])>/gi, function (str, openLevel, titleText, closeLevel) { if (openLevel != closeLevel) { return str; }
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//Hinzufügen eines Namens in den Überschriften-Tags var anchor = titleText.replace(/ /g, "_"); toc += "<li><a>" + titleText + "</a></li>";
return "<h" + openLevel + "><a name=\"" + anchor + "\">" + titleText + "</a></h" + closeLevel + ">"; } );
//Ende der Gesamt-Liste if (level) { toc += (new Array(level + 1)).join("</ul>"); }
//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Table of Contents</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<!--HTML-Start--><h3>Eigenschaften ganzrationaler Funktionen</h3><h4>Beispiele ganzrationaler Funktionen</h4><ul><li>Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion<br />\(f:x\mapsto f(x)=-2x^2-4x+6; x\in D_f=\mathbb{R}\)</li><li>Weiteres Beispiel einer ganzrationalen Funktion<br />\(f:x\mapsto f(x)=4x^3-2x^2-4x+6; x\in D_f=\mathbb{R}\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiel einer ganzrationalen Funktion vom Grad 6 in Geogebra</a></li></ul><h4>Definition einer ganzrationalen Funktion</h4><ul><li>\(f:x\mapsto f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0; x\in D_f=\mathbb{R}\)</li><li>Die Parameter \(a_n;a_{n-1};...;a_2;a_1;a_0\) heißen <strong>Koeffizienten</strong> (\(a_i\in\mathbb{R};a\neq 0\))</li><li>Der höchste vorkommende Exponent \(n\in\mathbb{N}\) heißt <strong>Grad einer ganzrationalen Funktion.</strong></li><li>Der Term \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\) heißt <strong>Polynom</strong>.</li></ul><h4>Besondere ganzrationale Funktionen</h4><ul><li>Die quadratische Funktion mit dem Funktionsterm \(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\) hat den Grad \(n=2\).</li><li>Die lineare Funktion mit dem Funktionsterm \(f(x)=a_1x+a_0\) hat den Grad \(n=1\).</li><li>Die konstante Funktion mit dem Funktionsterm \(f(x)=a_0\) hat den Grad \(n=0\).</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiele in Geogebra eingeben</a></li></ul><h4>Verhalten einer ganzrationalen Funktion für betragsmäßig große x-Werte</h4><ul><li>Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion "im Unendlichen" ("Minus- und Plusunendlich") wird durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt.</li><li>Es gibt entsprechend den Potenzfunktionen mit dem Funktionsterm \(f(x)=a_nx^n\) (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/z3srcvw6">Geogebra</a>) vier charakteristische Verläufe im Unendlichen.<ul><li>\(n\) gerade und \(a_n>0\)<br />"von links oben nach rechts oben"</li></ul><ul><li>\(n\) gerade und \(a_n<0\)<br />"von links unten nach rechts unten"</li><li>\(n\) ungerade und \(a_n>0\)<br />"von links unten nach rechts oben"</li><li>\(n\) ungerade und \(a_n>0\)<br />"von links oben nach rechts unten"</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiele in Geogebra eingeben</a></li></ul><h3>Nullstellen ganzrationaler Funktionen</h3><h4>Lösbare Gleichungen bis Grad 2</h4><h5>Lineare Gleichung</h5><ul><li>\(a_1x+a_2=0\\x=-\dfrac{a_2}{a_1}\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiele in Geogebra eingeben</a></li></ul><h5>Quadratische Gleichung</h5><ul><li>\(a_2x^2+a_1x+a_0=0\)<ul><li>allgemein<br />\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)</li></ul><ul><li>\(a_2x^2+a_1x=0\\x(a_2x+a_1)=0\\x_1=0; x_2=-\dfrac{a_1}{a_2}\)</li></ul><ul><li>\(a_1=0\)<br />\(a_2x^2+a_0=0\\x_{1,2}=\pm\sqrt{-\dfrac{a_0}{a_2}}\)</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiele in Geogebra eingeben</a></li></ul><h4>Spezialfälle für Gleichungen ab Grad 3</h4><h5>Potenzgleichung</h5><ul><li>\(a_nx^n+a_0=0\\x^n=-\dfrac{a_0}{a_n}\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/rxudzvvu">Geogebra</a></li></ul><h5>Konstante der ganzrationalen Funktion ist Null</h5><ul><li>\(a_0=0\)</li><li>Ausklammern von x, wenn \(a_1\neq 0\)</li><li>Ausklammern von \(x^2\), wenn \(a_2\neq 0\) usw.</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Beispiele in Geogebra eingeben</a></li></ul><h5>Funktionsterm der ganzrationalen Funktion ist faktorisiert</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/m/hpncrny8">Geogebra</a></p><h4>Lösung einer biquadratischen Gleichung</h4><ul><li>\(a_4x^4+a_2x^2+a_0=0\) wird biquadratische Gleichung genannt.</li><li>Substitution \(x^2=z\)</li><li>Lösen der quadratischen Gleichung \(a_4z^2+a_2z^+a_0=0\)</li><li>Rücksubstitution sowie Lösen der Gleichungen \(x^2=z_1\) und \(x^2=z_2\)</li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1857/substitution#:~:text=Variable%20gesucht%20ist.-,Beispiel,-Gegeben%20ist%20die">Beispiel in Serlo</a></li></ul><h4>Vielfachheit von Nullstellen</h4><ul><li>Der Term einer ganzrationalen Funktion vom Grad n mit n Nullstellen lässt sich in der Produktform \(f(x)=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})...(x-x_2)(x-x_1)\) angeben.</li><li>Kommen Faktoren in der Produktform mehrfach vor, spricht man von der Vielfachheit k einer Nullstelle (auch Nullstelle k-ter Ordnung) und die Faktoren können zu einem Faktor\((x-x_i)^k\) zusammengefasst werden.</li><li>Je größer die Vielfachheit k einer Nullstelle \(x_i\) ist, desto flacher verläuft der Graph in der Umgebung der Nullstelle.</li><li>Ist die Vielfachheit k einer Nullstelle ungerade, ergibt sich ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.</li><li>Ist die Vielfachheit k einer Nullstelle gerade, ergibt sich kein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.</li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/272069/vielfachheit-von-nullstellen">Serlo</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/gyhag9pw">Geogebra</a></li></ul><h4>Skizzieren des Graphen einer ganzrationalen Funktion</h4><ul><li>Nullstellen bestimmen (<a href="https://lernplattform.mebis.bycs.de/mod/wiki/view.php?id=53250844#toc-6">Unterrichts-Wiki</a>) und diese in ein Koordinatensystem mit Einheiten einzeichnen</li><li>Schnittpunkt mit der y-Achse einzeichnen</li><li>Aus der Vielfachheit der Nullstellen (<a href="https://lernplattform.mebis.bycs.de/mod/wiki/view.php?id=53250844#toc-15">Unterrichts-Wiki</a>) und dem Verhalten des Graphen im Unendlichen (<a href="https://lernplattform.mebis.bycs.de/mod/wiki/view.php?id=53250844#toc-5">Unterrichts-Wiki</a>) den Verlauf des Graphen in der Umgebung der Nullstellen skizzieren.</li><li>Funktionswerte von Punkten mittig zu den Nullstellen aus dem Funktionsterm der ganzrationalen Funktion bestimmen, um Extrempunkte skizzieren zu können.</li><li>Bei eingeschränkter Definitionsmenge Funktionswerte der Randpunkte des Definitionsbereichs bestimmen. </li></ul><h3>Symmetrie von Funktionsgraphen</h3><h4>Achsensymmetrie zur y-Achse</h4><ul><li>\(f(-x)=f(x)\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/pyj6hsye">Geogebra</a></li></ul><h4>Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung</h4><ul><li>\(f(-x)=-f(x)\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/gtckpqbk">Geogebra</a></li></ul><h4>Punktsymmetrie des Graphen ganzrationaler Funktionen zum Koordinatenursprung</h4><ul><li>Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie nur ungerade Potenzen besitzt und die Konstante 0 ist..</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Geogebra</a></li></ul><h4>Achsensymmetrie des Graphen ganzrationaler Funktionen zum Ursprung des Koordinatensystems</h4><ul><li>Eine ganzrationale Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie nur gerade Potenzen besitzt</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Geogebra</a></li></ul><h4>Ist jede ganzrationale Funktion 3. Grades punktsymmetrisch?</h4><ul><li>Jede beliebige ganzrationale Funktion \(f\) hat einen Wendepunkt W(w_x,w_y), bei dem die Krümmung des Graphen der Funktion wechselt.</li><li>Wird der Wendepunkt von f in den Ursprung verschoben, erhält man die Funktion \(f_W\).</li><li>Die Funktion \(f_W\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/nbagxwmp">Geogebra</a></li></ul><h3>Zusammenfassung</h3><h4>Inhalt</h4><ul><li>Eine <strong>ganzrationale Funktion</strong> hat als <strong>Funktionsterm</strong> ein Polynom n-ten Grades. Ein Polynom besteht aus der Summe von mit einem Faktor multiplizierten Potenzfunktionen. (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/ghwxsten">Geogebra</a>)</li><li><strong>Besondere ganzrationale Funktionen</strong> sind die<strong> konstante, lineare und quadratische Funktion</strong>, deren Graphen eine Parallele zur x-Achse, eine Gerade bzw, eine Parabel sind. Deren<strong> Nullstellen</strong> lassen sich exakt bestimmen.</li><li>Die <strong>maximale Definitionsmenge</strong> einer ganzrationalen Funktion sind die reellen Zahlen.</li><li>Das <strong>Verhalten im Unendlichen </strong>(für x-Werte gegen Minus- und Plus-Unendlich) ist bestimmt durch die höchste beteiligte mit einem Faktor multiplizierte Potenzfunktion. Ist der Grad der ganzratioinalen Funktion gerade ist das Verhalten für Minus- bzw. Plus-Unendlich jeweils gleich, ansonsten unterschiedlich (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/z3srcvw6">Geogebra</a>).</li><li>Die <strong>Nullstellen ganzrationaler Funktionen vom Grad größer 2</strong> lassen sich nur in Sonderfällen bestimmen.<ul><li>faktorisierter Term (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/hpncrny8">Geogebra</a>)</li><li>Ausklammern, wenn der Summand ohne Funktionsvariable 0 ist. Graph geht durch den Ursprung.</li><li>Substitution</li></ul></li><li>In der faktorisierten Form einer ganzrationalen Funktion lässt sich aus der <strong>Vielfachheit von Nulltellen</strong> feststellen, ob die Achse bei einer Nullstelle geschnitten (Vielfachheit ungerade) oder berührt (Vielfachheit gerade) wird. (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/gyhag9pw">Geogebra</a>)</li><li>Aus den Nullstellen und dem Schnittpunkt mit der y-Achse lässt sich der <strong>Verlauf einer ganzrationalen Funktion</strong> und damit auch das Verhalten im Unendlichen skizzieren. Tiefster und höchster Punkt müssen geschätzt werden.</li></ul><h4>Aufgaben</h4><ul><li>Skizziere den groben Verlauf einer in Produktform vorliegenden ganzrationalen Funktion<ul><li>Mit Hilfe der vorliegenden Funktionsterme in Produktform werden die Nullstellen der ganzrationalen Funktionen bestimmt.</li><li>Das Verhalten im Unendlichen bestimmt zusammen mit der Vielfachheit der Nullstellen den Verlauf des Graphen in deren Nähe.</li><li>Zwischen zwei Nullstellen wird durch das Einsetzen von Werten in den Funktionsterm der lokale maximale bzw. minimale Funktionswert abgeschätzt.</li><li>Den exakten Verlauf des Graphen erhält man durch einen Funktionsplotter.</li></ul></li></ul><!--HTML-Ende-->
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