<!--Mathjax--><script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><!--Inhaltsverzeichnis--><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
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//Ende der Gesamt-Liste if (level) { toc += (new Array(level + 1)).join("</ul>"); }
//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Table of Contents</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<!--HTML-Start--><h3>Lineares und exponentielles Wachstum</h3><h4>Vergleich von linearem und exponentiellem Wachstum</h4><h5>Animation mit Geogebra</h5><p>Einfache Animation durch Kopieren von Objekten (Punkte) bei linearem bzw. exponentiellem Wachstum (<a href="https://www.geogebra.org/m/dkjpett5">Geogebra</a>)</p><h5>Wertetabelle und Graph mit Geogebra</h5><p>Eintrag der Werte für Zeit und Bestand in eine Tabelle. (<a title="https://www.geogebra.org/calculator/nuqn9rva" href="https://www.geogebra.org/calculator/nuqn9rva">Geogebra</a>) <br /><br /></p><h5>Wertetabelle und Funktions-Graph mit Tabellenkalkulation</h5><p>Tabelle mit der Bestimmung des Bestandes einer Population</p><ul><li>Bl(t) bei linearem Zuwachs bzw.</li><li>Be(t) bei exponentiellem Zuwachs</li></ul><p>mit der Tabellenkalkulation <a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yoPCTEngT32JYpeG8wJpWMlYkErRLZc2/edit?usp=sharing&ouid=102026534516193891402&rtpof=true&sd=true">Excel</a> durch</p><ul><li>die Kalkulation der Bezüge einzelner Zellen<ul><li>\(Bl(t+\Delta t)=B(t)+d\) bei linearem Wachstum bzw. </li><li>\(Be(t+\Delta t)=a\cdot Be(t)\) bei exponentiellem Wachstum </li></ul></li><li>und der Berechnung durch eine Formel (Funktionsterm) .</li></ul><h5>Zeichnen der Funktionsgraphen von linearem bzw. exponentiellem Wachstum mit Geogebra</h5><ul><li>Die Funktionsgraphen sind von folgenden Parametern abhängig<ul><li>Anfangswert des Bestandes</li><li>Länge des Zeitintervalls</li><li>lineare Zunahme d bzw. Wachstumsfaktor a oder prozentuale Zunahme p</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ejcsy7jf">Geogebra</a></li></ul><h4>Definition von linearem Wachstum</h4><ul><li><strong>Beschreibung</strong><ul><li>Wachstum eines Bestandes B(t) mit konstantem Zuwachs \(d=B(t+\Delta t)-B(t)\) in einem Zeitintervall \(\Delta t\) heißt<strong> lineares Wachstum.<br /></strong></li><li>Bei linearem Wachstum wird dem Bestand immer wieder ein konstanter Zuwachs hinzu addiert:<br />\(B(t+\Delta t)=B(t)+d\)</li></ul></li><li><strong>Formel (Funktionsterm) für lineares Wachstum</strong><ul><li>Die wiederholte Addition von einem Zuwachs d lässt sich als Produkt aus dem Zuwachs d und der Anzahl der Wiederholungen \(\dfrac{t}{\Delta t}\) in der Zeit \(t\) ausgehend von einem Anfangsbestand \(B(0)\) schreiben.</li><li>\(B(t)=d\cdot\dfrac{t}{\Delta t}+B(0)\)</li></ul></li></ul><h4>Definition von exponentiellem Wachstum</h4><ul><li><strong>Beschreibung</strong><ul><li>Wachstum eines Bestandes B(t) mit konstantem Wachstumsfaktor \(a=\dfrac{B(t+\Delta t)}{B(t)}\) für ein Zeitintervall \(\Delta t\) heißt <strong>exponentielles Wachstum.</strong></li><li>Bei exponentiellem Wachstum ergibt sich der Bestand immer wieder durch Multiplikation mit einem konstantem Faktor:<br />\(B(t+\Delta t)=B(t)\cdot a\)</li></ul></li><li><strong>Formel (Funktionsterm) für exponentielles Wachstum</strong><ul><li>Die wiederholte Multiplikation von einem Faktor a lässt sich als Potenzt mit der Basis a und der Anzahl der Wiederholungen \(\dfrac{t}{\Delta t}\) in der Zeit \(t\) als Exponent multipliziert mit dem Anfangsbestand \(B(0)\) schreiben.</li><li>\(B(t)=B(0)a^{\frac{t}{\Delta t}}\)</li></ul></li><li><strong>Zusammenhang zwischen prozentualer Änderung \(p\) und Wachstumsfaktor \(a\)</strong><ul><li>Anstatt durch einen Wachstumsfaktor a lässt sich das exponentielle Wachstum auch durch einen prozentualen Zuwachs p beschreiben.</li><li>\(a=1+p\)</li></ul></li></ul><h4>Negatives Wachstum</h4><h5>Lineare Abnahme</h5><p>\(d<0\)</p><h5>Exponentielle Abnahme</h5><p>\(0<a<1\)</p><h4>Aufgabenstellungen und Lösungsstrategien zu 1</h4><ul><li>Aus dem Text für die Beschreibung eines Wachstumsvorgangs (hauptsächlich Populationen) muss der <strong>Funktionsterm</strong> entweder für lineares oder exponentielles Wachstum aufgestellt werden.<ul><li>lineares Wachstum<br />\(B(t)=d\cdot\dfrac{t}{\Delta t}+B(0)\)</li><li>exponentielles Wachstum<br />\(B(t)=B(0)a^{\frac{t}{\Delta t}}\)<br /><br /></li></ul></li><li>Aus dem Text müssen die<strong> Parameter</strong> der entsprechenden Wachstumsfunktion erkannt werden.<ul><li>Startwert \(B(0)\)</li><li>Länge des Zeitintervalls \(\Delta t\)</li><li>lineare Zunahme d bzw. Wachstumsfaktor a oder prozentuale Zunahme bzw. Abnahme mit \(a=1\pm p\)</li></ul></li></ul><h3>Exponentialfunktion</h3><h4>Funktionsterm der allgemeinen Exponentialfunktion</h4><ul><li>\( f(x)=b\cdot a^x, a\in \mathbb{R}^+\setminus \{ 1\}, b\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\} \)</li><li><strong>Bedeutung der Parameter a und b</strong><ul><li><strong>Der Parameter \(a\) heißt Wachstumsfaktor</strong> und bestimmt das <strong>Steigungsverhalten</strong> der allgemeinen Wachstumsfunktion</li><li><strong>Der Parameter \(b\) ist der Funktionswert an der Stelle 0</strong> und damit der <strong>Schnittpunkt</strong> des Graphen einer Exponentialfunktion <strong>mit der y-Achse</strong>.</li><li>Die Funktionswerte der einfachen Exponentialfunktion mit dem Term \(f(x)=a^x\) werden mit dem Faktor b multipliziert und damit wird der <strong>Graph der einfachen Exponentialfunktion um den Faktor b in y-Richtung gestreckt</strong>.</li></ul></li><li><strong>Maximale Definitionsmenge</strong> der allgemeinen Exponentialfunktion \(D_f=\mathbb{R}\)</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/uethn5ek">Geogebra</a></li></ul><h4>Eigenschaften einer allgemeinen Exponentialfunktion</h4><ul><li><strong>Wertemenge</strong><ul><li>\(b>0\Rightarrow W_f=\mathbb{R}^+\)</li><li>\(b<0\Rightarrow W_f=\mathbb{R}^-\)</li></ul></li><li><strong>Schnittpunkt mit der y-Achse</strong><br />\(S_y(0;b)\)</li><li><strong>Steigungsverhalten</strong><ul><li>\(b>0\)<ul><li>\( a>1\Rightarrow G_f \text{ streng monoton steigend} \)</li><li>\( 0<a<1\Rightarrow G_f \text{ streng monoton fallend} \)</li></ul></li><li>\(b<0\)<ul><li>\( a>1\Rightarrow G_f \text{ streng monoton fallend} \)</li><li>\( 0<a<1\Rightarrow G_f \text{ streng monoton steigend} \)</li></ul></li></ul></li><li><strong>x-Achse ist waagrechte Asymptote</strong></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fd42sqep">Geogebra mit Eigenschaften</a></li></ul><h4>Aufgabenstellungen und Lösungsstrategien zu 2</h4><ul><li>Aus dem Funktionsterm einer allgemeinen Exponentialfunktion \(f(x)=b\cdot a^x\) soll der Verlauf des Graphen vorausgesagt werden.<ul><li>Schnittpunkt mit der y-Achse \(S_y(0;b)\)</li><li>Das Steigungsverhalten der Funktion wird durch den Parameter \(a\) bestimmt.</li><li>\(f(x)=b\cdot a^x\Rightarrow\) spezielle Punkte mit \(x_1=1\) bzw. \(x_2=-1\) \(P_1(1;b\cdot a)\) und \(P_2(-1;\dfrac{b}{a})\)</li><li>\(f(x)=b\cdot a^x\Rightarrow\) allgemeine Punkte \(P(x_P;y_P)\) mit \(y_P=b\cdot a^{x_P}\)</li></ul></li><li>Aus dem Graphen einer Exponentialfunkton soll der Funktionsterm \(f(x)=b\cdot a^x\) aufgestellt werden.<ul><li>Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt den Parameter b.</li><li>Aus einem weiteren Punkt \(P(x_P;y_P)\) des Graphen \(G_f\) der Funktion ergibt sich der Parameter a.<br />\(f(x)=b\cdot a^x\Rightarrow a=\dfrac{f(x_P)}{b}=\dfrac{y_P}{b}\)</li></ul></li><li>Aus der Beschreibung von allgemeinen Zusammenhängen (nicht nur bezüglich der Entwicklung von Populationen) sollen die Parameter a und b der allgemeinen Exponentialfunktion mit \(f(x)=b\cdot a^x\) erkannt werden und somit die Funktionsgleichung für den exponentiellen Zusammenhang aufgestellt werden.<ul><li>Ist der Schnittpunkt mit der y-Achse nicht gegeben, muss erst der Parameter \(a\) aus dem Aufgabentext erkannt werden (z.B. durch das prozentuale Wachstum \(p\) mit \(a=1\pm p)\) und</li><li>danach der Parameter \(b\) durch einen im Text gegebenen Punkt \(P(x_P;y_P)\) berechnet werden.<br />\(f(x)=b\cdot a^x\Rightarrow b=\dfrac{f(x_P)}{a}=\dfrac{y_P}{a}\)</li></ul></li></ul><h3>Exponentialgleichungen und Logarithmen</h3><h4>Definition einer Exponentialgleichung</h4><p>\(a^x=b\) mit \( a,b\in \mathbb{R^+}, a\neq1, x\in \mathbb{R}\)</p><h4>Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung</h4><ul><li><strong>Term</strong><br />\( a^x=b\Leftrightarrow x=\log_a (b)\) mit \(a,b\in\mathbb{R^+}\)</li><li><strong>Beschreibung</strong><br />Der Logarithmus zur Basis \(a\in\mathbb{R^+}\) ist derjenige Exponent, mit dem die Basis \(a\) potenziert werden muss, um \(b\in\mathbb{R^+}\) zu erhalten.</li><li><strong>Beispiele</strong><ul><li>\(2^x=8\Rightarrow x=\log_2 (8)=3\)</li><li>\(2^x=10\Rightarrow x=\log_2 (10)=3,3219280949\) (Näherungswert des Taschenrechners)</li></ul></li><li>Die <strong>Werte von Logarithmen</strong> sind in Taschenrechnern und Computerprogrammen wie Geogebra abgespeichert.</li><li><strong>Graphische und rechnerische Lösungen einer einfachen Exponentialgleichungen mit Geogebra</strong><ul><li>Durch eine Exponentialgleichung wird die x-Koordinate \(x_S\) des Schnittpunkts \(S(x_S;y_S)\) zwischen einer einfachen Exponentialgleichung mit dem Funktionsterm \(f(x)=a^x\) und einer Parallelen zur x-Achse durch deren Schnittpunkt mit der y-Achse \(S_y(0;b)\) bestimmt.</li><li>Mit <a href="https://www.geogebra.org/calculator/mask9ktu">Geogebra</a> kann die x-Koordinate \(x_S\) des Schnittpunkts \(S(x_S;y_S)\) sowohl graphisch als auch durch \(x_S=\log_b a\) rechnerisch bestimmt werden.</li></ul></li></ul><h4>Besondere Logarithmus-Werte</h4><ul><li>\(\log_a (a)=1\Leftrightarrow a^1=a\)</li><li>\(\log_a (1)=0\Leftrightarrow a^0=1\)</li><li>\(\log_a (a^x)=x\Leftrightarrow a^x=a^x\)</li><li>\(\log_a (\dfrac{1}{a})=-1\Leftrightarrow a^{-1}=\dfrac{1}{a}\)</li></ul><h4>Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens mit variablen Exponenten</h4><p>Aus \(a^x=b\Leftrightarrow x=\log_a b\) folgt:</p><ul><li>Einsetzen von x aus dem rechten Teil der Äquivalenz in den linken Teil ergibt:<br />\(a^{\log_a (b)}=b\)</li><li>Einsetzen von b aus dem linken Teil der Äquivalenz in den rechten Teil ergibt:<br />\(x=\log_a (a^x)\)</li></ul><h4>Logarithmus einer Potenz</h4><ul><li>Aufgrund des Logarithmierens als Umkehrung des Potenzierens ergibt sich als Logarithmus von einer Potenz:<br />\(\log_a (b^x)=x\cdot\log_a (b)\)</li><li>Begründung der Formel<br />\(\log_a (b^x)\\=\log_a (({a^{\log_a(b)})}^x)\text{ Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens}\\=\log_a ({a^{x\cdot\log_a(b)})}\text{ Potenzgesetz}\\=\log_a ({a^{\log_a(b)\cdot x})}\text{ Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens}\\=x\cdot\log_a b\)</li></ul><h4>Logarithmieren einer Exponentialgleichung</h4><ul><li>Die Anwendung der Formel für das Logarithmieren einer Potenz auf beide Seiten einer Exponentialgleichung nennt man Logarithmieren der Exponentialgleichung, wobei die Basis des Logarithmus beim Logarithmieren egal ist. Dabei handelt es sich um eine Äquivalenzumformung der Gleichung.</li><li>Im naturwissenschaftlichen Bereich wird häufig mit dem Logarithmus zur Basis 10 logarithmiert \(\log_{10}=\lg\).<br />\(b^x=a\Rightarrow \lg(b^x)=\lg(a)\Rightarrow x=\dfrac{\lg(a)}{\lg(b)}\)</li></ul><h4>Aufgabenstellungen und Lösungsstrategien zu 3</h4><p>\(a,b\in\mathbb{R}^+, a\neq 1, x\in \mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{Z}\)</p><ul><li><strong>Lösungen von Exponentialgleichungen</strong><ul><li>Eine <strong>beliebige Exponentialgleichung</strong> wird durch die Potenzgesetze und allgemeine algebraische Regeln für das Zusammenfassen von Termen in eine <strong>Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) gebracht</strong> und diese entweder für<ul><li>eine ganzzahlige Lösung von \(x\) durch<ul><li>\(a^x=a^n\Leftrightarrow x=n\) bzw.</li><li>\(a^x=a^n\Leftrightarrow x=\log_a(a^n)=n\)<br />(entspricht dem Logarithmieren mit a)</li></ul></li><li>oder durch den Taschenrechner oder ein Computerprogramm allgemein ( wenn \(b\) nicht durch \(b=a^n\) darstellbar ist) durch<br />\(a^x=b\Leftrightarrow x=\log_a(b)\)</li><li>oder durch Logarithmieren mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis (z.B. mit \(\log_{10}=lg\)).<ul><li>Für die Lösung durch Logarithmieren wurde \(\log_a(b^x)=x\cdot\log_a(b)\) bewiesen.</li><li>\(a^x=b|\lg\\\lg(a^x)=\lg(b)\\x\cdot \lg(a)=\lg(b)\\x=\dfrac{\lg(b)}{\lg(a)}\)</li></ul></li></ul></li><li><strong>Modellierung der Lösungen mit Geogebra</strong>,<br />Kann mit interessierten Schülerinnen und Schülern entwickelt werden.</li></ul></li><li><strong>Lösungen zu Textaufgaben</strong> die durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden können und für die für einen vorgegebenen Funktionswert \(f(x)\) das Funktionsargument \(x\) gesucht ist.</li></ul><h3>Modellieren und Anwenden</h3><p>Modellierungen mit Geobebra von </p><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ejcsy7jf">linearem und exponentiellem Wachstum</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/uethn5ek">Exponetialfunktionen</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/xsvpuu3k">Exponentialgleichungen</a></li></ul><!--HTML-Ende-->
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