CMM222 Análise III
CMM222 Análise III
CMM222 Análise III
Turma: MAT 1
Pré-Requisitos: CMM202 Análise I
Aulas: Terças-Feiras: 17h30 às 19h10 (Sala PC03)
Quintas-Feiras: 17h30 às 19h10 (Sala PC03)
Atendimento:
Início: Terça-Feira, 27 de fevereiro de 2024
Término: Quinta-feira, 15 de agosto de 2024
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
Os avisos pertinentes a disciplina serão enviados por e-mail via SIGA. Sempre confiram o e-mail cadastrado (e a caixa de spam).
Caso o sistema SIGA esteja fora do ar, poderão encontrar as informações logo abaixo:
28/03/24 - Exercícios para entregar no dia da P1:
Lista 1: 3
Lista 2: 1, 4
Lista 3: 1, 8
Lista 4: 2, 8
05/07/24 - Exercícios para entregar no dia da P2:
Lista 5: 3, 6, 7 e 8.
Lista 6: 2, 3, 6 e 9.
31/07/24 - Exercícios para entregar no dia 13/08/24:
Lista 7: 4b, 5c, 10 e 14.
Lista 8: 1, 2 e 7a.
Lista 9: 3, 6, 7, 8 e 11.
Topologia do Rn. Limite e continuidade no Rn. Funções reais de várias variáveis: derivada parcial, função de classe C1, teorema de Schwarz, Fórmula de Taylor, pontos críticos. Teorema da função implícita para funções reais de várias variáveis. Multiplicador de Lagrange. Diferenciabilidade de uma aplicação de Rn em Rm. Teoremas da Função Inversa e Implícita. Aplicações do Teorema da Função Inversa e Implícita.
Topologia do Rn: Normas em Rn, Produtos internos. Sequências em Rn. O espaço Métrico Rn. Topologia em Rn: conjuntos abertos, fechados, compactos e conexos.
Limite e Continuidade no Rn: Continuidade em Rn. Continuidade Uniforme. Homeomorfismos. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade. Limites.
Funções Diferenciáveis: Derivada Parcial. Gradiente. Função de classe C1. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor e Pontos Críticos. Teorema da Função implícita para Funções Reais de várias variáveis. Multiplicador de Lagrange.
Aplicações Diferenciáveis: Diferenciabilidade em Rn. Matriz Jacobiana. Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia. Difeomorfismos.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial: Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. A forma local das imersões. A forma local das submersões. Multiplicadores de Lagrange.
LIMA, R. F. Topologia e Análise no Espaço Rn, SBM, 2015
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, 2014.
SPIVAK, V. Calculus on Manifolds, 1965.
BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis, 1964.
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.
BARTLE, R. SHERBERT, D. Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, 2000.
MUNKRES, J. R. Analysis On Manifolds, Westview Press, eBook Published -2018.
ROYDEN, H.L. Real Analysis.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará REPROVADO.
A avaliação nesta disciplina se dará a partir de três Provas e três Listas de Exercícios a serem entregues no dia das provas. As provas corresponderão a 80% da nota e as listas a 20% da nota. Assim, a Média da disciplina será dada por
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então Nota Final = Média e o aluno está Aprovado;
Se Média < 40, então Nota Final = Média e o aluno está Reprovado;
Se 40 ≤ Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno precisará realizar o Exame Final e:
Se Nota Final ≥ 50 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado;
Se Nota Final < 50, então o aluno está Reprovado.
Lista 1 - O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn. Equivalência de Normas.
Lista 2 - Produtos Internos em Rn. Sequências em Rn.
Lista 3 - Subsequências em Rn. Conjuntos Abertos e Fechados.
Lista 4 - Fronteira de um Conjunto. Conjuntos Compactos e Conexos.
Lista 5 - Aplicações Contínuas.
Lista 6 - Homeomorfismos. Continuidade vs Conexidade e Compacidade. Conexidade por Caminhos.
Lista 7- Aplicações Diferenciáveis. Derivada Direcional. Matriz Jacobiana e Gradiente.
Lista 8 - Propriedades Operatórias. A Regra da Cadeia.
Lista 9 - Difeomorfismos. Teorema do Valor Médio. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita.
Aula 01 - 27/02/24 - Apresentação da Disciplina. O Espaço Vetorial Rn.
Aula 02 - 29/02/24 - Normas em Rn. Equivalência de Normas.
Aula 03 - 05/03/24 - Produtos Internos em Rn. A Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Distâncias em Rn.
Aula 04 - 07/03/24 - Sequências em Rn. Sequências Limitadas. Convergência de Sequências. Caracterização de convergência de sequências em Rn.
Aula 05 - 12/03/24 - Subsequências. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy. Equivalência de Todas as Normas em Rn. Topologia em Rn. Conjuntos Abertos.
Aula 06 - 14/03/24 - Conjuntos Fechados. Propriedades Fundamentais dos Conjuntos Abertos e Fechados. Fecho de um conjunto.
Aula 07 - 19/03/24 - Fronteira de um Conjunto. Pontos de Acumulação e Pontos Isolados. Conjuntos Compactos.
Aula 08 - 21/03/24 - O Teorema de Heine-Borel. Conjuntos Sequencialmente Compactos. Equivalêncidas de Definições de Conjuntos Compactos.
Aula 09 - 26/03/24 - Topologia Relativa. Cisão de um Conjunto. Conexidade. Exemplos de Conjuntos Conexos. Conexidade de Conjuntos Convexos.
Aula 10 - 28/03/24 - Caracterização de uma Cisão. União de Conexos com ponto em comum é Conexo. Componente Conexa de um Conjunto.
Aula 11 - 02/04/24 - Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Exemplos. Caracterização da Continuidade via Sequências. Funções Coordenadas.
Aula 12 - 04/04/24 - Resolução de Exercícios.
Aula 13 - 09/04/24 - Prova 01
Aula 14 - 11/04/24 - Caracterização topológica da continuidade. Continuidade Uniforme. Exemplos.
Aula 15 - 25/06/24 - Revisão de Continuidade. Caracterização da Continuidade Uniforme via sequências. Exemplos.
Aula 16 - 27/06/24 - Homeomorfismos. Projeção Estereográfica. Teorema do Ponto Fixo para Contrações. Teorema da Perturbação da Identidade.
Aula 17 - 02/07/24 - Continuidade e Compacidade. Teorema de Weierstrass. Continuidade em compacto implica continuidade uniforme. Exemplo de Função Uniformemente Contínua não-Lipschitz. Continuidade e Conexidade. Teorema do Valor Intermediário.
Aula 18 - 04/07/24 - Conexidade por Caminhos. Conexidade por Caminhos implica Conexidade. Abertos Conexos são Conexos por Caminhos. Exemplo de Conjunto Conexo que não é Conexo por Caminhos.
Aula 19 - 09/07/24 - Limites. Propriedades Principais de Limites. Aplicações Lineares de Rn em Rm. Norma Espectral.
Aula 20 - 11/07/24 - Sequências de Operadores Lineares. Convergência Absoluta e Pontual. Aplicações Diferenciáveis em Rn.
Aula 21 - 16/07/24 - Prova 02.
Aula 22 - 18/07/24 - Derivada Direcional. Exemplos de Aplicações Diferenciáveis em Rn. Derivada Parcial e Matriz Jacobiana. O Gradiente.
Aula 23 - 23/07/24 - Exemplos de Aplicações Diferenciáveis em Rn. A Regra da Cadeia. Propriedades Operatórias de Aplicações Diferenciáveis.
Aula 24 - 25/07/24 - Usos da Regra da Cadeia. Difeomorfismos.
Aula 25 - 30/07/24 - O Teorema do Valor Médio. Condições Suficientes para Diferenciabilidade. Derivadas de Ordem Superior. O Teorema de Schwartz. O Teorema de Taylor.
Aula 26 - 01/08/24 - Máximos e Mínimos. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita.
Aula 27 - 06/08/24 - A forma local das imersões e das submersões. Multiplicadores de Lagrange. Exercícios.
Aula 28 - 08/08/24 - Prova 03.
Aula 29 - 13/08/24 - Segunda Chamada.
Aula 30 - 15/08/24 - Exame Final.