MATE7028 - Medida e Integração
MATE7028 - Medida e Integração
MATE7028 - Medida e Integração
Turma: A (Programa de Pós-Graduação em Matemática)
Aulas: Segundas-Feiras: 15h30h às 17h30 (Sala PC05)
Quartas-feiras: 15h30 às 17h30 (Sala PC05)
Atendimento: Segundas-Feiras: 10h às 11h30 (Sala 308 - 3º Andar Bloco PA)
Início: 17 de março de 2025
Término: 02 de julho de 2024
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
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Funções mensuráveis, funções integráveis. Teoremas básicos de convergência. Medidas com sinal. Teorema de decomposição de Hahn-Jordan. Medidas absolutamente contínuas. Teorema de decomposição de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Espaços Lp: propriedades básicas; dualidade. Espaços produto. Teorema de Fubini-Tonelli. Convergência em medida. Relação entre diferenciação e integração: Teorema de Vitali; Teorema de diferenciação de Lebesgue.
Espaços de Medida: Sigma-álgebras. Álgebra de Borel. Funções Mensuráveis. Funcões Simples. Aproximação de Funções Mensuráveis por Funções Simples. Medidas Positivas. Medidas finitas e sigma-finitas. Espaços de Medida. A Medida de Lebesgue. Conjuntos não-mensuráveis.
Integração em Espaços de Medida: Integral de Funções Simples Positivas. Propriedades. Integral de Funções Positivas. Teorema da Convergência Monótona. Lema de Fatou. Funções Integráveis e Propriedades. Teorema da Convergência Dominada. Sequências de funções uniformemente integráveis. Teorema da Convergência de Vitali. Relações com a Integral de Riemann.
Espaços Lp: Espaços Normados. Espaços Lp. Desigualdades de Young, Hölder e Minkowski. Convergência em Lp e Sequências de Cauchy. Completude dos Espaços Lp. O espaço de Hilbert L2.
Modos de Convergência: Propriedades e relações sobre Convergência Uniforme, Pontual, q.t.p., Quase Uniforme, Lp e em Medida de sequências de funções.
Decomposição de Medidas: Medidas com Sinal. Teorema da Decomposição de Hahn. Medidas mutuamente singulares. Teorema da Decomposição de Jordan. Medidas absolutamente contínuas. Teorema de decomposição de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Espaço Dual de Lp: Teorema da Representação de Riesz.
Construção de Medidas: Medidas Exteriores. O Teorema de Caratheodory. Pré-medidas. Teorema da Extensão de Hahn. Espaços produto. Classes Monótonas. Teorema de Fubini-Tonelli.
Relação entre diferenciação e integração: Função Maximal de Hardy-Littlewood. Teorema Maximal. O Teorema da Diferenciação de Lebesgue.
BARTLE, R., Elements of Integration. John Wiley & Sons, 1995.
ROYDEN, M., Real Analysis. MacMillan Pub., 1988.
FOLLAND, G. B., Real Analysis. John Wiley & Sons, 1999.
STEIN, E. M.; SHAKARCHI, R., Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press, 2009.
RUDIN, W., Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill, 1987.
SCHILLING, R. L.; KÜHN, F., Counterexamples in Measure and Integration. Cambridge University Press, 2021.
ISNARD, C. Introdução à Medida e Integração, 3a ed. Projeto Euclides, IMPA, 2018.
MARQUES, M., Teoria da Medida. Editora Unicamp, 2009.
TAYLOR S. J., Introduction to measure and integration, Cambridge University Press, reeditado 2008.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará Reprovado com Conceito D.
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado e:
Conceito A: Média ≥ 90.
Conceito B: 80 ≤ Média <90.
Conceito C: 70 ≤ Média <80.
Se Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Reprovado com Conceito D.
Lista 1 - Sigma-álgebras. Funções Mensuráveis.
Lista 2 - Medidas.
Lista 3 - Integrais.
Lista 4 - Aplicações do Teorema da Convergência Dominada.
Lista 5 - Espaços Lp.
Lista 6 - Modos de Convergência.
Lista 7 - Medidas com Sinal.
Lista 8 - Teoremas de Lebesgue-Radon-Nikodym e Representação de Riesz
Lista 9 - Construção de Medidas e Medida Produto.
Lista 10 - O Teorema da Diferenciação de Lebesgue.
Aula 01 - 17/03/25 - Apresentação da Disciplina. Sigma Álgebra de Conjuntos. Álgebra de Borel. Funções Mensuráveis.
Aula 02 - 20/03/25 - A reta estendida. Aproximação de Funções Mensuráveis por Funções Simples. Funções mensuráveis a valores complexos e entre espaços mensuráveis.
Aula 03 - 24/03/25 - Medidas. Propriedades Operatórias de Medidas. Continuidade de Medidas. Propriedades q.t.p. Espaços de Medida Completos.
Aula 04 - 26/03/25 - Medida Exterior. Propriedades da Medida Exterior. A sigma-álgebra dos conjuntos Lebesgue mensuráveis.
Aula 05 - 31/03/25 - A Medida de Lebesgue na Reta. Teoremas de Aproximação de Conjuntos Mensuráveis. Conjuntos não-mensuráveis.
------- - 02/04/25 - Avaliação do Curso de Licenciatura em Matemática UFPR.
Aula 06 - 07/04/25 - Integral de Funções Mensuráveis Positivas. Teorema da Convergência Monótona.
Aula 07 - 09/04/25 - Lema de Fatou. Integral de Funções Mensuráveis em geral. Teorema da Convergência Dominada.
Aula 08 - 14/04/25 - Aplicações do Teorema da Convergência Dominada. Relações entre a Integral de Riemann e a Integral de Lebesgue.
Aula 09 - 16/04/25 - Os Espaços Lp. Desigualdade de Young, de Hölder. Função Conjugada. Desigualdade de Minkowski.
------- - 21/04/25 - Feriado: Tiradentes.
Aula 10 - 23/04/25 - Completude dos Espaços Lp. O Espaço L∞.
Aula 11 - 28/04/25 - Prova 01.
Aula 12 - 30/04/25 - Propriedades dos Espaços Lp. O Espaço de Hilbert L2.
Aula 13 - 05/05/25 - Modos de Convergência de Sequências de Funções Mensuráveis: pontual, quase todo ponto, uniforme, Lp e em medida. Relações entre os modos de convergência.
Aula 14 - 07/05/25 - Relações entre os modos de convergência. Convergência Quase Uniforme.
Aula 15 - 12/05/25 - Teorema de Egoroff. Teorema da Convergência de Vitali em Lp.
Aula 16 - 14/05/25 - Medidas com Sinal. Teorema da Decomposição de Hahn.
Aula 17 - 19/05/25 - Medidas Mutuamente Singulares. Teorema da Decomposição de Jordan. Medidas Absolutamente Contínuas.
Aula 18 - 21/05/25 - Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym.
Aula 19 - 26/05/25 - Propriedades da Derivada de Radon-Nikodym. Espaço Dual de Lp.
Aula 20 - 28/05/25 - Teorema da Representação de Riesz.
Aula 21 - 02/06/25 - Prova 02.
Aula 22 - 04/06/25 - Teorema da Representação de Kantorovich: o Dual de L∞. Medidas Exteriores.
Aula 23 - 09/06/25 - Teorema de Caratheodory. Pré-medidas em uma Álgebra. Medida Produto.
Aula 24 - 11/06/25 - Seções de Conjuntos e Funções. O Lema das Classes Monótonas. Teorema de Fubini-Tonelli para Funções Características.
Aula 25 - 16/06/25 - Teorema de Fubini-Tonelli. A medida de Lebesgue em Rn. Teorema da Mudança de Variável.
Aula 26 - 18/06/25 - Função Maximal de Hardy-Littlewood. Teorema Maximal.
Aula 27 - 23/06/25 - O Teorema da Diferenciação de Lebesgue.
Aula 28 - 25/06/25 - Atendimento em Sala.
Aula 29 - 30/06/25 - Atendimento em Sala.
Aula 30 - 02/07/25 - Prova 03.