CMM222 Análise III
CMM222 Análise III
CMM222 Análise III
Turma: MAT 1
Pré-Requisitos: CMM202 Análise I
Aulas: Quartas-Feiras: 13h30 às 15h10 (Sala PA06)
Sextas-Feiras: 13h30 às 15h10 (Sala PA06)
Atendimento: Segundas-Feiras: 10h às 11h (Sala 308)
Início: Quarta-Feira, 13 de agosto de 2025
Término: Quarta-feira, 17 de dezembro de 2025
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
Os avisos pertinentes a disciplina serão enviados por e-mail via SIGA. Sempre confiram o e-mail cadastrado (e a caixa de spam).
Caso o sistema SIGA esteja fora do ar, poderão encontrar as informações logo abaixo:
Atenção alunos ainda não matriculados no SIGA: O início das aulas será a partir do dia 13 de agosto de 2025.
Exercícios para entregar na P1:
Lista 1: 10, 11, 12 e 18.
Lista 2: 2 e 12.
Lista 3: 16 e 17.
Lista 4: 6 e 14.
Exercícios para entregar na P2:
Lista 5: 17, 18 e 19.
Lista 6: 14, 15 e 21.
Exercícios para entregar na P3:
Lista 7: 7, 12 e 22.
Lista 8: 6 e 7.
Topologia do Rn. Limite e continuidade no Rn. Funções reais de várias variáveis: derivada parcial, função de classe C1, teorema de Schwarz, Fórmula de Taylor, pontos críticos. Teorema da função implícita para funções reais de várias variáveis. Multiplicador de Lagrange. Diferenciabilidade de uma aplicação de Rn em Rm. Teoremas da Função Inversa e Implícita. Aplicações do Teorema da Função Inversa e Implícita.
Topologia do Rn: Normas em Rn, Produtos internos. Sequências em Rn. O espaço Métrico Rn. Topologia em Rn: conjuntos abertos, fechados, compactos e conexos.
Limite e Continuidade no Rn: Continuidade em Rn. Continuidade Uniforme. Homeomorfismos. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade. Limites.
Funções Diferenciáveis: Derivada Parcial. Gradiente. Função de classe C1. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor e Pontos Críticos. Teorema da Função implícita para Funções Reais de várias variáveis. Multiplicador de Lagrange.
Aplicações Diferenciáveis: Diferenciabilidade em Rn. Matriz Jacobiana. Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia. Difeomorfismos.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial: Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. A forma local das imersões. A forma local das submersões. Multiplicadores de Lagrange.
LIMA, R. F. Topologia e Análise no Espaço Rn, SBM, 2015
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, 2014.
SPIVAK, V. Calculus on Manifolds, 1965.
BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis, 1964.
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.
BARTLE, R. SHERBERT, D. Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, 2000.
MUNKRES, J. R. Analysis On Manifolds, Westview Press, eBook Published -2018.
ROYDEN, H.L. Real Analysis.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará REPROVADO.
A avaliação nesta disciplina se dará a partir de três Provas e três Listas de Exercícios a serem entregues no dia das provas. As provas corresponderão a 85% da nota e as listas a 15% da nota. Assim, a Média da disciplina será dada por
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então Nota Final = Média e o aluno está Aprovado;
Se Média < 40, então Nota Final = Média e o aluno está Reprovado;
Se 40 ≤ Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno precisará realizar o Exame Final e:
Se Nota Final ≥ 50 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado;
Se Nota Final < 50, então o aluno está Reprovado.
Lista 1 - O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn. Equivalência de Normas. Produto Interno em Rn. Distâncias em Rn.
Lista 2 - Sequências em Rn. Conjuntos Abertos.
Lista 3 - Conjuntos Fechados. Fronteira de um Conjunto. Conjuntos Compactos.
Lista 4 - Conjuntos Convexos e Conexos.
Lista 5 - Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Continuidade Uniforme.
Lista 6 - Relação entre Propriedades Topológicas e Continuidade. Limites. Aplicações Lineares.
Lista 7 - Aplicações Diferenciáveis. Derivada Direcional. Matriz Jacobiana e Gradiente. Propriedades Operatórias. A Regra da Cadeia.
Lista 8 - Difeomorfismos. Teorema do Valor Médio. Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita.
------ - 06/08/25 - Participação em Congresso - XII Workshop on Geometric Analysis of PDEs and Several Complex Variables
------- - 08/08/25 - Participação em Congresso - XII Workshop on Geometric Analysis of PDEs and Several Complex Variables
Aula 01 - 13/08/25 - Apresentação da Disciplina. O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn.
Aula 02 - 15/08/25 - Equivalência de Normas. Produtos Internos em Rn. A Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Distâncias em Rn.
Aula 03 - 20/08/25 - Sequências em Rn. Sequências Limitadas. Convergência de Sequências. Caracterização de convergência de sequências em Rn. Subsequências. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Equivalência de Todas as Normas em Rn.
Aula 04 - 22/08/25 - Sequências de Cauchy. Topologia em Rn. Conjuntos Abertos. Conjuntos Fechados. Propriedades Fundamentais dos Conjuntos Abertos e Fechados.
------- - 27/08/25 - Participação em Semana Acadêmica de Matemática - UTFPR Pato Branco
Aula 05 - 29/08/25 - Fecho de um conjunto. Fronteira de um Conjunto. Pontos de Acumulação e Pontos Isolados. Teorema de Weierstrass
Aula 06 - 03/09/25 - Conjuntos Compactos. Propriedades de conjuntos Compactos. Produto Cartesiano de Intervalos Fechados é Compacto. O Teorema de Heine-Borel.
Aula 07 - 05/09/25 - Conjuntos Sequencialmente Compactos. Equivalêncidas de Definições de Conjuntos Compactos. Topologia Relativa. Cisão de um Conjunto. Conexidade. Exemplos de Conjuntos Conexos.
Aula 08 - 10/09/25 - Conexidade de Conjuntos Convexos. Caracterização de uma Cisão. União de Conexos com ponto em comum é Conexo. Componente Conexa de um Conjunto.
Aula 09 - 12/09/25 - Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Exemplos. Caracterização da Continuidade via Sequências. Funções Coordenadas. Exemplos.
Aula 10 - 17/09/25 - Caracterização da continuidade via Conjuntos Abertos. Continuidade Uniforme. Exemplos.
Aula 11 - 19/09/25 - Prova 01.
Aula 12 - 24/09/25 - Homeomorfismos. Projeção Estereográfica. Teorema do Ponto Fixo para Contrações. Teorema da Perturbação da Identidade.
------- - 26/09/25 - Aula Cancelada - Maioria dos Alunos participando em evento.
Aula 13 - 01/10/25 - Continuidade e Compacidade. Teorema de Weierstrass. Continuidade em compacto implica continuidade uniforme. Exemplo de Função Uniformemente Contínua não-Lipschitz. Continuidade e Conexidade. Teorema do Valor Intermediário.
Aula 14 - 03/10/25 - Conexidade por Caminhos. Conexidade por Caminhos implica Conexidade. Exemplo de Conjunto Conexo que não é Conexo por Caminhos.
Aula 15 - 08/10/25 - Abertos Conexos são Conexos por Caminhos. Limites. Propriedades Principais de Limites.
Aula 16 - 10/10/25 - Aplicações Lineares de Rn em Rm. Norma Espectral. Sequências de Operadores Lineares. Convergência Absoluta e Pontual.
------- - 15/10/25 - Participação em Semana Acadêmica de Matemática - UTFPR Toledo.
Aula 17 - 17/10/25 - Aplicações Diferenciáveis em Rn. Derivada Direcional. Exemplos de Aplicações Diferenciáveis em Rn.
------- - 22/10/25 - 16ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
------- - 24/10/25 - 16ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
Aula 18 - 29/10/25 - Prova 02.
Aula 19 - 31/10/25 - Derivada Parcial e Matriz Jacobiana. O Gradiente.
Aula 20 - 05/11/25 - Exemplos de Aplicações Diferenciáveis em Rn. A Regra da Cadeia. Propriedades Operatórias de Aplicações Diferenciáveis.
Aula 21 - 07/11/25 - Usos da Regra da Cadeia.
------- - 12/11/25 - J3M - Jornada de Matemática, Matemática Aplicada e Educação Matemática
------- - 14/11/25 - J3M - Jornada de Matemática, Matemática Aplicada e Educação Matemática
Aula 22 - 19/11/25 - Difeomorfismos. O Teorema do Valor Médio. Condições Suficientes para Diferenciabilidade.
------- - 21/11/25 - Recesso Feriado do Dia da Consciência Negra.
Aula 23 - 26/11/25 - Derivadas de Ordem Superior. O Teorema de Schwartz. O Teorema de Taylor.
Aula 24 - 28/11/25 - Máximos e Mínimos. Teorema da Função Inversa.
Aula 25 - 03/12/25 - Teorema da Função Implícita. A forma local das imersões e das submersões. Multiplicadores de Lagrange.
Aula 26 - 05/12/25 - Prova 03.
Aula 27 - 10/12/25 - Segunda Chamada.
Aula 28 - 17/12/25 - Exame Final.