Wagner de Moraes UFPR - CMM202/CMI062 Análise I 2023

28/07/23 - Atenção alunos ainda não matriculados no SIGA: Enviem e-mail para wagnermoraes@ufpr.br solicitando o link para as aulas da semana de 31/07 a 04/08 que será na modalidade remota.

31/07/23 - As aulas desta semana serão via Teams. Já criei a turma na plataforma e inseri os alunos matriculados no SIGA e os que solicitaram via e-mail. Abrirei a sala às 17h.

07/08/23 - ATENÇÃO! Mudança no Ensalamento. Nossas aulas serão na sala PA04.

24/08/23 - Exercícios para entregar no dia da P1:

Lista 1: 2 -4c - 7 - 11

Lista 2: 1b - 2b - 6 - 10c - 13c - 18

Lista 3: 4 - 6 - 9 - 14 - 20a

Lista 4: 1 - 4 -9 - 11 - 17

27/09/23 - Exercícios para entregar no dia da P2:

Lista 5: 1 - 5 - 12

Lista 6: 1b - 1c - 1f - 9 -15

Lista 7: 3 - 9 - 11 - 13 - 22

13/11/23 - Exercícios para entregar no dia da P3:

Lista 8: 4 - 10 - 12 - 13c - 15

Lista 9: 6 - 7 - 12 - 15 -25

Lista 10: 4 - 12 - 15 - 16

Lista 11: 1 - 2 - 6 - 13 - 20

Ementa

Números naturais: Axiomas de Peano. O corpo dos reais: supremo, ínfimo e desigualdade triangular generalizada. Sequências e séries numéricas: critérios de convergência. Limites de funções. Funções contínuas e uniformemente contínuas. Teorema do Valor Intermediário. Diferenciabilidade. Regra da Cadeia. Teorema do Valor Médio. Máximos e mínimos. Fórmula de Taylor e aplicações da derivada.

Programa da Disciplina

Números naturais: Axiomas de Peano. Números naturais, inteiros e racionais. Conjuntos Finitos e Infinitos. Enumerabilidade.
O Corpo dos reais: Corpos. Corpos Ordenados. Valor Absoluto. Supremo e ínfimo de um conjunto. Números Reais.
Sequências Numéricas: Sequências. Limite de uma sequência. Propriedades artiméticas dos limites. Subsequências. Valor de aderência. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy. Limites Infinitos.
Séries Numéricas: Convergência. Critério da Comparação e de Cauchy. Séries absolutamente convergentes. Os Testes da Raíz e da Razão. Teorema de Dirichlet.
Topologia da Reta: Ponto interior. Conjuntos Abertos. Pontos de aderência. Conjuntos Fechados. Pontos de Acumulação. Conjuntos compactos.
Limites e Continuidade de Funções: Definição e Propriedades Operatórias de Limites de Funções. Limites Laterais. Limites Infinitos e Limites no Infinito. Continuidade. Funções Contínuas em Intervalos. Teorema do Valor Intermediário. Funções Contínuas em Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass. Continuidade Uniforme.
Diferenciabilidade: Definição e Propriedades da Derivada num ponto. Propriedades Operatórias. Funções Deriváveis num intervalo. Regra da Cadeia. Teorema do Valor Médio. Máximos e Mínimos. Fórmula de Taylor.
Construção dos Conjuntos Numéricos: Definição formal dos conjuntos dos números Inteiros, Racionais e Reais.

Referências Bibliográficas

Bibliografia Principal

LIMA, E. L. Curso de Análise vol. 1. 15ª Edição. IMPA: Rio de Janeiro, 2019.
DOERING, C. I. Introdução à Análise Matemática na Reta. SBM: Rio de Janeiro, 2021.
BARTLE, R. G; SHERBERT, D. R. Introduction to Real Analysis, Fourth Edition. John Wiley & Sons: New York, 2011.

Bibliografia Complementar:

TAO, T. Analysis I, Fourth Edition. Springer. Hindustan Book Agency: Nova Deli, 2022.
FIGUEIREDO, D. G. Análise I, 2ª Edição. LTC: Rio de Janeiro, 1996.
ABBOTT, S. Understanding Analysis, Second Edition. Springer. Nova York, 2015.
MACLANE, S. Mathematics Form and Function. Springer-Verlag. Nova York, 1986.
LIMA, E. L. Análise Real, volume 1. 10ª Edição. IMPA: Rio de Janeiro, 2008.
RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition. McGraw-Hill. Nova York. 1976.
AVILA, G. Introdução à Análise Matemática, 2ª Edição. Editora Blucher: São Paulo. 1999.

Calendário de Provas

Prova 1 - Gabarito - Notas: 04 de setembro de 2023.

Prova 2 - Gabarito - Notas: 04 de outubro de 2023.

Prova 3 - Gabarito - Notas: 22 de novembro de 2023.

Exame Final - Notas: 06 de dezembro de 2023.

Listas de Exercícios - Notas.

Resultado Final

Frequência

O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará REPROVADO.

Cálculo da Nota Final

A avaliação nesta disciplina se dará a partir de três provas com Peso 3 cada e de uma série de Listas de Exercícios a serem entregues durante o semestre com Peso 1:

Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então Nota Final = Média e o aluno está Aprovado;
Se Média < 40, então Nota Final = Média e o aluno está Reprovado;
Se 40 ≤ Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno precisará realizar o Exame Final e:

- - Se Nota Final ≥ 50 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado;
  - Se Nota Final < 50, então o aluno está Reprovado.

Listas de Exercícios

Lista 1 - Axiomas de Peano. Adição e Multiplicação de Números Naturais.
Lista 2 - Corpos. Corpos Ordenados. Valor Absoluto.
Lista 3 - Supremo e ínfimo de um conjunto. Números Reais.
Lista 4 - Sequências Numéricas. Sequências Convergentes. Propriedades Aritméticas de Limites.
Lista 5 - Subsequências. Sequências de Cauchy. Limites Infinitos
Lista 6 - Séries Numéricas: Convergência. Critério da Comparação, Teste da Raíz e da Razão. Teorema de Dirichlet.
Lista 7- Ponto interior. Conjuntos Abertos. Pontos de aderência. Conjuntos Fechados. Pontos de Acumulação. Conjuntos compactos.
Lista 8 - Definição de Limite de Função. Teorema do Confronto. Propriedades Operatórias de Limites. Limites Laterais. Limites Infinitos e no Infinito.
Lista 9 - Continuidade. Funções Contínuas em Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass. Teorema do Valor Intermediário. Continuidade Uniforme.
Lista 10 - Definição e Propriedades da Derivada num ponto. Propriedades Operatórias. Funções Deriváveis num intervalo. Regra da Cadeia.
Lista 11 - Teorema do Valor Médio. Regras de L'Hospital. Fórmula de Taylor. Máximos e Mínimos.

Notas de Aula

Caderno Completo
----- - 24/07/23 - 75º SBPC
----- - 26/07/23 - 75º SBPC
Aula 01 - 31/07/23 - Vídeo - Apresentação da Disciplina. Axiomas de Peano.
Aula 02 - 02/08/23 - Vídeo - Adição, Multiplicação e Ordenação de Números Naturais.
Aula 03 - 07/08/23 - Corpos. Corpos Ordenados.
Aula 04 - 09/08/23 - Propriedades de Corpos Ordenados. Valor Absoluto.,
Aula 05 - 14/08/23 - Corpos Arquimedianos. Supremo e Ínfimo de um conjunto.
Aula 06 - 16/08/23 - Corpos Completos. Incompletude dos Racionais. Os números Reais. Racionais são densos nos Reais.
Aula 07 - 21/08/23 - Sequências Numéricas. Sequências Limitadas e Subsequências. Sequências Monótonas. Limite de uma Sequência.
Aula 08 - 23/08/23 - Sequências Convergentes. Unicidade do Limite. Sequências limitadas monótonas são convergentes. Propriedades Operatórias de Limites.
Aula 09 - 28/08/23 - Demonstração de Propriedades Operatórias de Limites. Subsequências.
Aula 10 - 30/08/23 - Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy. Equivalência entre Convergência e Cauchy. Contrações.
Aula 11 - 04/09/23 - Prova 01
Aula 12 - 06/09/23 - Limites Infinitos. Propriedades Operatórias de Limites Infinitos. Cálculo de Limites Fundamentais.
Aula 13 - 11/09/23 - Séries Numéricas. Série Geométrica e Série Harmônica. Critério do Termo Geral para Convergência de Série.
Aula 14 - 13/09/23 - Critérios de Convergência de Séries: Critéio de Cauchy; Comparação; Comparação com Limites; Teste da Raiz; Teste da Razão.
Aula 15 - 18/09/23 - Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes. Critério de Dirichlet e de Leibniz. O número e.
Aula 16 - 20/09/23 - Topologia da Reta. Ponto Interior e Conjuntos Abertos. Propriedades de Conjuntos Abertos.
Aula 17 - 25/09/23 - Conexidade de Intervalos Abertos. Ponto Aderente e Conjuntos Fechados. Propriedades de Conjuntos Fechados. Compacidade.
Aula 18 - 27/09/23 - Caracterização de Conjuntos Compactos via sequências. Pontos de Acumulação e Pontos Isolados. Definição de Limite de função.
Aula 19 - 02/10/23 - Unicidade do Limite e Conservação do Sinal. Teorema do Confronto. Propriedades Operatórias de Limites.
Aula 20 - 04/10/23 - Prova 02
Aula 21 - 09/10/23 - Consequências da caracterização do limite de uma função via sequências. Limite de Funções Compostas. Limites Laterais.
Aula 22 - 11/10/23 - Limites no Infinito. Limites Infinitos. Propriedades Operatórias de Limites Infinitos e/ou no Infinito.
----- - 16/10/23 - 14ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
----- - 18/10/23 - 14ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
Aula 23 - 23/10/23 - Funções Contínuas. Propriedades Operatórias de Funções Contínuas. Exemplos. Composição de Funções Contínuas.
Aula 24 - 25/10/23 - Funções Contínuas em Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass. Teorema do Valor Intermediário.
Aula 25 - 30/10/23 - Continuidade Uniforme. Diferenciabilidade. Derivável num ponto implica continuidade neste ponto.
Aula 26 - 01/11/23 - Propriedades Operatórias da Derivada. A Regra da Cadeia. Derivada de Função Inversa.
Aula 27 - 06/11/23 - Máximos e Mínimos Locais. Teorema de Rolle. Teorema do Valor Médio. Consequências do TVM. Teorema de Darboux.
----- - 08/11/23 - J3M - Jornada de Matemática, Matemática Aplicada e Educação Matemática
Aula 28 - 13/11/23 - Polinômios de Taylor. Teorema da Fórmula de Taylor com Resto Infinitesimal e Resto de Lagrange.
----- - 15/11/23 - Feriado: Proclamação da República.
Aula 29 - 20/11/23 -Aplicações do Teorema de Taylor. Regras de L'Hospital. Séries de Taylor.
Aula 30 - 22/11/23 - Prova 03
Aula 31 - 27/11/23 - Conjuntos Finitos e Infinitos. Enumerabilidade.
Aula 32 - 29/11/23 - Definição formal dos conjuntos dos números Inteiros, Racionais e Reais.
----- - 04/12/23 - 2ª Fase - Vestibular UFPR 2023/2024.
Aula 33 - 06/12/23 - Exame Final.

Materiais Complementares

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