Seconda parte del Laboratorio:   approfondimenti di biomatematica e scienza dei materiali 

Nel Laboratorio proponiamo alcuni argomenti su cui Vito Volterra ha dato contributi essenziali. La sfida didattica (che riteniamo di aver vinto, visto il feedback di fine progetto delle studentesse e degli studenti) è quella di trovare un modo rigoroso per proporre risultati di matematica avanzata, facendo uso di strumenti matematici a disposizione delle studentesse e degli studenti del triennio di qualsiasi ciclo di studi superiore di secondo grado. 

Il primo esempio in questo senso è un percorso di biomatematica relativo a modelli matematici per la descrizione dell’evoluzione di popolazioni a partire dalle leggi che regolano l’ecosistema. Si parte dal modello di Malthus relativo all'evoluzione di una popolazione isolata ed omogenea, in presenza di risorse illimitate e in assenza di predatori o antagonisti all'utilizzo delle risorse. In questo modello la popolazione può o estinguersi oppure crescere indefinitamente, in ogni caso con andamento esponenziale. Si passa poi al modello logistico, che introduce una soglia di numerosità della popolazione (la capacità portante del sistema) e, conseguentemente, un equilibrio non banale (ossia un valore non nullo del dato iniziale per il quale l’evoluzione resta costante nel tempo). Si mostra che, in questo ecosistema, la popolazione può estinguersi, oppure tendere monotonamente all’equilibrio non banale, oppure possono aversi dinamiche più complesse, come ad esempio cicli bistagionali stabili. La descrizione di queste evoluzioni di una sola specie viene fatta in termini di successioni definite per ricorrenza (sistemi dinamici discreti) e le soluzioni vengono costruite graficamente attraverso il cosiddetto diagramma a ragnatela, un metodo grafico ad hoc per le successioni definite per ricorrenza che ha il pregio di utilizzare solo la nozione di grafico di funzione. Infine, si introduce il modello predatore-preda proposto da Volterra per predire l’evoluzione della numerosità di due specie che condividono lo stesso territorio. Nel modello non sono previste né immigrazioni né emigrazioni; la numerosità delle prede crescerebbe con dinamica malthusiana in assenza di predatori e si riduce in maniera proporzionale agli incontri con i predatori stessi. D’altra parte, i predatori si estinguerebbero in assenza di prede e si riproducono in maniera proporzionale agli incontri con le prede. Questa dinamica produce un’evoluzione ciclica delle due specie, dipendente solo dalle numerosità osservate all’inizio dell’evoluzione. La rappresentazione grafica delle soluzioni viene fatta attraverso il ritratto di fase (punti del piano che hanno come prima coordinata la numerosità delle prede e come seconda coordinata la numerosità dei predatori). La descrizione qualitativa del ritratto di fase può essere fatta in maniera elementare studiando il segno della variazione delle numerosità delle due specie. Tecnicamente, si tratta di discutere delle disequazioni di primo grado. Per avere un disegno preciso delle soluzioni, si può fare uso di strumenti informatici, come ad esempio un semplice programma in Phyton (per il quale ringraziamo il collega Davide Passaro, che ce ne ha fornito una bozza su Google Colab dopo il Laboratorio da noi tenuto in occasione del Convegno Nazionale dei Licei Matematici a settembre 2023).

Il Laboratorio si conclude con una breve descrizione del contributo di Volterra alla comprensione del meccanismo di deformazione plastica dei metalli teorizzando (nel 1907) la presenza di difetti del reticolo cristallino (le dislocazioni) che permette di spiegare la duttilità dei metalli a dispetto della loro rigida struttura atomica. Per comprendere il modello sono necessarie alcune nozioni di fisica (plasticità) e di chimica (struttura cristallina dei metalli) e osservazioni sperimentali (slittamento dei piani atomici, misurazioni dell’energia di deformazione). L’osservazione sperimentale della presenza delle dislocazioni e del loro ruolo nelle deformazioni plastiche è avvenuta nel 1956, confermando il modello matematico di Volterra.