Regolamento Appelli

Possono sostenere l'esame esclusivamente gli studenti del canale 1.

È assolutamente obbligatoria la prenotazione all'esame tramite il portale Delphi entro la scadenza della prenotazione stessa; non saranno ammessi all'esame studenti ritardatari o non registrati.

Sono previsti due appelli d'esame per ciascuna delle sessioni: invernale (gennaio-febbraio), estiva (giugno-luglio) e autunnale (settembre); gli studenti possono usufruire di entrambi gli appelli previsti.

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta ha la durata di tre ore; è possibile ritirarsi non prima di due ore dall'inizio dello svolgimento. Si è ammessi alla prova orale se si è ottenuta una votazione sufficiente alla prova scritta (maggiore o uguale a 18/30). La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione dello scritto, ma non necessariamente nello stesso appello. In caso di mancato superamento dell'orale è necessario ripetere anche la prova scritta. La consegna dello scritto nel secondo appello annulla l'eventuale prova scritta del primo appello (in riferimento alla stessa sessione).

Le date delle prove e i tempi di prenotazione saranno comunicati su questa pagina.

Regolamento Esoneri

Possono sostenere gli esoneri (o prove in itinere) esclusivamente gli studenti del canale 1 del primo anno (immatricolati per la prima volta al corso di laurea nel 2026/2027).

Sono programmate due prove intermedie, rispettivamente sulla prima e sulla seconda parte di programma. Se superate entrambe lo studente è ammesso alla prova orale da sostenere nella sessione di Gennaio-Febbraio 2026.  In caso di mancato superamento dell’orale, lo studente dovrà ripetere anche la prova scritta.  Saranno ammessi al secondo esonero coloro che avranno riportato nel primo esonero una valutazione sufficiente. Si precisa infine che la consegna dello scritto in uno degli appelli di Gennaio–Febbraio annulla automaticamente il voto ottenuto tramite le prove intermedie.

Per poter partecipare agli esoneri è assolutamente obbligatoria la prenotazione tramite il portale Delphi. Non saranno ammessi studenti ritardatari o non registrati.

Le date delle prove e i tempi di prenotazione saranno comunicati su questa pagina.

IMPORTANTE per esoneri ed appelli:

Non è consentito l'uso né l’avere con sé (ad esempio in tasca) telefoni cellulari, smartwatch, dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, calcolatrici elettroniche programmabili, libri di testo e appunti.

Per poter partecipare agli appelli e agli esoneri, il giorno della prova gli studenti devono obbligatoriamente essere muniti di un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto)  o libretto universitario da presentare per l'identificazione.

Gli studenti che necessitano di strumenti dispensativi da utilizzare in sede d'esame devono rivolgersi al CARIS.
Si invita gli studenti a fare richieste per tempo al fine da avere il tempo di valutare e approvare eventuali formulari o strumenti compensativi

Diario delle lezioni

Lezione 21/09. Introduzione al corso. Introduzione agli insiemi. Proprietà degli insiemi, unione, intersezione e complementare. Prodotto cartesiano. Introdizione agli insiemi numerici: numeri naturali, interi e razionali. Esempi

Lezione 23/09. Proprietà di densità dei razionali e proprietà Archimedea (con dimostrazioni). Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali. Implicazioni logiche, dimostrazione per assurdo. Definizione di insieme di numeri reali. Radice di 2 non è razionale (con dimostrazione). R è insieme numerico completo.  Proprietà di R, R è un campo ordinato

Lezione 24/09. Definizioni di Intervalli, Intorni, Insiemi aperti, chiusi, Punti interni e punti di frontiera, Maggioranti, Minoranti, Massimo e Minimo di un insieme, Insiemi limitati superiormente, inferiormente e limitati; Estremo Superiore e Inferiore di un insieme. Caratterizzazione dell'estremo superiore e inferiore. Unicità del massimo (con dimostrazione). Esempi.

Lezione 25/09. Esercizi su estremo superiore e inferiore. Radice n-esima di un numero reale  (senza dimostrazione). Ripasso di disequazioni razionali e irrazionali.

Lezione 28/09. Definizione di funzione, dominio, codominio Immagine e controimmagine. Definizione di Dominio naturale: Definizione di funzione (strett.) rescente, (strett.) decrescente. Relazione fra crescenza/decrescenza e operazioni algebriche (con dimostrazione).  Esempi ed esercizi.

Lezione 30/09. Funzioni pari e dispari. Algebra delle funzioni pari e dispari. Funzioni limitate superiormente e inferiormente; Sup, inf, massimo e minimo di una funzione. Esempi

Lezione 01/10. Funzioni iniettive suriettive e biiettive. Composizione di funzioni e funzione inversa. Esempi e proprietà.

Lezione 05/10. Dominio funzione inversa, Funzioni strettamente crescenti (o strett. decrescenti) sono invertibili con inversa strettamente crescente (decrescente) con dimostrazione. Grafico della funzione inversa. Funzioni elementari: potenze con esponente razionale e irrazionale: dominio, monotonia. Esponenziali: Dominio e monotonia.

Lezione 07/10. Funzioni elementari: valore assoluto. Proprietà del modulo.  Disuguaglianza triangolare (con dimostrazione). Potenze con esponente razionale e irrazionale.  Funzioni esponenziali e Logaritmi.

Lezion 8/10 Funzioni esponenziali e Logaritmi, Proprietà e grafico. Funzioni Trigonometriche e le loro inverse. Funzioni iperboliche. Operazioni tra i grafici, parte positiva e parte negativa di una funzione.

Lezione 9/10. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernulli (con dimostrazione). Elementi di combinatoria, proprietà del fattoriale e del coefficienti binomiali (con dimostrazione).

Lezione 12/10 (mattina). Formula del binomio di Newton (con dimostrazione). Dimostrazione Formula Binomio di Newton. Limiti di successioni: Definizione e primi esempi.

Lezione 12/10 (pomeriggio). Funzione parte intera e mantissa. Algebra dei limiti (finiti). Limiti di funzioni elementari. Teorema di unicità del limite. Primi esercizi sui limiti di successioni e verifica dei limiti. Esercizi su dominio di funzioni.

Lezione 14/10. Retta estesa, proprietà. Proprietà degli intorni. Teorema unicità del limite (con dimostrazione). Teorema permanenza del segno 1 e 2 (con dimostrazione). Teorema del confronto (con dimostrazione). Esempi ed esercizi

Lezione 15/10. Corollario del teorema della permanenza del segno (con dimostrazione) e corollario del teorema del confronto (con dimostrazione). Ogni successione convergente è limitata (con dimostrazione), controesempio di una successione limitata non convergente. Applicazioni del teorema del confronto. Definizione di successione infinitesima. Prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima (con dimostrazione). Esempi. Algebra dei limiti estesa ai casi di limiti infiniti (senza dimostrazioni). Limiti per difetto e per eccesso. 

Lezione 16/10.  Calcolo di limiti di per risolvere forme indeterminate. Successioni infinitesime, o(1), e proprietà algebriche di o(1). Successioni asintoticamente equivalenti. Proposizione sostituzione di successioni asintoticamente equivalenti nel limite di un quoziente (con dimostrazione) Esercizi. Teorema di esistenza del limite di successioni monotone (con dimostrazione). Una successione monotona limitata è convergente (con dimostrazione). Esercizi ed esempi. 

Lezione 19/10. Dimostrazione della convergenza di lim (1+1/n)^n. Conseguenze e limiti notevoli con dimostrazione. Esempi ed esercizi.

Lezione 21/10 (mattina). Confronto di ordini di infinito. Ordini di infinito equivalenti.  Criterio del rapporto per succesioni (con dimostrazione). Dimostrazione dell'ordinamento di infiniti per log(n), n^\alpha, b^n, n!, n^n. Generalizzazioni. Esempi ed esercizi.

Esercitazione 21/10 (Pomeriggio). Esercizi su limiti di successione e confronto di infiniti.

Lezione 22/10. Definizione di sottosuccessione. Teorema se a_n ammette limite, ogni sottosuccessione converge allo stesso limite (con dimostrazione). Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente: Teorema di Bolzano-Weierstrass  (con dimostrazione).  Esempi. Definizione di punto di accumulazione.

Lezione 23/10. Prioprietà vera definitivamente per x->x_0. Definizione di limite di funzione e formulazioni equivalenti. Esempi. Osservazione: Il valore di 𝑓 in x_0 è irrilevante. Definizione di limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto Osservazione: Negazione di limite. Teorema Ponte (con dimostrazione). Applicazione sulla negazione dell'esistenza del limite, esempio.

Lezione 26/10. Unicità del limite di funzioni (con dimostrazione). Teorema dei carabinieri (con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno 1 e 2 (con dimostrazione). Algebra dei limiti. Limiti delle funzioni elementari.  Confronto fra infiniti di funzioni elementari. 

Lezione 28/10. Teorema Limite di funzioni monotone (senza dimostrazione). Teorema Limite di funzione composta (con dimostrazione). Limiti notevoli e comportamenti asintotici (con dimostrazione).

Lezione 30/10. Simbolo di Landau o(f(x)) per x->x_0. Proprietà del simbolo di Landau. Esempi di utilizzo nel calcolo di limiti e comportamenti asintotici.

Lezione 02/11. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui, esempi ed esercizi. Funzione continua in un punto. Algebra delle funzioni continue, composizione di funzioni continue, Teorema della permanenza del segno per funzioni continue (con dimostrazione). Punti di discontinuità con esempi.