Docente: Morinelli Vincenzo

Studio: 1110, Dipartimento di Matematica (Macroarea di Scienze, Sogene)

Ricevimento: Martedì su appuntamento alla mail: morinell[at]mat.uniroma2.it

Tutorato
Il tutorato sarà svolto dal Dott. Leonardo Maini a partire da Mercoledì 1 Ottobre nei seguenti giorni ed orari:  Mercoledì, 16:00 - 18:00, Aula 3

Orario Lezioni:
Lunedì 09:30-11:30 Aula 4
Mercoledì 11:30-13:30 Aula 4
Giovedì 11:30-13:30 Aula B4
Venerdì 11:30-13:30 Aula B4

E utile iscriversi via Delphi al corso (Iscrizioni aperte fino al 25/09/2026) e al canale TEAMS del corso.

Appelli ed esoneri

Esoneri

1° esonero: 28 Novembre 2025. Il primo esonero riguarderà lo studio di grafici di funzioni e il calcolo di limiti. Testo e soluzioni, Risultati.

NOTA: Gli studenti che hanno superato il primo esonero sono automaticamente iscritti al secondo esonero (non devono effettuare alcuna iscrizione al secondo esonero via delphi).

Si raccomanda vivamente di comunicare con adeguato anticipo l’eventuale impossibilità a partecipare al secondo esonero, per ragioni organizzative.

Per gli studenti ammessi al secondo esonero, l’assenza comporta la perdita del voto dell’esonero.

2° esonero: 19 Gennaio 2026.
Il secondo esonero riguarderà la parte rimanente del corso: Sviluppi e Limiti con Taylor, Integrali, Equazioni Differenziali, Numeri Complessi.
Il secondo esonero si svolgerà in Aula 1 e durerà 2 ore.  Orario di convocazione h 9:40. Inizio esonero ore 10.
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Sessione Gennaio-Febbraio 2026

1° APPELLO, Prova scritta: 28 Gennaio 2026. Prenotazioni aperte: ci si può prenotare al primo appello tramite Delphi FINO AL 25/01/2026

È assolutamente obbligatoria la prenotazione all'esame tramite il portale Delphi entro la scadenza della prenotazione stessa; non saranno ammessi all'esame studenti ritardatari o non registrati.

DATE ORALI 1° APPELLO:  05/02, 11/02, (12/02). La data del 12/02 si attiva solo se non si riescono a fare gli orali del primo appello tutti nelle date del 05/02 e del 11/02.

2° APPELLO, Prova scritta: 16 Febbraio 2026

DATE ORALI 2° APPELLO:  25/02, (26/02 e 27/02). La data del 26/02 si attiva solo se non si riescono a fare tutti gli orali nella data del 25/02. Quella del 27/02 si attiva solo se necessaria a completare gli orali della sessione.

Sessione Giugno - Luglio 2026

3° appello, Prova scritta: 15 Giugno 2026
4° appello, Prova scritta: 9 Luglio 2026

Sessione Settembre 2026

5° appello, Prova scritta: 1 settembre 2026
6° appello, Prova scritta: 14 settembre 2026 

Diario delle lezioni

• Lezione 22/09. Introduzione al corso. Insiemi, proprietà degli insiemi. Insiemi numerici 

• Lezione 24/09. Operazioni sugli insiemi di numeri. Definizione di campo e di insieme totalmente ordinato.  Proprietà di densità dei razionali e proprietà Archimedea (con dimostrazione). Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali.

• Lezione 25/09. Implicazioni loghiche, dimostrazione per assurdo. Definizione di insieme di numeri reali. Radice di 2 non è razionale (con dimostrazione). Radice di 2 è un elemento di R, R è insieme numerico completo.  Proprietà di R, R è un campo ordinato. Intervalli di R.

• Lezione 26/09. Topologia della retta: Insiemi aperti, chiusi, punti interni e punti di frontiera.  Distanza fra due punti. Insiemi limitati (superiormente, inferiormente) Maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore, Massimo, Minimo. Unicità di massimo e minimo di un insieme (con dimostrazione). Esempi.

• Lezione 29/09. Caratterizzazione di Sup e Inf, Proprietò di Sup e Inf. Radice n-esima di un numero reale  positivo (senza dimostrazione).

• Lezione 01/10. Funzioni, prime definizioni: Dominio, codominio, Grafico, immagine. Funzioni (strettamente) crescenti e decrescenti. Esempi.

• Lezione 06/10. Controimmagine, proprietà delle funzioni (strettamente) monotone. Funzioni pari e dispari, proprietà. Funzioni iniettive e suriettive. Esempi.

• Lezione 08/10. Proprietà delle funzioni iniettive e suriettive. Funzioni biiettive. Le funzioni strettamente monotone sono iniettive (con dimostrazione). Composizione di funzioni, proprietà delle funzioni composte. Monotonia  della composizione di funzioni monotone (con dimostrazione). Funzioni invertibili, proprietà delle funzioni invertibili. Grafico della funzione inversa.  Inversa di una funzione monotona strettamente è monotona strettamente (con dimostrazione). Osservazioni ed esempi.

• Lezione 9/10.  Funzioni elementari: valore assoluto. Proprietà del modulo.  Disuguaglianza triangolare (con dimostrazione).Potenze con esponente razionale e irrazionale. Proprietà: crescenza, decrescenza invertibilità e primi grafici.

• Lezione 10/10. Funzioni elementari esponenziali e logaritmi, definizione e proprietà. Funzioni Trigonometriche e le loro inverse, definizioni e proprietà. Esercizi

• Lezione 13/10. Estremo superiore/inferiore, Massimi e minimi di una funzione. Operazioni su grafici. Principio di induzione. Esercizi ed esempi. 

• Lezione 15/10. Disuguaglianza di Bernulli (con dimostrazione). Elementi di combinatoria, proprietà del fattoriale e del coefficienti binomiali (con dimostrazione). Formula del binomio di Newton (con dimostrazione). Dimostrazione Formula Binomio di Newton (versione 04/11, corretto typo a fine pagine 3: la somma ha come ultimo termine m=n+1)

• Lezione 16/10. Definizione di successioni. Successioni monotone e strettamente monotone. Limiti di successioni: Definizione e primi esempi. Verifica di Limiti.

• Lezione 17/10. Esempi ed esercizi di verifica dei limiti. Retta estesa e intorni.  Teoremi: Unicità del limite (con dimostrazione), Teorema del confronto (con dimostrazione). Primi esempi di calcolo di limiti.

• Lezione 20/10. Teorema della permanenza del segno per successioni (con dimostrazione). Ogni successione convergente è limitata (con dimostrazione), controesempio di una successione limitata non convergente. Ogni successione divergente a + infinito è limitata inferiormente (con dimostrazione). Ogni successione divergente a -infinito è limitata superiormente (con dimostrazione). Definizione di successione infinitesima. Prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima (con dimostrazione). Conseguenza del teorema del confronto. Algebra dei limiti (finiti). Esempi.

• Lezione 22/10. Algebra dei Limiti finiti (con dimostrazioni), Algebra dei limiti estesa ai casi di limiti infiniti (con dimostrazioni). Limiti per difetto e per eccesso. Forme indeterminate.  Calcolo di limiti di per risolvere forme indeterminate, esercizi. Successioni infinitesime, o(1), e proprietà algebriche di o(1). Esercizi.

• Lezione 23/10. Teorema di esistenza del limite di successioni monotone (con dimostrazione). Esistenza del limite finito per successioni monotone limitate (con dimostrazione). Esistenza del limite di (1+1/n)^n (con dimostrazione). Esempi ed esercizi.

• Lezione 24/10. Successioni asintoticamente equivalenti. Ordini di infinito. Primi limiti notevoli con dimostrazione. Generalizzazioni. Lemma criterio del rapporto per succesioni (con dimostrazione). Dimostrazione dell'ordinamento di infiniti per log(n), n^\alpha, b^n, n!, n^n. Generalizzazioni. Esempi ed esercizi.

• Lezione 27/10. Definizione di sottosuccessione. Teorema se a_n ammette limite, ogni sottosuccessione converge allo stesso limite (con dimostrazione). Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente: Teorema di Bolzano-Weierstrass  (con dimostrazione). Esempi. Esempio di successione definita per ricorrenza e studio del limite.

• Lezione 27/10 (pomeriggio). Esericizi su calcolo dei limiti, Ordini di infinito. Formula di Stirling

• Lezione 29/10. Definizione di punto di accumulazione. Esempi. Prioprietà vera definitivamente per x->x_0. Definizione di limite di funzione e formulazioni equivalenti. Esempi. Osservazione: Il valore di 𝑓 in x_0 è irrilevante.  Osservazione: Negazione di limite.

• Lezione 30/10. Definizione di limite destro e sinistro. Esempi. Teorema ponte (con dimostrazione). Unicità del limite di funzioni (con dimostrazione). Teorema dei carabinieri (con dimostrazione).

• Lezione 31/10. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Algebra dei limiti (con dimostrazione via teorema ponte). Limiti delle funzioni elementari. Teorema, limite della funzione composta (con dimostrazione). o(1). Esempi ed esercizi

• Lezione 03/11. Limite di funzioni montotone. Ordini di grandezza di funzioni elementari (con dimostrazione). Limiti notevoli (con dimostrazione). Esempi ed esercizi

• Lezione 04/11. Simboli di Landau (o-piccolo di una funzione), Esempi e proprietà. Sviluppi asintotici notevoli. Esercizi su limiti con sviluppi asintotici.

• Lezione 05/11. Definizione di funzione continua. Definizione di funzione continua da destra e da sinistra. Algebra delle funzioni continue (con dimostrazione). Composizione di funzioni continue è continua (con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno per funzioni continue (con dimostrazione). Punti di discontinuità, classificazione delle discontinuità.  Funzioen parte intera, Funzione segno. Esempi.

• Lezione 6/11. Teoremi sulle funzioni continue: Teorema degli zeri (con dimostrazione). Controesempi nel caso manca una ipotesi. Teorema di Weierstrass.

• Lezione 7/11. Controesempi se mancano ipotesi al teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Corollari: l'immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo. teorema continuità della funzione inversa. Asinoti orizzontali, obliqui, verticali. Esempi ed esercizi.

• Lezione 10/11. Rapporto incrementale. Definizione di funzione derivabile in un punto. Definizione di funzione derivabile in un insieme.  Migliore approssimazione Lineare (ordine 1) e retta tangente. Teorema: Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Definizione di funzione C^1(X). Derivata di funzioni elementari (con dimostrazione), Regole di derivazione.

• Lezione 12/11. Dimostrazione delle regole di derivazione. Punti di non derivabilità (Punti angolosi, cuspidi, punti a tangenza verticale), esempi. Punti estremali locali, punti critici, Teorema di Fermat. Relazione fra punti critici e punti estremali relativi. Teorema: Criterio differenziale di monotonia. Osservazioni ed esempi. Ricerca di candidati punti estremali locali e studio di funzione.

• Lezione 13/11.  Dimostrazione del Teorema di Fermat. Punti estremali relativi e derivate da destra e sinistra. Dimostrazione dei teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Dimostrazione del teorema: Criterio differenziale di monotonia. Osservazioni ed esempi. 

• Lezione 14/11. Le funzioni definite su intervalli con derivata nulla sono costanti (con dimostrazione). Studio di funzione, esercizi. Definizione di derivata seconda e priume proprietà. Definzione di Convessità e concavità.Pprimi teoremi su concavità e convessità

• Lezione 17/11. Teoremi sulla relazione fra convessità, monotonia della derivata e positività della derivata seconda. Teorema su estremi relativi, punti critici e convessità. Funzioni iperboliche.

• Lezione 19/11. Funzioni inverse delle funzioni iperboliche e derivate. Esercizi su studi di funzione.

• Lezione 20/11. Studi di funzione.

• Lezione 21/11. Teorema di de l'Hopital (con dimostrazione). Esempi di funzioni continue non derivabili e derivabili senza derivata continua. Studi di funzione.

• Lezione 24/11. Esercizi su limiti di successioni e di funzioni

• Lezione 26/11. Derivate di ordine superiore. Polinomio di Taylor (con dimostrazione). Sviluppi di alcune funzioni elementari. Esercizi.

• Esonero 28/11

• Lezione 01 /12. Unicità del Polinomio di Taylor (con dimostrazione). Sviluppi notevoli di funzioni elementari. Esercizi su sviluppi di Taylor e limiti con Taylor.

• Lezione 03/12. Grado e ordine del polinomio di Taylor. Estremi relativi e sviluppo di Taylor. Esercizi su ordine e limiti con sviluppi di Taylor.

• Lezione 04/12. Resto di Lagrange (senza dimostrazione). Applicazione per calcolare e con un errore di 10^{-3}. Il Numero di Nepero non è razionale (con dimostrazione). Introduzione all'integrazione. Partizioni di un intervallo, Somme superiori ed inferiori, monotonia delle somme superiori ed inferiori.

• Lezione 05/12. Funzioni Riemann integrabili. Condizioni equivalenti (con dimostrazione). Significato geometrico dell'integrale in termini di area con segno. Esempio di funzione non Riemann integrabile. Le funzioni monotone sono Riemann integrabili (con dimostrazione). Le funzioni C^1 sono Riemann integrabili (con dimostrazione). Le funzioni continue con un numero finito di punti di discontinuità sono integrabili (senza dimostrazione).

• Lezione 9/12. Definizione di Parte positiva, parte negativa di una funzione. Definizione di Media integrale. Teorema della media integrale (con idea di dimostrazione). Funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Definizione di Primitiva di una funzione. Proposizione: le funzioni primitive sono definite a meno di costanti. Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Definizione di Integrale indefinito. Primi esempi di calcolo di integrale definito.

• Lezione 10/12. Integrale improprio di funzioni elementari. Integrazione per sostituzione. Esempi ed esercizi. Integrazione per parti. Esempi ed esercizi. Integrazione di funzioni simmetriche (pari o dispari) su intervalli simmetrici.

• Lezione 11/12. Integrazione di funzioni razionali. Esempi ed esercizi.

• Lezione 12/12. Integrazioni di funzioni razionali fratte. Decomposizione in fratti semplici. Sostituzioni di base. Esempi ed esercizi

• Lezione 15/12. Esercizi su integrali per sostituzione, per parti e iterativi. Funzioni integrabili in senso improprio definizione e primi esempi.

• Lezione 17/12. integrali impropri esempi ed esercizi. Monotonia della funzione integrale per funzioni definitivamente positive. Criteri di integrabilità impropria per funzioni definitivamente positive positive. Esercizi ed esempi.

• Lezione 18/12. Dimostrazione dei criteri di integrabilità per funzioni definitivamente positive. Esempi ed esercizi. Assoluta convergenza in senso improprio. Teorema assoluta convergenza in senso improprio implica convergenza in senso improprio. Esempi ed esercizi

• Lezione 19/12. Esempio di una funzione integrabile in senso improprio non assolutamente integrabile in senso improprio. Esercizi su integrabilità in senso improprio e calcolo integrali impropri.

• Lezione 22/12. Campo dei numeri complessi. Parte reale e immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà. Piano di complesso. Rappresentazione cartesiana, polare, esponenziale e interpretazione geometrica della somma del prodotto e del quoziente. Proprietà algebriche. Radici n-esime di un numero complesso. 

• Lezione  07/01. Richiami sui numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra, esempi ed osservazioni. Radici di un polinomio 

• Lezione 08/01. Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali e fattorizzazione di polinomi reali. Formula di De Moivre (con dimostrazione). Esercizi sui numeri complessi, soluzione di equazioni.

• Lezione 09/01. Equazioni differenziali lineari (EDO), ordine di una EDO. EDO a variabili separabili, problema di Cauchy. Metodo per trovare soluzioni del problema di Cauchy.  Soluzioni stazionarie. Esercizi ed esempi. Intervallo massimale di esistenza. Teorema su esistenza, unicità della soluzione e Intervallo massimale di esistenza (solo enunciato).

• Lezione 12/01. EDO lineari omogenee e non omogenee. Integrale generale: Teoremi: soluzioni di una EDO lineare omogenea e non omogenea. La somma di soluzioni di una EDO lineare non omogenea è una soluzione del problema omogeneo (con dimostrazione). Osservazione: caratterizzazione delle soluzioni di una EDO lineare non omogenea.  Problema di Cauchy associato. Esempi ed esercizi

• Lezione 13/01. EDO di ordine 2 lineari a coefficienti costanti omogenee: Integrale generale. Introduzione al caso non omogeneo. Problema di Cauchy. Esempi ed esercizi