Analisi Matematica 1
(Canale 2)
Corso di Laurea in Ingegneria informatica
(Canale 2)
Corso di Laurea in Ingegneria informatica
Docente: Morinelli Vincenzo
Studio: 1110, Dipartimento di Matematica (Macroarea di Scienze, Sogene)
Ricevimento: Martedì su appuntamento alla mail: morinell[at]mat.uniroma2.it
Tutorato
Il tutorato sarà svolto dal Dott. Leonardo Maini a partire da Mercoledì 1 Ottobre nei seguenti giorni ed orari: Mercoledì, 16:00 - 18:00, Aula 3
Orario Lezioni:
Lunedì 09:30-11:15 Aula 4
Mercoledì 11:30-13:30 Aula 4
Giovedì 11:30-13:30 Aula B4
Venerdì 11:30-13:30 Aula B4
E utile iscriversi via Delphi al corso (Iscrizioni aperte fino al 25/09/2026) e al canale TEAMS del corso.
Avvisi:
- Non ci sarà lezione Giovedì 2 e Venerdì 3 Ottobre 2025
- Si recupera una lezione Lunedì 27/10/2025, Aula B2, 16:00-18:00
- Si recupera una lezione Martedì 04/11/2025, Aula 6, 14:00-16:00
Ci si potrà prenotare al primo esonero da Lunedì 27 Ottobre al Lunedì 24 Novembre.
Si ricorda che è assolutamente obbligatoria la prenotazione all'esame tramite il portale Delphi entro la scadenza della prenotazione stessa; non saranno ammessi all'esame studenti ritardatari o non registrati.
Fogli di esercizi:
Foglio 1: Disequazioni ed estremo superiore/inferiore
Foglio 2: Estremo superiore/inferiore, Dominio
Foglio 3: Esercizi su Estremo superiore/inferiore, Dominio (esercizi 1,2,5 coperti dagli argomenti svolti a lezione fino ad oggi)
Foglio 4: Limiti di successioni 1
Foglio 6: Successioni 3
Foglio 7: Limiti di funzione (esercizio 1 coperto al 31 ottobre)
Per le prove scritte degli anni precedenti e fogli di esercizi si vedano le pagine: Prof.ssa Tarantello (prove scritte 2014-2019), Prof. Isola, Prof.ssa D'Aprile.
Esoneri
1° esonero: 28 Novembre 2025. Il primo esonero riguarderà lo studio di grafici di funzioni e il calcolo di limiti.
FINESTRA PRENOTAZIONI: da Lunedì 27 ottobre 2025 al Lunedì 24 Novembre 2025.
Gli orari e le aule d'esame saranno indicati successivamente.
2° esonero: 19 Gennaio 2026. Il secondo esonero riguarderà la parte rimanente del corso.
Sessione Gennaio-Febbraio 2026
1° appello, Prova scritta: 28 Gennaio 2026
2° appello, Prova scritta: 16 Febbraio 2026
Sessione Giugno - Luglio 2026
3° appello, Prova scritta: 15 Giugno 2026
4° appello, Prova scritta: 9 Luglio 2026
Sessione Settembre 2026
5° appello, Prova scritta: 1 settembre 2026
6° appello, Prova scritta: 14 settembre 2026
Regolamento Appelli
Possono sostenere l'esame esclusivamente gli studenti del canale 2; sia alla prova scritta che a quella orale è necessario presentare per l'identificazione un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto) o il libretto universitario.
È assolutamente obbligatoria la prenotazione all'esame tramite il portale Delphi entro la scadenza della prenotazione stessa; non saranno ammessi all'esame studenti ritardatari o non registrati.
Sono previsti due appelli d'esame per ciascuna delle sessioni: invernale (gennaio-febbraio), estiva (giugno-luglio) e autunnale (settembre); gli studenti possono usufruire di entrambi gli appelli previsti.
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta ha la durata di tre ore; è possibile ritirarsi non prima di due ore dall'inizio dello svolgimento. Si è ammessi alla prova orale se si è ottenuta una votazione sufficiente alla prova scritta (maggiore o uguale a 18/30). La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione dello scritto, ma non necessariamente nello stesso appello. In caso di mancato superamento dell'orale è necessario ripetere anche la prova scritta. La consegna dello scritto nel secondo appello annulla l'eventuale prova scritta del primo appello (in riferimento alla stessa sessione).
Le date delle prove e i tempi di prenotazione saranno comunicati su questa pagina.
Regolamento Esoneri
Possono sostenere gli esoneri (o prove in itinere) esclusivamente gli studenti del canale 2.
Sono programmate due prove intermedie, rispettivamente sulla prima e sulla seconda parte di programma. Se superate entrambe lo studente è ammesso alla prova orale da sostenere nella sessione di Gennaio-Febbraio 2026. In caso di mancato superamento dell’orale, lo studente dovrà ripetere anche la prova scritta. Saranno ammessi al secondo esonero coloro che avranno riportato nel primo esonero una valutazione sufficiente. Si precisa infine che la consegna dello scritto in uno degli appelli di Gennaio–Febbraio annulla automaticamente il voto ottenuto tramite le prove intermedie.
Per poter partecipare agli esoneri è assolutamente obbligatoria la prenotazione tramite il portale Delphi. Non saranno ammessi studenti ritardatari o non registrati.
Le date delle prove e i tempi di prenotazione saranno comunicati su questa pagina.
IMPORTANTE:
Non è consentito l'uso né l’avere con sé (ad esempio in tasca) telefoni cellulari, dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, calcolatrici elettroniche programmabili, libri di testo e appunti.
Per poter partecipare agli appelli e agli esoneri, il giorno della prova gli studenti devono obbligatoriamente essere muniti di un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto) o libretto universitario da presentare per l'identificazione.
Studenti con disabilità: per eventuali strumenti dispensativi da utilizzare per l'esame occorre rivolgersi al CARIS.
Si invita gli studenti a fare richieste per tempo al fine da avere il tempo di valutare e approvare eventuali formulari o strumenti compensativi
Diario delle lezioni
Lezione 22/09. Introduzione al corso. Insiemi, proprietà degli insiemi. Insiemi numerici
Lezione 24/09. Operazioni sugli insiemi di numeri. Definizione di campo e di insieme totalmente ordinato. Proprietà di densità dei razionali e proprietà Archimedea (con dimostrazione). Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali.
Lezione 25/09. Implicazioni loghiche, dimostrazione per assurdo. Definizione di insieme di numeri reali. Radice di 2 non è razionale (con dimostrazione). Radice di 2 è un elemento di R, R è insieme numerico completo. Proprietà di R, R è un campo ordinato. Intervalli di R.
Lezione 26/09. Topologia della retta: Insiemi aperti, chiusi, punti interni e punti di frontiera. Distanza fra due punti. Insiemi limitati (superiormente, inferiormente) Maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore, Massimo, Minimo. Unicità di massimo e minimo di un insieme (con dimostrazione). Esempi.
Lezione 29/09. Caratterizzazione di Sup e Inf, Proprietò di Sup e Inf. Radice n-esima di un numero reale positivo (senza dimostrazione).
Lezione 01/10. Funzioni, prime definizioni: Dominio, codominio, Grafico, immagine. Funzioni (strettamente) crescenti e decrescenti. Esempi.
Lezione 06/10. Controimmagine, proprietà delle funzioni (strettamente) monotone. Funzioni pari e dispari, proprietà. Funzioni iniettive e suriettive. Esempi.
Lezione 08/10. Proprietà delle funzioni iniettive e suriettive. Funzioni biiettive. Le funzioni strettamente monotone sono iniettive (con dimostrazione). Composizione di funzioni, proprietà delle funzioni composte. Monotonia della composizione di funzioni monotone (con dimostrazione). Funzioni invertibili, proprietà delle funzioni invertibili. Grafico della funzione inversa. Inversa di una funzione monotona strettamente è monotona strettamente (con dimostrazione). Osservazioni ed esempi.
Lezione 9/10. Funzioni elementari: valore assoluto. Proprietà del modulo. Disuguaglianza triangolare (con dimostrazione).Potenze con esponente razionale e irrazionale. Proprietà: crescenza, decrescenza invertibilità e primi grafici.
Lezione 10/10. Funzioni elementari esponenziali e logaritmi, definizione e proprietà. Funzioni Trigonometriche e le loro inverse, definizioni e proprietà. Esercizi
Lezione 13/10. Estremo superiore/inferiore, Massimi e minimi di una funzione. Operazioni su grafici. Principio di induzione. Esercizi ed esempi.
Lezione 15/10. Disuguaglianza di Bernulli (con dimostrazione). Elementi di combinatoria, proprietà del fattoriale e del coefficienti binomiali (con dimostrazione). Formula del binomio di Newton (con dimostrazione). Dimostrazione Formula Binomio di Newton (versione 30/10, corretto typo a fine pagine 3)
Lezione 16/10. Definizione di successioni. Successioni monotone e strettamente monotone. Limiti di successioni: Definizione e primi esempi. Verifica di Limiti.
Lezione 17/10. Esempi ed esercizi di verifica dei limiti. Retta estesa e intorni. Teoremi: Unicità del limite (con dimostrazione), Teorema del confronto (con dimostrazione). Primi esempi di calcolo di limiti.
Lezione 20/10. Teorema della permanenza del segno per successioni (con dimostrazione). Ogni successione convergente è limitata (con dimostrazione), controesempio di una successione limitata non convergente. Ogni successione divergente a + infinito è limitata inferiormente (con dimostrazione). Ogni successione divergente a -infinito è limitata superiormente (con dimostrazione). Definizione di successione infinitesima. Prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesima (con dimostrazione). Conseguenza del teorema del confronto. Algebra dei limiti (finiti). Esempi.
Lezione 22/10. Algebra dei Limiti finiti (con dimostrazioni), Algebra dei limiti estesa ai casi di limiti infiniti (con dimostrazioni). Limiti per difetto e per eccesso. Forme indeterminate. Calcolo di limiti di per risolvere forme indeterminate, esercizi. Successioni infinitesime, o(1), e proprietà algebriche di o(1). Esercizi.
Lezione 23/10. Teorema di esistenza del limite di successioni monotone (con dimostrazione). Esistenza del limite finito per successioni monotone limitate (con dimostrazione). Esistenza del limite di (1+1/n)^n (con dimostrazione). Esempi ed esercizi.
Lezione 24/10. Successioni asintoticamente equivalenti. Ordini di infinito. Primi limiti notevoli con dimostrazione. Generalizzazioni. Lemma criterio del rapporto per succesioni (con dimostrazione). Dimostrazione dell'ordinamento di infiniti per log(n), n^\alpha, b^n, n!, n^n. Generalizzazioni. Esempi ed esercizi.
Lezione 27/10. Definizione di sottosuccessione. Teorema se a_n ammette limite, ogni sottosuccessione converge allo stesso limite (con dimostrazione). Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente: Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). Esempi. Esempio di successione definita per ricorrenza e studio del limite.
Lezione 27/10 (pomeriggio). Esericizi su calcolo dei limiti, Ordini di infinito. Formula di Stirling
Lezione 29/10. Definizione di punto di accumulazione. Esempi. Prioprietà vera definitivamente per x->x_0. Definizione di limite di funzione e formulazioni equivalenti. Esempi. Osservazione: Il valore di 𝑓 in x_0 è irrilevante. Osservazione: Negazione di limite.
Lezione 30/10. Definizione di limite destro e sinistro. Esempi. Teorema ponte (con dimostrazione). Unicità del limite di funzioni (con dimostrazione). Teorema dei carabinieri (con dimostrazione).
Lezione 31/10. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Algebra dei limiti (con dimostrazione via teorema ponte). Limiti delle funzioni elementari. Teorema, limite della funzione composta (con dimostrazione). Esempi ed esercizi
Programma indicativo del corso
Insiemi numerici. Numeri reali e loro proprietà. Assioma di completezza. Estremo superiore e inferiore. Funzioni: nozioni di base, dominio, immagine, funzione inversa. Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse. Limiti di successioni numeriche. Limiti e continuità per funzioni di una variabile. Teoremi sulle funzioni continue. Derivata: definizione, interpretazione geometrica. Calcolo delle derivate, derivate delle funzioni elementari. Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi e minimi e della convessità delle funzioni. Studio del grafico di funzioni. Teorema di De L'Hopital, formula di Taylor. Applicazioni al calcolo di limiti. Integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali. Formula di integrazione per sostituzione e per parti. Integrali impropri. Numeri complessi e loro proprietà. Forma cartesiana e trigonogmetrica. Radici n-esime. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Libri di testo consultabili
Verrà seguito indicativamente il libro
M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon1, McGraw-Hill.
ma un qualsiasi testo universitario di analisi matematica per i corsi di Matematica/Fisica/Ingegneria va bene. Ecco alcuni titoli
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007,
E. Giusti. Analisi Matematica Vol. 1 e Vol. 2, Bollati-Boringhieri.
M. Bramanti C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1 e 2, Zanichelli.
M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli Epsilon1, Epsilon2 McGraw-Hill.
Ecco una lista di libri di esercizi di analisi matematica:
S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 1 e 2, Zanichelli.
E. Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica (Vol. 1 e Vol.2), Bollati-Boringhieri
B.P. Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori Riuniti 2010.
M. Bramanti. Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2. Esculapio Editori