Esercizi

1. Serie 1 (28/10, corretto typo esercizio 2q)
2. Serie 2 (28/10, corrette soluzoni esercizi 3a e 7a)
3. Serie 3  (14/10 aggiunti esercizi (u)- (y))
4. Funzioni di più variabili 1 (soluzioni),  Guida agli esercizi 8,9
5. Funzioni di più variabili 2  (28/10, corretto testo esercizio 2 ed esercizio 4)
6. Funzioni di più variabili 3
7. Funzioni di più variabili 4 (suggerimento esercizio 1.j, studiare la derivata in y di f(x,y))
8. Funzioni in pià variabili 5
9. Integrali multipli (Svolgimenti)
10. Curve e integrali curvilinei (Svolgimenti)
11. Forme differenziali (Svolgimenti)
12. Integrali su superfici (Svolgimenti)

Temi Importanti prova Teoria

Diario delle lezioni

1. Serie numeriche: definizione, carattere di una serie.  Proprietà delle serie (con dimostrazione). Serie di Mengoli. Serie a termini positivi, Criterio del confronto (con dimostrazione). Esempi.

2. Criterio del confronto asintotico (con dimostrazione).  Criterio del confronto asintotico caso limite a zero e infinito (con dimostrazione). Criterio del confronto integrale (con dimostrazione), Criterio della radice (con dimostrazione). Convergenza della Serie geometrica convergenza della serie armonica generalizzata. Esempi ed esercizi

3. Criterio del rapporto (con dimostrazione), esercizi su serie a termini positivi

4. Serie a termini qualsiasi. Convergenza assoluta. Teorema convergenza assoluta implica convergenza semplice (con dimostrazione).  Teorema di Leibniz (con dimostrazione).  Serie con sviluppi di Taylor. Esercizi

5. Esercizi su serie numeriche. Definizione di Serie di potenze, definizione di raggio di convergenza. Lemma e Teorema su raggio di una serie di potenze (con dimostrazione). Teorema per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Esercizi su serie di potenze.

6. Dimostrazione del Teorema raggio di convergenza. Continuità, derivabilità e integrabilità di una serie di potenze (senza dimostrazione). Una serie di potenze è il suo polinomio di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Esercizi su serie di potenze

7. Esercizi su serie numeriche e serie di potenze.

8. Introduzione alle funzioni di più variabili. Grafico di una funzione, insiemi di livello. Topologia di R^n.

9. Topologia di R^n, esempi. Dimostrazione disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare della norma. Successioni in R^n, limite di successioni in R^n. Funzioni da R^n a R^m, limiti di funzioni. Definizione di continuità.

10. Funzioni in più variabili, Limiti di funzioni, Continuità, Limite della funzione composta. Composizione di funzioni continue. Esempi. Continuità per funzioni ristrette a sottoinsiemi. Il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è infinitesimo (con dimostrazione). Teorema del confronto (con dimostrazione). Esercizi Limiti di funzioni

11. Teorema ponte (solo enunciato). Compattezza, compattezza per successioni. Teorema di Weierstrass (con dimostrazione). Curve in R^n: definizione, curve cartesiane, curve semplici, curve chiuse, esempi. Connessione per archi, Teorema degli zeri (enunciato).

12. Dimostrazione Teorema degli zeri. Immagine continua di un connesso è un connesso, Preimmagine di un aperto tramite funzione continua è aperta (enunciato ed esempi). Esercizi sui limiti.

13. Limite di  x^a y^b=o(x^4+y^4) per (x,y)->(0,0). Definizione di derivata direzionale e derivata parziale. Esempi. Esempio di funzione derivabile in tutte le direzioni ma non continua. Coordinate polari

14. Derivate parziali, Direzionali, Derivabilità, Differenziabilità. Teorema sulla differenziabilità: conseguenze della nozione di differenziabilità: continuità, esistenza delle derivate direzionali e loro relazione con il gradiente della funzione (con dimostrazione), piano tangente il grafico di una funzione, vettore gradiente. Esempi di funzioni non continue ma con derivate direzionali, derivabili direzionalmente non differenziabili; Funzioni per cui vale la formula del gradiente ma non differenziabili; Funzioni continue non differenziabili. Il gradiente dà la direzione di massima variabilità.

15. Proprietà funzioni differenziabili. Definizione di funzione di classe C^1. Teorema del differenziale totale, enunciato e conseguenze (le funzioni C^1 sono C^0). Esercizi su differenziabilità (esempi e controesempi),  Funzioni C^1, piano tangente, continuità delle derivate parziali, derivate direzionali, limiti. 

16. Dimostrazione del teorema del differenziale totale. Matrice Jacobiana. Regola della catena (senza dimostrazione).

17. Velocità di una curva e matrice Jacobiana. Regola della catena nel caso di una curva composta una funzione a valori in R, interpretazione geometrica. Per una funzione a valori in R definizione di Estremi relativi, Definizione di punti critici, teorema di Fermat con dimostrazione.

18. Derivate direzionali, derivate parziali di ordine 2. Funzioni 2 volte differenziabili e  funzioni C^2. Matrice Hessiana. Teorema di Schwatrz (solo enunciato). Esempio di funzione 2 volte derivabile per cui non vale il teorema di Schwartz. Sviluppo di Taylor di ordine 2, Polinomio di Taylor di ordine 2. Esempi.

19.  Insiemi convessi in R^n. La nozione di convessità per funzioni da R^n a R e relazione in termini del piano tangente al grafico della funzione. Il teorema sull’equivalenza tra (stretta-)convessità/(stretta-)concavità e matrice Hessiana sia (semi-)definita positiva/negativa (con dimostrazione). Definizione  di matrice definita positiva, negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa. Esempi.

20. Ripasso Algebra lineare: forme quadratiche, matrici definite/semidefinite/indefinite, autovalori, autovettori. Caratterizzazione positività matrice Hessiana in dimensione 2. Teorema di identificazione dei punti estremali, come punti critici via convessità e via positività della matrice Hessiana (con dimostrazione). Esercizi su massimi e minimi locali di funzioni in più variabili.

21. Esercizi su massimi e minimi liberi, 2 e 3 variabili.

22. Esercizi su massimi e minimi liberi, 2 e 3 variabili.

23. Esercizi su massimi e minimi liberi, 2 e 3 variabili. Introduzione allo studio di estremi vincolati. Vincoli in 2 dimensioni, funzione implicita. Teorema di Dini in dimensione 2.

24. Teorema di Dini in dimensione 2 (dimostrazione). Il gradiente è ortogonale alla  direzione della tangente il grafico della funzione implicita (con dimostrazione). Teorema di Dini in dimensione 3 (solo enunciato). Esempi

25. Sviluppo di Taylor della funzione implicita. Estremi relativi vincolati. Punti critici vicolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in 2d. Esercizi.

26. Dimostrazione del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in 2d. Esercizi su massimi e minimi assoluti vincolati (metodo per sostituzione e via Teorema dei moltiplicatori di Lagrange) nel caso in cui il vincolo è un insieme compatto e nel caso in cui il vincolo è non compatto

27. Esercizi su massimi e minimi assoluti vincolati. Esercizi su massimi e minimi assoluti in domini compatti che sono chiusure di aperti. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in dimensione 3. Esercizi su massimi e minimi assoluti vincolati in 3 dimensioni.

28. Estremi relativi di fuzioni definite su insiemi chiusure di insiemi aperti. Integrazione in due variabili, definizione di integrale su un rettangolo e di funzione Riemann integrabile su un rettangolo. Enunciato: una funzione continua in un rettangolo è Riemann integrabile. Formula di riduzione per integrali di funzioni continue su un rettangolo.  Esercizi.

29. Significato geometrico dell'integrale. Domini normali e domini regolari. Teorema, formule di riduzione su domini normali. Interpretazione geometrica delle formule di riduzione su rettangoli e su domini normali. Esercizi

30. Area dell'ellisse.  Funzioni integrabili su domini, Misura di un insieme, Proprietà della misura di un insieme, Insiemi di misura nulla, insiemi misurabili e non misurabili. Il grafico di una funzione integrabile ha misura nulla. Un insieme regolare è misurabile (con dimostrazione). Proprietà delle funzioni integrabili su insiemi misurabili. Condizione di integrabilità su insiemi misurabili. Funzioni continue su insiemi normali e su insiemi regolari sono integrabili (con dimostrazione). Dimostrazione del teorema sulla formula di riduzione insiemi normali. Teorema del cambio di variabili (enunciato). 

31. Coordinate polari, coordinate ellittiche. Integrali in coordinate polari ed ellittiche. Volume dell'ellissoide. Integrazionedi fuzioni di tre variabili : Integrali per fili. Esercizi

32.  Integrali di funzioni in 3 variabili: integrazione per fili, Integrazione per strati, Cambio di variabile, coordinate sferiche. Esercizi

33. Esercizi su integrazione in 2 e 3 variabili. Integrali impropri.

34. Curve rettificabili, Lunghezza di una curva rettificabile, cambio di parametrizzazione. La lunghezza di una curva è invariante per cambio di parametrizzazione. Integrali di prima specie. Esempi ed esercizi.

35. Campi vettoriali e forme differenziali. Integrale di seconda specie: integrale di forme differenziale lungo una curva. Esempi. Teorema: l'integrale di una forma differenziale è invariante per parametrizzazione equivalenti con stessa orientazione, cambia segno per parametrizzazioni equivalenti con orientazione opposta (con dimostrazione). Definizione potenziale. Forma differenziale esatta e campi conservativi.

36. Unione di curve. Teorema integrale di una forma esatta lungo un cammino (con dimostrazione). Una forma esatta è una forma chiusa (con dimostrazione). Teorema di formulazioni equivalenti di forma differenziale chiusa. In particolare una forma differenziale esatta ha integrale nullo su un cammino chiuso (con dimostrazione). Esempi forme differenziali chiuse ed esatte.

37. Forme differenziali chiuse, forme differenziali esatte, esempi ed esercizi. Rotore di un campo vettoriale, relazione tra forme chiuse e campi irrotazionali. Domini semplicemente connessi. Teorema una forma differenziale chiusa su un dominio semplicemente connesso è esatta (solo enunciato). Esempi ed esercizi

38. Integrazione di forme esatte e forme chiuse lungo curve esempi ed esercizi. Curve omotope, invarianza dell'integrale di forme chiuse su curve omotope. Teorema di Gauss-Green (con dimostrazione). Formule di Area (con dimostrazione)

39. Esercizi su forme differenziali.

40. Richiami: curva di Jordan e prodotto vettoriale. Superfici parametriche. Esempi di superfici cartesiane e superfici di rotazione. Vettori tangenti curve coordinate. Superfici regolari. Versori normali.

41.  Versori normali ad una superficie cartesiana e ad una superficie di rotazione. Area di una superficie. Integrali di superficie. Esempi ed esercizi. Superfici orientabili

42. Flusso di un campo vettoriale.  Superfici regolari a pezzi, Regioni di Green.  Teorema della divergenza (senza dimostrazione). Esempi di applicazione: calcolo area della sfera, Teorema di Gauss.

43. Superfici con bordo. Bordo positivamente orientato. Teorema di Stokes. Esercizi su Integrali superficiali.

44. Esercizi di riepilogo su integrali superficiali e flusso di un campo vettoriale, forme differenziali, serie numeriche e serie di potenze.

45. integrali dipendenti da parametro. Esercizi di riepilogo su estremi liberi e vincolati di funzioni in più variabili, integrazione.
    
    

Programma di massima:

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI:

 -serie numeriche -serie di potenze.

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI

-continuità, derivate parziali, differenziabilità -massimi e minimi locali e globali -funzioni definite implicitamente massimi e minimi vincolati.

INTEGRALI MULTIPLI: 

-formule di riduzione -cambiamento di coordinate: polari, ellittiche, cilindriche, sferiche -integrali impropri.

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI: 

-curve parametriche -integrali curvilinei di campi vettoriali o forme differenziali -formule di Gauss-Green.

SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI: 

-superfici parametriche -integrali superficiali di campi vettoriali o forme differenziali -formule di Stokes e Gauss.