Programma del corso
PREREQUISITI:
PREREQUISITI:
PROPRIETA' ALGEBRICHE ELEMENTARI DELLE 4 OPERAZIONI
PROPRIETA' ALGEBRICHE ELEMENTARI DELLE 4 OPERAZIONI
TRIGONOMETRIA: funzioni trigonometriche elementari, loro periodicita', formule per la somma, differenza, duplicazione, e bisezione.
TRIGONOMETRIA: funzioni trigonometriche elementari, loro periodicita', formule per la somma, differenza, duplicazione, e bisezione.
DISEQUAZIONI polinomiali, col valore assoluto, esponenziali e trigonometriche.
DISEQUAZIONI polinomiali, col valore assoluto, esponenziali e trigonometriche.
I. INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI:
I. INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI:
Cenni di teoria degli insiemi.
Cenni di teoria degli insiemi.
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali (irrazionalita' di radice di due), reali (assiomi dei numeri reali; massimi, minimi, estremi superiore ed inferiore).
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali (irrazionalita' di radice di due), reali (assiomi dei numeri reali; massimi, minimi, estremi superiore ed inferiore).
Funzioni e loro rappresentazione cartesiana (funzioni iniettive, suriettive, biettive, monotone, invertibili).
Funzioni e loro rappresentazione cartesiana (funzioni iniettive, suriettive, biettive, monotone, invertibili).
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni e formula del binomio di Newton.
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni e formula del binomio di Newton.
Il principio di induzione.
Il principio di induzione.
I numeri complessi: rappresentazioni algebrica, geometrica, trigonometrica, esponenziale; radici n-sime; formule di de Moivre e di Eulero.
I numeri complessi: rappresentazioni algebrica, geometrica, trigonometrica, esponenziale; radici n-sime; formule di de Moivre e di Eulero.
II. SUCCESSIONI E LORO LIMITI
II. SUCCESSIONI E LORO LIMITI
Definizioni di successione. Definizione di limite.
Definizioni di successione. Definizione di limite.
Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli.
Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli.
Successioni monotone. Il numero "e" di Nepero. Successioni estratte (sottosuccessioni) e teorema di Bolzano-Weiersrtass.
Successioni monotone. Il numero "e" di Nepero. Successioni estratte (sottosuccessioni) e teorema di Bolzano-Weiersrtass.
III. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: LIMITI E CONTINUITA'
III. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: LIMITI E CONTINUITA'
Definizione di limite (per successioni e con epsilon/delta). Operazioni con i limiti (compresa la composizione).
Definizione di limite (per successioni e con epsilon/delta). Operazioni con i limiti (compresa la composizione).
Definizione di continuita' (puntuale e in un insieme). Discontinuita' (eliminabile/non-eliminabile).
Definizione di continuita' (puntuale e in un insieme). Discontinuita' (eliminabile/non-eliminabile).
Teoremi della permanenza del segno, dei valori intermedi, e di Weierstrass.
Teoremi della permanenza del segno, dei valori intermedi, e di Weierstrass.
Continuita' per le funzioni monotone e per le funzioni inverse.
Continuita' per le funzioni monotone e per le funzioni inverse.
IV DERIVATE E APPLICAZIONI
IV DERIVATE E APPLICAZIONI
Definizione di derivata. Interpretazione geometrica (coefficiente angolare della retta tangente). Applicazioni alla meccanica, economia, etc.
Definizione di derivata. Interpretazione geometrica (coefficiente angolare della retta tangente). Applicazioni alla meccanica, economia, etc.
Operazioni con le derivate. Derivazione delle funzioni composte e delle fuzioni inverse.
Operazioni con le derivate. Derivazione delle funzioni composte e delle fuzioni inverse.
Derivate di funzioni elementari.
Derivate di funzioni elementari.
Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat.
Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti. Convessita' e concavita'.
Teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti. Convessita' e concavita'.
Le regole di de l'Hopital.
Le regole di de l'Hopital.
Studio del grafico di una funzione.
Studio del grafico di una funzione.
Formula di Taylor [dopo gli integrali]: resti di Peano, integrale, di Lagrange.
Formula di Taylor [dopo gli integrali]: resti di Peano, integrale, di Lagrange.
Infinitesimi e loro confronto; approssimazione numerica di "pi greco" e del numero "e" di Nepero.
Infinitesimi e loro confronto; approssimazione numerica di "pi greco" e del numero "e" di Nepero.
V INTEGRALI
V INTEGRALI
Integrali definiti: metodo di esaustione di Archimede, funzioni integrabili secondo Riemann, proprieta' fondamentali;teorema della media; integrabilita' delle funzioni continue (cenni).
Integrali definiti: metodo di esaustione di Archimede, funzioni integrabili secondo Riemann, proprieta' fondamentali;teorema della media; integrabilita' delle funzioni continue (cenni).
Primitive e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti.
Integrali indefiniti.
Metodi di integrazione: per parti e tabulazione, per sostituzione, per decomposizione in somma, delle funzioni razionali.
Metodi di integrazione: per parti e tabulazione, per sostituzione, per decomposizione in somma, delle funzioni razionali.
Calcolo dell'area di figure piane.
Calcolo dell'area di figure piane.
Integrali impropri.
Integrali impropri.
VI SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
VI SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
Serie numeriche; carattere, serie convergenti/indeterminate/divergenti.
Serie numeriche; carattere, serie convergenti/indeterminate/divergenti.
Condizione necessaria per la convergenza e criterio della coda.
Condizione necessaria per la convergenza e criterio della coda.
Serie a termini non negativi.
Serie a termini non negativi.
Serie geometrica, armonica, armonica generalizzata.
Serie geometrica, armonica, armonica generalizzata.
Criteri di convergenza: criterio di condensazione di Cauchy, del confronto, del confronto asintotico, criterio integrale.
Criteri di convergenza: criterio di condensazione di Cauchy, del confronto, del confronto asintotico, criterio integrale.
Serie a segni alterni (teorema di Leibnitz).
Serie a segni alterni (teorema di Leibnitz).
Convergenza assoluta.
Convergenza assoluta.
Successioni e serie di funzioni (facoltativo):
Successioni e serie di funzioni (facoltativo):
Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto i segni di integrale e di derivata.
Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto i segni di integrale e di derivata.
Serie di potenze (intervallo di convergenza, teorema di D'Alembert). Serie di Taylor.
Serie di potenze (intervallo di convergenza, teorema di D'Alembert). Serie di Taylor.
Cenni sulle serie di Fourier.
Cenni sulle serie di Fourier.
VII FUNZIONI DI DUE VARIABILI
VII FUNZIONI DI DUE VARIABILI
R^2 come spazio topologico: insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.
R^2 come spazio topologico: insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.
R^2 come spazio vettoriale: prodotto scalare, norma, disugauglianza di Cauchy-Schwarz, disugaglianza triangolare per la norma.
R^2 come spazio vettoriale: prodotto scalare, norma, disugauglianza di Cauchy-Schwarz, disugaglianza triangolare per la norma.
Funzioni reali di due variabili reali: dominio di definizione.
Funzioni reali di due variabili reali: dominio di definizione.
Limiti e continuita'. Teoremi di Bolzano-Weierstrass, di Weierstrass, di esistenza dei valori intermedi.
Limiti e continuita'. Teoremi di Bolzano-Weierstrass, di Weierstrass, di esistenza dei valori intermedi.
Derivate parziali, derivate successive (teorema di Schwarz).
Derivate parziali, derivate successive (teorema di Schwarz).
Differenziabilita' (teorema del differenziale), piano tangente. Gradiente (significato geometrico). Derivate direzionali. Linee di gradiente e curve di livello. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Funzioni di classe C^k(A).
Differenziabilita' (teorema del differenziale), piano tangente. Gradiente (significato geometrico). Derivate direzionali. Linee di gradiente e curve di livello. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Funzioni di classe C^k(A).
Funzioni composte, formula di Taylor e applicazioni (massimi e minimi relativi, punti di sella).
Funzioni composte, formula di Taylor e applicazioni (massimi e minimi relativi, punti di sella).
VIII EQUAZIONI DIFFERENZIALI
VIII EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Definizione di equazione differenziale ordinaria: integrale indefinito, integrale generale, equazioni alle derivate parziali, forma normale (cenni al teorema di invertibilita' del Dini) e problema di Cauchy. Esempi.
Definizione di equazione differenziale ordinaria: integrale indefinito, integrale generale, equazioni alle derivate parziali, forma normale (cenni al teorema di invertibilita' del Dini) e problema di Cauchy. Esempi.
Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicita' (senza dimostrazione: commenti ed esempi).
Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicita' (senza dimostrazione: commenti ed esempi).
Equazioni differenziali lineari del primo ordine (omogenee e non). Applicazioni alla dinamica delle popolazioni e all'economia.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine (omogenee e non). Applicazioni alla dinamica delle popolazioni e all'economia.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (omogenee e non).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (omogenee e non).
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: polinomio caratteristico, alcuni metodi risolutivi per la ricerca delle soluzioni particolari (metodo della variazione delle costanti arbitrarie).
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: polinomio caratteristico, alcuni metodi risolutivi per la ricerca delle soluzioni particolari (metodo della variazione delle costanti arbitrarie).
IX INTEGRALI CURVILINEI, FORME DIFFERENZIALI, ED INTEGRALI DOPPI
IX INTEGRALI CURVILINEI, FORME DIFFERENZIALI, ED INTEGRALI DOPPI
Curve regolari (piane): lunghezza, orientazione, ascissa curvilinea, integrali curvilinei di campi sacalari (funzioni).
Curve regolari (piane): lunghezza, orientazione, ascissa curvilinea, integrali curvilinei di campi sacalari (funzioni).
Forme differenziali: integrale curvilineo, forme chiuse, esatte, teoremi di caratterizzazione delle forme esatte (insiemi stellati, semplicemente connessi).
Forme differenziali: integrale curvilineo, forme chiuse, esatte, teoremi di caratterizzazione delle forme esatte (insiemi stellati, semplicemente connessi).
Domini normali. Integrali su domini normali. Teorema di riduzione per gli integrali doppi.
Domini normali. Integrali su domini normali. Teorema di riduzione per gli integrali doppi.
Formule di Gauss-Green.
Formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza.
Teorema della divergenza.
Formula di Stokes.
Formula di Stokes.
Cambiamento di variabili negli integrali doppi: Jacobiano e sua interpretazione geometrica, coordinate polari.
Cambiamento di variabili negli integrali doppi: Jacobiano e sua interpretazione geometrica, coordinate polari.