CETO-3
Пропонуємо учасникам випробувати себе у розв'язуванні завдань з різних галузей знань, від фізики до епідеміології, за допомогою комп'ютера. Взяти участь можуть команди, що складаються з 6-8 учнів 9-11 класу. Можлива участь і молодших класів, якщо більшість членів команди будуть зі старшої школи.
PDF файл з умовами: посилання
Головні дати:
27-28 березня 2021. інтенсив з основ Python для наукового використання
23-24 квітня 2021. Code Review (онлайн)
25 квітня 2021, 14:00. Захист робіт (онлайн)
Результати олімпіади:
1 місце. School but based (НДШ "Basis")
2 місце. UNDEFINED (Ліцей Наукова зміна, школа Квінта)
3 місце. Інваріантність ларгетні (Русанівський ліцей, НВК 209, Технічний ліцей) та КАШМ++ (Ліцей №142)
Вітаємо переможців! Детальні результати за посиланням.
Умови задач
Потрійний грип
Вже які різні віруси досліджували науковці, але оптимізованість нового штаму грипу для швидкого розповсюдження здивувала всіх! По-перше, доки цей вірус знаходиться в організмі носія, він абсолютно ніяк себе не проявляє, хоча в перспективі його вплив на організм дуже негативний. По-друге, у тих, хто перехворів, зовсім не утворюється до нього довготривалого імунітету, і вже за кілька днів після одужання вони знову у небезпеці захворіти. Третя, і найбільш дивна особливість полягає в тому, що цей грип має три різні штами a, b та c, і при передачі від носія штаму a, вірус завжди перетворюється на штам b, штам b перетворюється на c, а штам c перетворюється на a, людина не може хворіти двома штамами одночасно.
Детальні дослідження показали, що при повній ізоляції хворих, в середньому за тиждень кількість хворих зменшується рівно вдвічи, а при збереженні соціальних контактів за той самий тиждень кожен носій хвороби встигає заразити по 2 людини, тож нова епідемія видається неминучою. Через складність діагностики було вирішено направити зусилля на створення препарату для масового застосування, що зможе завадити передачі вірусу і, на щастя, двом фармокологічним корпораціям вдалось створити еффективні препарати. Корпорація Micer створила спеціальний спрей, що при постійному застосуванні повністю перешкоджає розповсюдженню штамів b та c, а компанія Beta-Nova створила пігулки, що зашкоджають передачі штаму a. В якості аналітиків у державної комісії, ви маєте вирішити скільки саме препарату якого типу треба купити.
Створіть прогноз - як буде змінюватись з часом кількість хворих різними штамами, якщо вважати, що в початковий момент є тільки 1 тис. хворих штамом a? За скільки тижнів сумарна кількість хворих всіма трьома штамами буде подвоюватись через великий проміжок часу після початку епідемії, якщо не вживати жодних заходів?
Розподіл захисних препаратів серед населення знижує середню кількість осіб, яких заражає один хворий на тиждень. Чи можливо використовуючи лише препарат фірми Micer досягти того, щоб за будь-якого початкового розподілу хворих по штамах, їх загальна кількість з часом знижувалась до нуля? На скільки треба для цього знизити заразність (кількість осіб що заражає один хворий за тиджень) у представників груп b та c?
У специфікації препарату Micer вказано, що набір вартістю 10 тис. $ при використанні у групі з 1 тис. осіб зменшує заразність штамів b та c на 0.1 (отже при використанні, наприклад, 3х таких наборів кожен заражений штамами b чи c буде в середньому за тиждень заражати не по 2 особи, а по 1.7). Набір такої самої еффективності, але лише для штаму a від компанії Beta-Nova коштує 3 тис. $. Визначте, скільки препаратів і яких типів треба купити на тисячу населення, аби мати можливість подолати епідемію, витративши якнайменше грошей. (*) Складіть відповідну таблицю для інших цінових пропозицій, на випадок важливих перемовин.
Наполеон в Єгипті
Після того, як імператор Франції Наполеон завоював Єгипет, він рухався із своєю армією по Синайському півострову, і натрапив на цікавий рельєф місцевості. Його армія знаходилася на пагорбі висотою h метрів, а біля них на відстані Lh знаходився інший пагорб такої самої висоти (рис. 1). Між цими двома пагорбами знаходилися розігріті піски пустелі Сахари, тому повітря було більш теплим біля поверхні, ніж на висоті пагорбу. Через це Наполеон разом зі своїми офіцерами спостерігали нижній міраж, тобто промінь світла, який мав падати під кутом α з сусіднього пагорбу на поверхню пустелі, під час заломлення в атмосфері Землі потрапляв в очі імператора та його солдат.
Рис. 1. Траекторія світла між двома пагорбами у повітрі, що розігрітий пісками пустелі Сахари.
Припустимо, що через градієнт температури залежність коефіцієнту заломлення повітря від висоти має вигляд
де n0 є коефіцієнтом не розігрітого повітря (наприклад, з відкритих джерел відомо, що n0 приблизно рівне 1.003), а H є характерною висотою, на якій температура значно спадає. Спробуйте підібрати такі параметри системи, щоб справджувалася вищеописана ситуація, тобто світло, заломлюючись в атмосфері Землі, змогло потрапити з одного пагорбу на інший, пройшовши повз землі. Підбирайте такі параметри, щоб вони були дійсно прийнятними для нашої планети (висота обох пагорбів не більше 8000 метрів, відстань між пагорбами має бути такою, щоб Наполеон і його військо дійсно його могли побачити, тобто інший пагорб не був за горизонтом Землі, а коефіцієнт заломлення нерозігрітого повітря має бути трохи більшим одиниці). Якщо подібних параметрів не вдається підібрати, то поясніть, чому це не вдається.
Для знайдених параметрів системи спробуйте так змінити відношення H/h та початковий кут променя світла α, щоб умова задачі не була порушена. Знайдіть залежність відстані між двома пагорбами Lh від кута α та відношення H/h. Визначіть для різних значень співвідношення H/h критичну величину кута α, менше якого світло буде падати на поверхню пустелі замість заломлення до сусіднього пагорбу.
Спробуйте виконати перший та другий підпункт цієї задачі, але вже для іншої залежності коефіцієнту заломлення від висоти, наприклад
чи
Чи вдалося у даному випадку виконати умови задачі? Чи отримані результати відрізняються від попередніх, знайдених у першому та другому пункті? Дане завдання буде оцінюватися додатковими балами.
Примітка. Для знаходження наближеної траекторії світла за допомогою комп'ютера зручно поділити атмосферу Землі на послідовність прошарків малої висоти (рис. 2), що матимуть різний коефіцієнт заломлення, а для них можна використати закон Снеліуса, щоб визначити траєкторію.
Рис. 2. Траекторія світла в матеріалі, що має декілька прошарків з різним коефіцієнтом заломлення.
Котигорошко
... жив собі колись Котигорошко. Копав він якось криницю та й знайшов велику булаву. Зважив, жбурнув угору та й пішов орати поле. Працював 7 діб без перерви, та й приліг поспати. Прокидається, а булава вже прилетіла та й устромилася в землю поруч. <<Добра зброя, з такою можна люд захищати!>> "---~зрадів Котигорошко, та й пішов з нею братів та сестру зі Змієвого полону визволяти ...
***
За сучасним аналізом даних з місця битви між Змієм та Котигорошком, зброя останнього була класифікована як каплевидний уламок метеориту на основі молібдену та танталу. Його форма та тугоплавкість є основними факторами, які дозволяють знехтувати впливом атмосфери. Але завдяки набутій під час руху високій температурі вона повинна була яскраво світитися, що потенційно могло знайти відбиток у давніх хроніках. Щоб відрізнити проліт булави від комети Галлея, необхідно оцінити час її світіння, для чого матеріалознавцям необхідні балістичні дані, такі як швидкість булави та траекторія її руху.
Обчисліть параметри траекторії булави вважаючи втрати на опір повітря несуттєвими відповідно до початкових оцінок матеріалознавців. Врахуйте обертання Землі та те, що, згідно з хроніками, Котигорошко після неперервної роботи протягом N днів мав звичку спати не менше N діб поспіль. Яким міг би бути мінімальний час сну Котигорошка, щоб така подія могла статись?
Астрологи кажуть, що у момент підкидання булави, Місяць знаходився у тому ж положенні відносно Землі, що й 3 квітня 2020 року, а сама булава викреслила на небосхилі дубину Геракла, з якою він вполював Немейського льва у масштабі 5000:1. Чи праві звіздарі та яка насправді була траекторія булави з урахуванням Місяця та без нього?
(*) Оцініть вплив орбітального руху Землі.
(*) Як виглядала проекція траекторії булави з координат сучасних Афін, Делі та Пекіну?
Хроніки не зберегли точне місце проживання Котигорошка з родичами до походу на Змія, тому в якості початкового наближення керівник наукової групи пропонує взяти за положення старту Північний полюс і після отримання траекторії булави оцінити зміну її початкової швидкості при зміщенні точки запуску у напрямку географічного центру Європи.
Руйнівна злива
Мурашина королева перехвилювалась через розмови про погіршення екології і серйозно взялась готуватись до техногенних катостроф. Серед іншого, її сильно занепокоїла проблема захищенності мурашника від кислотних злив. Аби всебічно дослідити проблему, вона замовила вам дослідження ерозії грунта під дією кислотних крапель. Було вирішено розглядати наступну модель.
Кожна клітинка квадратного поля зі стороною L характеризується рівнем грунту, початковий рівень скрізь дорівнює нулю. На випадкові клітинки по одній падаюсь краплі. Коли крапля знаходиться на клітині, вона може із рівною ймовірність розчинити її, збільшивши глибину на 1 і зникнувши, або пересунутись на одну з восьми сусідніх клітинок, що має більшу або рівну глибину ніж вона, та не знаходиться за межами поля. Наприклад якщо крапля знаходиться на клітинці що має 3 сусідні клітинки дозволені для переходу, то з імовірністю 1/4 вона може пересунутись на одну з них, або <<розчинити>> поточну клітинку і зникнути. Коли поточна крапля зникає, падає наступна крапля і т.д.
Ямами називаються такі клітини, до яких не торкаються клітини більш низького рівня. Знайдіть залежність кількості ям від кількості крапель N що впали. Які вона має особливості? Як залежить структура цього графіку від розмірів поля L? А якщо використовувати густину ρ = N/L2 замість кількості крапель як природній масштаб для горизотнальної осі?
Побудуйте графіки залежності кількості клітинок глибини менше ніж n від n, після падіння 10, 100, 1000, 10000... крапель для різних розмірів поля. Що можна сказати про ці графіки, коли поле та кількість крапель, що впали, достатньо великі? Спробуйте слідкувати за густиною.
Створіть зручну візуалізацію розподілів рівню землі по полю. Чи можна щось сказати про розподіл ям на полі, їх форму? Опишіть та візуалізуйте процес формування ям.
(*) Спробуйте змінити імовірність для краплі посунутись відносно імовірності всмоктатись, зберігши рівноімовірність напрямків. Яким чином зміняться графіки?