東京確率論セミナー (TPS)

2024年2月5日（月）

講師：Sunder Sethuraman 氏

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）１２６号室 (17:00~18:30)

題目 : Atypical behaviors of a tagged particle in asymmetric simple exclusion

概要: Informally, the one dimensional asymmetric simple exclusion process follows a collection of continuous time random walks on Z interacting as follows:  When a clock rings, the particle jumps to the nearest right or left with probabilities p or q=1-p, if that location is unoccupied.  If occupied, the jump is suppressed and clocks start again.

In this system, seen as a toy model of `traffic', the motion of a distinguished or `tagged' particle is of interest.  Starting from a stationary state, we study the `typical' behavior of a tagged particle, conditioned to deviate to an `atypical' position at time Nt, for a t>0 fixed. In the course of results, an `upper tail' large deviation principle, in scale N, is established for the position of the tagged particle.  Also, with respect to `lower tail' events, in the totally asymmetric version, a connection is made with a `nonentropy' solution of the associated hydrodynamic Burgers equation. This is work with S.R.S. Varadhan (arXiv:2311.0780).

2024年1月22日（月）

講師：星野壮登 氏

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）１２６号室 (17:00~18:30)

題目 : Random models on regularity-integrability structures

概要：In the study of singular SPDEs, it has been a challenging

problem to obtain a simple proof of a general probabilistic convergence result (BPHZ theorem). Differently from Chandra and Hairer's Feynman diagram approach, Linares, Otto, Tempelmayr, and Tsatsoulis recently proposed an inductive proof based on the spectral gap inequality by using their multiindex language. Inspired by their approach, Hairer and Steele also obtained an inductive proof by using the regularity structure language. In this talk, we introduce an extension of the regularity structure including integrability exponents and provide a simpler proof of BPHZ theorem. This talk is based on a joint work with Ismaël Bailleul (Université de Bretagne Occidentale).

2024年1月15日（月）

講師：Mo Dick Wong氏 (17:00~18:30)

場所：Room 126 of the Graduate School of Mathematical Sciences Building

題目 : Weyl's law for Liouville quantum gravity 

概要：The Liouville quantum gravity (LQG) surface, formally defined as a 2-dimensional Riemannian manifold with conformal factor being the exponentiation of a Gaussian free field, is closely related to random planar geometry as well as scaling limits of models from statistical mechanics. In this talk, I shall explain the Weyl's law for the eigenvalues associated to the formal Laplace-Beltrami operator, and discuss a few conjectures on the spectral geometry of LQG. This is a joint work with Nathanaël Berestycki.

2023年11月27日（月）

講師：Stefan Junk氏 

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）１２６号室 (17:00~18:30)

題目 : Local limit theorem for directed polymer in (almost) the whole 

weak disorder regime

概要：We consider the directed polymer model in the weak disorder 

(high temperature) phase in spatial dimension d>2. In the case where the 

(normalized) partition function is L^2-bounded it is known for that time 

polymer measure satisfies a local limit theorem, i.e., that the 

point-to-point partition function can be approximated by two 

point-to-plane partition functions at the start- and endpoint. We show 

that this result continues to hold true if the partition function is 

L^p-bounded for some p>1+2/d. We furthermore show that for environments 

with finite support the required L^p -boundedness holds in the whole weak disorder phase, except possibly for the critical value itself.

2023年11月20日（月）

講師：木上淳氏

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）１２６号室　

題目 : Yet another construction of “Sobolev” spaces on metric spaces 

概要：距離空間上への”ソボレフ空間”の構成については、「Lipschitz連続な関数の局所Lipschitz定数を微分の代替物としてもちいる。」という発想のもと、Hajlasz, Cheeger, Shanmugalingam らによる Newtonian 空間などの理論が研究の主流となっている。ところが、最近のKajino-Muruganの研究により、Sierpinski Carpet などの多くの自己相似集合では、この方法が通用しないことがわかってきた。本講演では、Sierpinski carpet 等を含むコンパクトな自己相似集合上に””ソボレフ””空間を構成するための新しい方法について述べる。 

2023年10月30日（月）(トリプルヘッダー )

場所: 東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）１２６号室

講師：Chenlin Gu氏

時間：16:00–16:50

題目 : Quantitative homogenization of interacting particle systems 

概要： This talk presents that, for a class of interacting particle systems in continuous space, the finite-volume approximations of the bulk diffusion matrix converge at an algebraic rate. The models we consider are reversible with respect to the Poisson measures with constant density, and are of non-gradient type. This approach is inspired by recent progress in the quantitative homogenization of elliptic equations. Along the way, a modified Caccioppoli inequality and a multiscale Poincare inequality are developed, which are of independent interest. The talk is based on a joint work with Arianna Giunti and Jean-Christophe Mourrat.

講師：Lorenzo Dello-Schiavio氏

時間：17:00–17:50

題目 : Wasserstein geometry and Ricci curvature bounds for Poisson spaces

概要：  Let Υ be the configuration space over a complete and separable metric base space, endowed with the Poisson measure π. We study the geometry of Υ from the point of view of optimal transport and Ricci-lower bounds. To do so, we define a formal Riemannian structure on P_1(Y), the space of probability measures over Υ with finite first moment, and we construct an extended distance W on P_1(Y). The distance W corresponds, in our setting, to the Benamou–Brenier variational formulation of the Wasserstein distance. Our main technical tool is a non-local continuity equation defined via the difference operator on the Poisson space. We show that the closure of the domain of the relative entropy is a complete geodesic space, when endowed with W. We establish non-local infinite-dimensional analogues of results regarding the geometry of the Wasserstein space over a metric measure space with synthetic Ricci curvature bounded below. In particular, we obtain that: (a) the Ornstein–Uhlenbeck semi-group is the gradient flow of the relative entropy; (b) the Poisson space has Ricci curvature bounded below by 1 in the entropic sense; (c) the distance W satisfies an HWI inequality.

Base on joint work arXiv:2303.00398 with Ronan Herry (Rennes 1) and Kohei Suzuki (Durham)

講師：鈴木康平氏

時間：18:00–18:50

題目 : Curvature Bound of the Dyson Brownian Motion

概要： The Dyson Brownian Motion (DBM) is an eigenvalue process of a particular Hermitian matrix-valued Brownian motion introduced by Freeman Dyson in 1962, which has been one of the central subjects in the random matrix theory. In this talk, we study the DBM from a geometric perspective. We show that the infinite particle DBM possesses a lower bound of the Ricci curvature à la Bakry-Émery. As a consequence, we obtain various quantitative estimates of the transition probability of the DBM (e.g., the local spectral gap, the local log-Sobolev, and the dimension-free Harnack inequalities) as well as the characterisation of the DBM as the gradient flow of the Boltzmann entropy in a particular Wasserstein-type space, the latter of which provides a new viewpoint of the Dyson Brownian motion. 

2023年10月16日（月）

講師：濱名 裕治 氏 

場所：慶應義塾大学日吉キャンパス独立館 D205 教室 

題目 : ブラウン運動の球面への到達時刻と到達位置について 

概要：ブラン運動の球面への到達時刻については，ベッセル過程の 到達時刻の研究から確率分布が得られている． 到達時刻とその時のブラウン運動の位置の同時分布については， 出発点が球の内側にある場合と外側にある場合が個別に研究されているが， 定数ドリフトをもつブラウン運動の到達時刻の結果を用いることで 統一的に取り扱いができることを述べる． さらに，Ornstein-Uhlenbeck 過程の到達時刻とそのときの位置に ついても同時分布が得られることを示す．これらの結果は， 松本裕行氏との共同研究により得られたものである．

 2023年10月2日（月）

講師：井関裕靖氏

場所：慶應義塾大学日吉キャンパス独立館 D205 教室

題目 : 可算群上のランダムウォークと調和写像

概要：非正曲率距離空間 Y にランダム・ウォークが与えられた可算群 G が等長的に作用するとき、G 作用の軌道にそのランダム・ウォークを移植することができる。この移植されたランダム・ウォークの挙動は、G の作用に関する重要な情報を含んでいる。最近、G が Y の無限遠境界に固定点をもたず、移植された ランダム・ウォークの rate of escape (drift) が 0 であるとき、Y の中にG の作用で不変な平坦部分空間が存在することを示すことができた。証明には、G から Y への同変調和写像を用いる。また、この結果の帰結として、G が Yの無限遠境界に固定点をもたないとき、 (i) G の Poisson 境界から Y の無限遠境界への同変写像が存在する、あるいは (ii) Y の中に G の作用で不変な平坦部分空間が存在する、のいずれかが成立することがしたがう。(i) により存在が保証される同変境界 写像は、可算群の剛性理論において極めて有用な道具であり、Margulis超剛性をはじめとする、いくつかの興味深い結果を導くのに用いられてきた。今後、そのような応用があることを期待している。

2023年9月25日（月）

講師：Jimmy He氏

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）126 号室

題目 : Boundary current fluctuations for the half space ASEP

概要：The half space asymmetric simple exclusion process (ASEP) is an interacting particle system on the half line, with particles allowed to enter/exit at the boundary. I will discuss recent work on understanding fluctuations for the number of particles in the half space ASEP started with no particles, which exhibits the Baik-Rains phase transition between GSE, GOE, and Gaussian fluctuations as the boundary rates vary. As part of the proof, we find new distributional identities relating this system to two other models, the half space Hall-Littlewood process, and the free boundary Schur process, which allows exact formulas to be computed.

2023年8月7日（月） 

講師：Freddy Delbaen氏 (professor emeritus at ETH Zurich)

場所：東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）123号

日時：17:00～18:30 

題目 : Approximation of Random Variables by Elements that are independent of a given sigma algebra

概要: Given a square integrable m-dimensional random variable $X$ on a probability space $(\Omega,\Fc,\Pr)$ and a sub sigma algebra $\Ac$, we show that there exists another m-dimensional random variable $Y$, independent of $\Ac$ and minimising the $L^2$ distance to $X$.  Such results have an importance to fairness and bias reduction in Artificial Intelligence, Machine Learning and Network Theory. The proof needs elements from transportation theory, a parametric version due to Dudley and Blackwell of the Skorohod theorem, selection theorems, … The problem also triggers other approximation problems. (joint work with C. Majumdar)

2023年7月10日（月）

講師：松井千尋氏 (東京大学)

場所： 東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）126号室　

題目 : 孤立量子系の熱化と緩和

概要：近年，孤立量子系の熱化は統計力学分野において最も興味深い研究対象の一つであり，ミクロな観点からの熱化メカニズム解明に関する研究は目覚ましい進展を遂げている．現在，熱化のメカニズムとして最も有力なものは「固有状態熱化仮説」とよばれる仮説で，その主張は全てのエネルギー固有状態がマクロには熱平衡状態と区別できないというものである．

ほとんどの一般的な孤立量子系で反例が見つかっていない一方，多くの保存量をもつ可積分系では上記の仮説が成立しないことが知られている．

本講演では，可積分系の代表例であるXXZスピン鎖の緩和先について議論する．併せて，研究の動機の説明に必要な量子力学と統計力学の知識も簡単に説明する．

参考文献：

J. Phys. A: Math. Theor. 53 134001 (2020)

2023年6月26日（月）

講師：簗島 瞬氏（東京都立大学）

場所： 東京大学大学院数理科学研究科　数理科学研究科棟（駒場）126号室　

題目 : δ次元Bessel引越過程の構成方法，サンプルパス生成方法，および汎関数期待値の数値計算法について 

概要：本講演では,時刻 1 で初めて所定の値に到達する δ 次元 Bessel 過程 (以下, δ 次元 Bessel 引越過程とよぶ) の弱収束による構成方法,サンプルパス生成方法,および汎関数期待値の数値計算法を紹介する. 近年,バリア・オプションの高次 Greeks 計算において,3 次元 Bessel 引越過程が重要な役割を果たすことが示唆された.δ 次元 Bessel 引越過程は, Williams の分解の一部分としても現れるため,これまでもその存在は知られていた.しかしながら,この確率過程をバリア・オプションの高次 Greeks 計算で応用するためには,この確率過程の従来の数学的表現方法だけでは不十分であり,数値計算の観点でより使いやすい別の表現方法が必要となる.本講演ではそれらの別表現と,その別表現を利用した数値計算法を紹介する.本講演ではまず,δ 次元 Bessel 引越過程が,到達点を超えないよう条件付けられた δ 次元 Bessel 橋の弱収束極限として得られることを説明する.次に,この弱収束の結果と逆関数法を組み合わせることで,3 次元 Bessel 引越過程のサンプルパス生成が可能となることを実証する.更に,この弱収束の結果を用いることで,δ 次元 Bessel 過程と δ 次元 Bessel 引越過程の絶対連続性に関する結果が得られ,対応するラドン・ニコディム微分を用いることで,δ 次元 Bessel 引越過程の汎関数期待値を高速に計算可能となることを説明し,その実証結果を紹介する.本講演は,石谷謙介氏,林徳福氏との共同研究に基づく.

2023年6月19日（月）

講師： 濱口 雄史 氏 (大阪大学)

講演形式：対面 (慶應義塾大学日吉キャンパス 独立館 D310教室)

題目 : Markovian lifting and asymptotic log-Harnack inequality for stochastic Volterra integral equations

概要：確率Volterra積分方程式(SVIE)の解は非マルコフ・非セミマルチンゲールであることから、通常の伊藤解析は直接は適用できない。本講演では、SVIEの「無限次元マルコフ過程への持ち上げ(リフト)」の新たな枠組みを導入し、ある種の確率偏微分方程式との同値性、および対応するマルコフ半群の性質について論じる。特に、SVIEのリフトに関する漸近的対数Harnack不等式 (asymptotic log-Harnack inequality)と、そこから導かれるマルコフ半群の漸近的性質について得られた結果を紹介する。

2023年6月12日（月）

講師： 中島誠氏 (名古屋大学)

講演形式：対面 (慶應義塾大学日吉キャンパス 独立館 D310教室)

題目 : 1点相互作用をもつシュレディンガー作用素に対応するFeynman-Kacの公式

概要：形式的に$L^2(\mathbb{R}^3)$におけるシュレディンガー作用素$H=-\Delta+\lambda\delta_0$を考える.このような作用素は量子力学の分野で古くから考えられており, 例えばBethe-PeierlsやThomasらが1935年に考察している.　数学的に厳密な$H$の意味づけはBerezin-Fadeev(1961)らによる$-\Delta|_{C_0^\infty(\mathbb{R^3}-\{0\})}$の自己共役拡大などがある. この自己共役拡大は$\{\Delta_\alpha\}_{\alpha\in \mathbb{R}}$とパラメータづけされる. またFriedman（1972）によって短距離相関をもつシュレディンガー作用素から極限としての意味づけもなされた. 本講演では熱方程式$\partial_t u=\frac{1}{2}\Delta_\alpha u$の解に対するFeynman-Kacを与える方法について説明する.

2023年6月5日（月）

講師：福山克司氏　（神戸大学）

講演形式：対面

題目 : 大きな公比を持つ等比数列の差異量の重複対数の法則について

概要：１より大きい公比を持つ等比数列の小数部分は、ほとんどすべての初期値に対して一様分布することが知られている。その経験分布函数と一様分布の分布函数の差をsup ノルムで図ったものが差異量（discrepancy) である。ほとんどすべての初期値に対して差異量は0に収束するが、さらに重複大数の法則に従う。ここで上極限として現れる定数は公比の代数的性質を反映した量になっており、公比が有理数の冪根でない場合は定数は1/2 となり一様分布独立確率変数の差異量と同じ挙動となる。また、公比が有理数の冪根である場合はそれが何乗根であるかにかかわらず定数は有理数にのみ依存して定まる。この有理数の分子分母がともに奇数の場合には定数は容易に求まるが、偶数を含む場合は状況が複雑である。以前、定数を記述する公式を与え大きい有理数に対してこれを証明し、また小さい有理数で公式が成立しない例を複数与えた。この公式の成立の閾値に関してかなり精密な結果が得られたのでそれについて報告する。

2023年5月22日（月）

講師：中川卓也氏  (立命館大学)

講演形式：対面 (慶應義塾大学日吉キャンパス 独立館 D310教室)

題目 : Existence of density functions for the Running Maximum of SDEs by non-truncated Lévy processes

概要：We verify the existence of density functions of the running maximum of a stochastic differential equation (SDE) driven by a Brownian motion and a non-truncated stable process. This is proved by the existence of density functions of the running maximum of Wiener-Poisson functionals resulting from Bismut’s approach to Malliavin calculus for jump processes.

2023年5月15日（月）

講師：岡田いず海氏 (千葉大学)

講演形式：対面

題目 : Capacity of the range of random walk

概要： We study the capacity of the range of a simple random walk in three and higher dimensions. It is known that the order of the capacity of the random walk range in n dimensions is similar to that of the volume of the random walk range in n-2 dimensions. We show that this correspondence breaks down for the law of the iterated logarithm for the capacity of the random walk range in three dimensions. We also prove the law of the iterated logarithm in higher dimensions. This is joint work with Amir Dembo.

2023年5月8日（月）

講師：新井裕太氏 (千葉商科大学)

講演形式：対面

題目 : On the Chapman-Kolmogorov equation for LPP

概要: KPZ普遍クラスに属するいくつかのモデルにおいて，その推移確率等が複素積分形の関数で書き表せることが知られている．しかしながら，複素積分を用いた計算は複雑となることも多く，KPZ普遍クラスに属するモデルにとって重要な確率論的性質を証明するのが困難となっていた．近年，この問題を解決するものとして対称多項式等を用いた組合せ論的手法に注目が集まってきている．本講演では，最先端の組合せ論的アプローチを用いることで，KPZ普遍クラスの基礎的なモデルであるLast Passage Percolation（LPP）において， Chapman-Kolmogorov equationが容易に得られることを紹介する.

2023年4月23日（月）

講師：Charles Bordenave 氏　(Institut de Mathématiques de Marseille)

講演形式：対面

題目 : Mobility edge, the Poisson Infinite weighted tree of Aldous and Lévy Matrices.

概要: Anderson's 1958 paper on wave scattering in disordered media is still of central importance in contemporary mathematical physics. In this talk, we will present recent progress in understanding the phenomena of localization / delocalization of eigenwaves for some random operators. These operators are built on random trees introduced by Aldous and these are the scaling limits of heavy-tailed random matrices, the Lévy matrices. The focus will be put on the existence of a mobility edge, that is to say of かn abrupt transition between localization and delocalization of eigenwaves. It is a work in collaboration with Amol Aggarwal (Columbia) and Patrick Lopatto (NYU).

2023年4月17日（月）

講師：清水良輔氏 (早稲田大学)

講演形式：対面

題目 : Construction of Sobolev spaces and energies on the Sierpinski carpet

概要：Sierpinski carpetをはじめとした特異的構造を有する「フラクタル」の上では、勾配作用素そのものを定式化することが難しく、一階のSobolev空間W^{1, p}や対応するエネルギー汎関数であるp-エネルギーといった解析的対象物を構成すること自体が非自明な問題となる。実際に、1990年代後半から爆発的に進展した「距離空間上の解析学」の手法はフラクタルのような異常拡散を有する空間とは相性が悪く、この理論が提供するSobolev空間は自明なものとなってしまう。一方で、p = 2の場合はDirichlet形式理論を通じた確率論的解釈があるという意味で特殊であり、「Sierpinski carpet上のBrown運動/Dirichlet形式」の構成はBarlow-Bass (1989)、Kusuoka-Zhou(1992)という2つのアプローチでなされた。本講演ではKusuoka-Zhou(1992)の構成法に立ち返り、全てのp > 1に対するSierpinski carpet上の``canonical''なSobolev空間W^{1, p}とp-エネルギーの構成法に関する講演者の結果について説明する。また、W^{1, p}の正則性（Sobolevの埋め込み）と、Ahlfors正則等角次元と呼ばれる「擬対称不変な次元」との関連についても述べる。本講演の一部はMathav Murugan氏（University of British Columbia）との共同研究に基づく。