研究内容
私の研究テーマであるシューベルト・カルキュラスは，数え上げ幾何学と呼ばれる代数幾何学的なトピックスに端を発する研究分野である．線型代数群 G およびそのリー代数やその量子展開環の表現論と深く関連している分野である．数え上げ幾何学は19世紀から盛んに研究され，20世紀には超弦理論の文脈で新たに注目されるようになった．もっともわかりやすい例題として「４本の直線の問題」が知られている．現代的なシューベルト・カルキュラスの基本問題を一般的に述べると，グラスマン多様体に代表される等質空間である一般旗多様体 G/P について，シューベルト部分多様体に対応するコホモロジー環の類をシューベルト類を捉え，シューベルト類に関する積構造定数を決定することである．グラスマン多様体のシューベルト類は一般線型群の指標であるシューア多項式によって完全に記述されることが1950年代には知られている．このことから，シューベルト類の積構造定数はテンソル積表現論の既約分解と等価になり，いわゆるリトルウッド・リチャードソン規則によって与えられる．私は，この例のように，表現論の文脈で現れた重要な関数が幾何学においても自然な存在意義を持っていることに興味を持って，このテーマのさまざまな拡張をおこなってきた．
古典的なコホモロジー環だけではなく，連接層の圏のK 理論として構成される可換環（単に K 環と呼ぶ）においてもシューベルト・カルキュラスは展開できる．また，極大トーラスの作用に関する同変コホモロジーおよび同変 K 環を考えることもできる．さらに興味深い現代的な拡張は，量子コホモロジー環，および量子 K 環である．グラスマン多様体は一般線型群の等質空間であるが，シューベルト・カルキュラスの対象である一般旗多様体は線型代数群 G とその放物型部分群 P を与えることによって G/P と実現される．
私の研究の主なアプローチはシューベルト類と同一視することができる特殊多項式を見出して，シューベルト・カルキュラスに現れる環を明示的に実現することである．そのような意味でシューベルト類と同一視することができる特殊多項式を「シューベルト多項式」と呼ぶことにする．
これまでに得られた結果を大別すると，
シューベルト多項式の発見・導入
シューベルト多項式を用いて構造定数を決定すること
シューベルト多項式の組合せ論的な表示を求めること
シューベルト多項式の幾何学への応用
ピーターソン同型とその応用
最後のピーターソン同型については後で述べることにしてシューベルト多項式に関する研究成果をもう少し詳しく述べる．
シューベルト多項式の発見・導入
ラグランジアン・グラスマン多様体の同変コホモロジー
古典型旗多様体の同変コホモロジー
ラグランジアン・グラスマン多様体および直交型の極大等方グラスマン多様体の同変K 環
古典型グラスマン多様体の同変 K 理論
以上の4つは基本的な結果である．これらを背景として量子版についていくつかの結果がある
ラグランジアン・グラスマン多様体および直交型の極大グラスマン多様体の量子同変コホモロジー環
シューベルト多項式を用いて構造定数を決定すること
グラスマン多様体の K 環
直交型の極大等方グラスマン多様体の同変コホモロジー
直交型の極大等方グラスマン多様体の K 環
シューベルト多項式の組合せ論的な表示を求めること
シンプレクティック群の旗多様体に対する同変コホモロジー
直交型の極大等方グラスマン多様体の K 理論
古典型の旗多様体の同変 K 環
シューベルト多項式の幾何学的な応用
ラグランジアン・グラスマン多様体および直交型の極大グラスマン多様体のシューベルト多様体の特異点の重複度公式
シンプレクティック型および直交型グラスマン多様体のヴェクシラリー・シューベルト多様体の特異点の重複度公式
ピーターソン同型はアフィン・グラスマン多様体というとても良い性質を持つ無限次元の旗多様体に関するものである．アフィン・グラスマン多様体のホモロジー群は可換環の構造を持つという事実が著しい．基本的な結果は Peterson および Lam, Shimozono によって証明された．旗多様体の量子同変コホモロジー環とアフィン・グラスマン多様体の同変ホモロジー環は適当な局所化のもので同型になり，両者のシューベルト類の間にも簡明な関係があるというのがピーターソン同型である．私は，K 理論の場合に拡張されたピーターソン同型とその応用に関する研究をおこなっている．
ピーターソン同型に関する研究
A型で非同変K 理論においてピーターソン同型を発見した．
K 理論的ピーターソン同型におけるシューベルト多項式の詳細な研究
ピーターソン同型を背景とするラグランジアン・グラスマン多様体の量子コホモロジー環の研究
シンプレクティック群のアフィン・グラスマン多様体に対する同変コホモロジーの研究
Preprints
Relativistic Toda lattice and equivariant K-homology of the affine Grassmannian, T. Ikeda, S. Iwao, S. Naito, K. Yamaguchi (in preparation)
Equivariant K-homology of affine Grassmannian and K-theoretic double k-Schur functions, T. Ikeda, M. Shimozono, K. Yamaguchi, arXiv:2408.10956
Equivariant K-homology of the symplectic affine Grassmannian, T. Ikeda, S. Iwao, M. Shimozono, K. Yamaguchi (in preparation)
Equivariant Schubert Calculus of Affine Grassmannian of Symplectic Groups, M. Shimozono, T. Ikeda, Y. Nakayama (in preparation)
Quantum K-theory of Lagrangian Grassmannians via parabolic Peterson Isomorphism, T. Ikeda, T. Kouno, Y. Nakayama, K. Yamaguchi (in preparation)
Pieri rule for K-theoretic P-functions, T. Ikeda, M. Nakasuji, S. Cho, T. Matsumura (in preparation)
Quantum K-theory of Grassmannians and Double Grothendieck Polynomials, T. Ikeda, Y. Nakayama, T. Matsumura, D. Hiep (in preparation)
Publications
Closed k-Schur Katalan functions as K-homology Schubert representatives of the affine Grassmannian (with S. Naito, S. Iwao) Trans. Amer. Math. Soc. Ser. B 11 (2024), 667-702
The multiplicity of a singularity in a vexillary Schubert variety (with D. Anderson, M. Jeon, R. Kawago) Advances in Mathematics, Volume 435, Part A, 15 December 2023, 109366, DOI:10.1016/j.aim.2023.109366
Peterson Isomorphism in K-theory and Relativistic Toda Lattice (with S. Iwao, T. Maeno) Int. Math. Res. Notices, Volume 2020, Issue 19, October 2020, Pages 6421–6462
Degeneracy Loci Classes in K-theory - Determinantal and Pfaffian Formula - (with T. Hudson, T. Matsumura, H. Naruse), Degeneracy loci classes in K-theory—determinantal and Pfaffian formula. Adv. Math. 320 (2017), 115–156.
Lectures on equivariant Schubert polynomials, Schubert calculus—Osaka 2012, 97–137, Adv. Stud. Pure Math., 71, Math. Soc. Japan, [Tokyo], 2016.
Factorial P- and Q-Schur functions represent equivariant quantum Schubert classes (with L. Mihalcea, H. Naruse) Osaka J. Math. 53 (2016), no. 3, 591–619.
Equivariant Giambelli formula for the symplectic Grassmannians—Pfaffian sum formula (with T. Matsumura), Proceedings of FPSAC 2015, 309–320, Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, 2015.
Pfaffian sum formula for the symplectic Grassmannians (with T. Matsumura), Math. Z. 280 (2015), no. 1-2, 269–306.
A proof of K-theoretic Littlewood-Richardson rules by Bender-Knuth-type involutions (with T. Shimazaki), Math. Res. Lett. 21 (2014), no. 2, 333–339.
K-theoretic analogues of factorial P- and Q-functions (with H. Naruse), Adv. Math. 243 (2013) 22-66.
Bumping algorithm for set-valued shifted tableaux (with Y. Numata, H. Naruse), DMTCS Proceeding volume for fpsac 2011, 527-538.
Double Schubert polynomials for the classical groups (with L. Mihalcea, H. Naruse), Adv. Math. 226 (2011) 840-886.
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus (with H. Naruse), Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 5193-5221.
Double Schubert polynomials of classical type and Excited Young diagrams (with H. Naruse), RIMS Kokyuroku Bessatsu, B11 (2009), 87-100.
Double Schubert polynomials for the classical Lie groups (with L. Mihalcea, H. Naruse), DMTCS Proceedings, AJ, 2008, 665-676, 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2008).
Mixed expansion formula for the rectangular Schur functions and the affine Lie algebra $A_1^{(1)}$ (with H. Mizukawa, T. Nakajima, H.-F. Yamada), Adv. Appl. Math. 40 (2008) 514-535.
Schubert classes in the equivariant cohomology of the Lagrangian Grassmannian, Adv. Math. 215 (2007) 1-23.
Hierarchy of $(2+1)$-dimensional nonlinear Schroedinger equation, self dual Yang-Mills equation, and toroidal Lie algebras (with S. Kakei, K. Takasaki), Ann. Henri Poincare 3, no. 5 (2005) 817-845.
Similarity reduction of the modified Yajima-Oikawa equation (with T. Kikuchi and S. Kakei), J. Phys. A 36, no. 23 (2003), 11465-11480.
Polynomial $tau$-functions of the NLS-Toda hierarchy and the Virasoro sibgular vectors (with H.-F. Yamada) ,Lett. Math. Phys. 60, no. 2 (2002) 147-156.
Toroidal Lie algebras and Bogoyavlensky's $(2+1)$-dimensional equation (with K. Takasaki), Internat. Math. Res. Notices 2001, 329-369.
Commuting difference operators arising from the elliptic $C_2^{(1)}$-face model (with K. Hasegawa, T. Kikuchi), J. Math. Phys. 40, no. 9, (1999) 4549-4568.
Coset constructions of conformal blocks, Internat. J. Mod. Phys. B 11, no. 19 (1997), 2311-2332.
研究指導方針
（学部生）
学部生のゼミでは私の「テンソル代数と表現論」を用いて線型代数や群論の復習と表現論への入門を行うというのが第一の案です．シューベルト・カルキュラスに興味を持ってくれた場合でも，線型代数学や代数学を用いた基本的な議論を身につけてほしいということと，対称群と一般線型群の表現論という「良い数学」の典型例に触れてほしいので，この本の内容から勉強を始めることを勧めます．また，後半の表現論の議論の中で，シューベルト・カルキュラスの研究で必要な対称関数やルート系の理論にふれることができるというのが隠れた意図です．学部生でも，希望があれば「数え上げ幾何学講義」を読み始めることは可能です．
2023年2月現在，「テンソル代数と表現論」の主なところを読んでしまったという学生さんには神保道夫著「量子群とヤン・バクスター方程式」をゼミにテキストに選びました．その先のテキストとしては Lie algebra の表現に関するものや線型代数群の基礎，量子展開環のさらに進んだ教科書などが考えられます．
（修士課程）
これまでには，シューベルト・カルキュラスに関連する問題を提案してきました．希望があれば，量子展開環の表現論の研究指導もできます．
現在所属している学生2名は「テンソル代数と表現論」を読んだ後に Humphreys の Reflaction Groups and Coxeter Groups の最初の方を用いてルート系とワイル群の基礎を学んでもらいました．その後，Bjorner-Brenti の Combinatorics of Coxeter Groups を用いてアフィン・ワイル群の基礎を勉強しています．修士論文のテーマとしてはアフィングラスマン多様体のシューベルト・カルキュラスに関連する群論的・組合せ論的な問題を提案中です（2023年2月）．
（博士課程）
現在，博士課程の方々は K 理論的なシューベルト・カルキュラスに関する諸問題をテーマに研究をおこなっています．
（ポスドク）
現在所属している学振 PD の河野隆史さんは量子展開環の表現論の専門家ですが，私とは，K 理論的なピーターソン同型の応用に関する研究をおこなっています．私のこれまでの研究内容に興味を持つ方をポスドクとして積極的に受け入れたいと考えています．
共同研究者
内藤聡（東工大）
岩尾慎介（慶応大）
成瀬弘
長谷川浩司（東北大）
菊地哲也（神奈川工科大学）
Leonardo Mihalcea（Virginia Tech University）
Mark Shimozono（Virginia Tech University）
Soojin Cho（Ajou University）
中筋麻貴（上智大学）
Dave Anderson（Ohio State University）
松村朝雄（国際基督教大学）
Minyoung Jeon（Ohio State University）
沼田泰英（北海道大学）
前野俊明（名城大学）
高崎金久（大阪公立大学）
Thomas Hudson（Daegu Gyeongbuk Institute of Science and Technology）
筧三郎（立教大学）
山田裕史
中島達洋（明海大学）
水川裕司（防衛大学校）
山口航平（名古屋大学）
日本語で書いた記事
シンプレクティック群のアフィン・グラスマン多様体のトーラス同変シューベルト類，2023年 数理解析研究所 講究録
アフィン・グラスマン多様体の同変シューベルト・カルキュラス，2023年度 代数学シンポジウム報告集
Equivariant K-homology of affine Grassmannian, ALTReT2024 講演集