Embedded Files
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
Орнаментные модели многогранников можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
Самые первые изображения правильных многогранников относятся к 2000 году до нашей эры (Шотландия).
Бронзовые изображения правильных многогранников Германия ІІ-ІV до н.э.
Почему математики Античности начали интересоваться новыми геометричными формами?
По мере того как цивилизации древнего Вавилона и Египта постепенно угасали, Античная Греция начиная с VI в. до н. э. находилась на пике культурного и научного развития. Философия, поэзия, скульптура, архитектура, театр, медицина и даже история – все эти дисциплины начинают расцветать в этот период. Даже сегодня удивительные достижения той эпохи потрясают своим величием и таинством. И в этом интеллектуальном подъеме одно из важнейших мест занимает математика.
Начиная с VII века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получить новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.
Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.
Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга.
Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.
Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Слева направо: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
По сей день в математике используются исторические названия многогранников в соответствии с количеством их граней – слова с греческим суффиксом «-эдр».
Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ — идеалист Платон. Он был основателем школы, названной «Академией» по имени местности вблизи Афин, где он постоянно встречался со своими учениками.
Платон на фреске Рафаэля Санти «Афинская школа»
Рафаэль Санти. Афинская школа. 1509-1511 гг.
Фреска Станца делла Сеньятура, кабинет Папы римского
С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.
Платон также считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; гексаэдр - самая устойчивая из фигур -землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Почему правильные многогранники получили такие имена?
Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" — двадцать.
Дальнейшее развитие многогранников связано с Евклидом. Основным его произведением является "Начала". Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и возведя его воедино.
Ватиканский манускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47
Статуя в честь Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.
Вслед за Евклидом изучением правильных многогранников занимался Архимед. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Вышли так называемые равноугольные полуправильные многогранники.
«Архимед», Доменико Фетти, 1620 г.
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников обнаружили скульпторы, архитекторы, художники.
Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих холстах.
Репродукции иллюстраций Леонардо да Винчи для книги Луки Пачоли «О божественной пропорции»
Предполагаемый автопортрет Леонардо да Винчи
Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571–1630), написавшему этюд «О снежинке», в котором выразил следующее замечание: «Среди правильных тел прежде всего, начало и отец других – куб, а его, если позволено так бы сказать, жена – октаэдр, потому что у октаэдра столько углов, насколько у куба граней». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати архимедовских тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне.
Портрет Кеплера в 1620 г., автор неизвестен
Иоганн Кеплер предположил, что существует связь между 5 правильными многогранниками и 6 открытыми к тому времени планетами солнечной системы.
Согласно этому предположению в сферу орбиты Сатурн можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марс. В сферу орбиты Марс вписывается додекеэдр, в который вписывается сфера орбиты Земля, а она описана коло икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры, сфера этой планеты описана около октаэдра, который вписывается сфера Меркурия.
«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти платоновых тел.
Другим выдающимся вкладом Кеплера в геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Всего их четыре.
Два других нашел французский математик Луи Пуансон в 1809 г. большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр, они называются также телами Кеплера-Пуансо.
Известный английский писатель, математик, логик, философ Льюис Кэрролл — автор «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» так написал о значении многогранников: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот довольно скромный по численности отряд сумел проникнуть в самые глубины разных наук».
Памятник правильным многогранникам в городе Bagno Steinfurt (Германия)
Page updated
Google Sites
Report abuse