Seminário de Teoria dos Números

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Primeiras Notas: Outubro 02 (2025), Sala 3109, 16:15h - Gabriel Ramos (UFMG)

Título: A Equação Funcional da Função Zeta de Riemann

Resumo: A função zeta de Riemann ocupa um papel central na Teoria Analítica dos Números e está profundamente conectada à distribuição dos números primos. Um dos resultados fundamentais ligados a essa função é a sua equação funcional, que estabelece uma simetria em torno da reta crítica e serve como ponto de partida para diversos avanços na teoria, incluindo a formulação da famosa Hipótese de Riemann. Neste seminário, apresentaremos a demonstração detalhada da equação funcional.

Primeiras Notas: Setembro 25 (2025), Sala 3109, 16:15h - Maria Eduarda (UFMG)

Título: A Fórmula Clássica de Perron, suas conexões com a Análise de Fourier e um Teorema de Convergência

Resumo: Nesta palestra veremos a fórmula de Perron em sua forma clássica e exploraremos a relação desta com as transformadas de Melin e de Fourier, transportando um importante resultado de Análise Harmônica, obtido por Plancherel em 1910, para o contexto da Teoria Analítica dos Números. Além disso, exibiremos um critério útil para o estudo da convergência das séries de Dirichlet.

Primeiras Notas: Setembro 08 (2025), Sala 3109, 08:30h - Alexandre Dieguez (UFMG)

Título: Mecanismos e Aplicações da Fórmula de Perron

Resumo: A Fórmula de Perron fornece um mecanismo central para inverter a transformada de Mellin, permitindo expressar somas parciais de funções aritméticas $A(x) = \sum_{n \leq x} a(n)$ como uma integral complexa sobre a série de Dirichlet geradora $D(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a(n)n^{-s}$. Neste seminário, derivaremos a forma geral da fórmula, \[

\sum_{n\leq x} a(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i\infty}^{c + i\infty} D(s) \frac{x^s}{s}  ds,

\] para$c > \sigma_a$ (a abscissa de convergência absoluta), detalhando as condições de convergência e as sutilezas técnicas envolvidas, incluindo a versão para somas com peso $\sum_{n\leq x} a(n) (1 - n/x)$. Através de exemplos paradigmáticos, como a estimativa para a função divisor $d(n)$ e a conexão profunda com o Teorema dos Números Primos, demonstraremos como a fórmula, combinada com o teorema dos resíduos da Análise Complexa, permite extrair expressões assintóticas para $A(x)$ a partir das propriedades analíticas de $D(s)$, particularmente da localização de seus polos e zeros.

Cadenza: Setembro 01 (2025), Sala 3109, 08:30h - Marco Aymone (UFMG)

Título: Sobre a positividade de certas somas de uma função multiplicativa aleatória 

Resumo: Uma questão levantada por Turán no século passado perguntava sobre a constância do sinal das somas parciais de \lambda(n)/n, onde \lambda é a função de Liouville. Em caso afirmativo, isso teria como consequência a hipótese de Riemann, e tal afirmação foi desprovada por Haselgrove em 1958. Em 2023, Angelo e Xu mostraram que, no universo das funções multiplicativas escolhidas uniformemente ao acaso, a probabilidade delas terem somas parciais sempre positivas é pelo menos 1-10^{-45}, oferecendo um contraponto importante ao Teorema de Haselgrove. Nesta palestra vou apresentar novos resultados no que eu gostaria de chamar de regime crítico da positividade.

Abertura: Agosto 25 (2025), Sala 3060, 08:30h - Charles dos Santos (UFMG)

Title: Densidade, ortogonalidade e uma reformulação da hipótese de Riemann

Abstract: Esta palestra trata de um critério equivalente para a hipótese de Riemann em termos de densidade e aproximação no espaço de Hardy do disco unitário, que é um espaço de Hilbert consistindo de funções holomorfas. Tal critério foi obtido por Noor, a partir de trabalhos anteriores de Báez-Duarte, Beurling e Nyman. Falaremos sobre critérios suficientes para a obtenção de semiplanos livres de zeros para a função zeta em termos de densidade em topologias mais fracas no espaço de Hardy e de relações envolvendo o complemento ortogonal de um subespaço relevante. Veremos também um sistema biortogonal relacionado, cuja unicidade também equivale à hipótese de Riemann. Palestra baseada em trabalhos conjuntos com Noor, Ghosh, Kremnizer, Calderaro e Manzur.

Cadenza: May 27 (2025), Room 3060, 15h - Marco Aymone (UFMG)

Title: Caracteres de Dirichlet modificados

Abstract: Uma questão levantada por Erdös nos anos 50 e resolvida por Tao em 2015 estabelece que não importa como escolhemos os valores nos primos de uma função completamente multiplicativa unitária no plano complexo, sempre terminamos com uma função com somas parciais ilimitadas. Isso foi provado no contexto do problema da Discrepância de Erdös, que antes fora o projeto PolyMath no 5. Nessa teoria, os caracteres de Dirichlet desempenham um papel importante. Numa tentativa de quantificar o Teorema do Tao, uma conjectura folclore é que perturbações finitas nesses caracteres constituem as funções completamente multiplicativas unitárias com as menores flutuações possíveis. Numa tentativa de provar tal fenômeno, uma conjectura relacionada aos caracteres modificados foi colocada de forma precisa por Klurman--Mangerel--Pohoata--Teravainen (KMPT). Nesta palestra irei falar sobre um progresso recente nessa conjectura, que se baseia num trabalho em colaboração com Ana Paula Chaves e Maria Eduarda Ramos. As técnicas envolvem resultados da Análise Harmônica, Sistemas Dinâmicos, Análise Diofantina e Probabilidade, fazendo com que partes deste assunto sejam compreensíveis para uma larga audiência.

Abertura: March 25 (2025), Room 3060, 15h - Caio Bueno (UFMG)

Title: Zeros de um polinômio de Dirichlet aleatório

Abstract: Definimos um polinômio de Dirichlet aleatório como sendo uma série de Dirichlet finita onde seus coeficientes são variáveis aleatórias. Nesta apresentação, falaremos sobre um modelo para a função zeta de Riemann envolvendo um polinômio de Dirichlet aleatório com coeficientes sendo v.a. independentes, identicamente distribuídas e possuindo distribuição Gaussiana padrão.

Mostraremos que o número de zeros da parte real desse polinômio até a altura T é, aproximadamente, da ordem de 2/√3 vezes o número de zeros da função zeta de Riemann, na faixa crítica, até T. Essa apresentação é baseada em uma colaboração com M. Aymone.

Cadenza: January 15 (2025), Room 2033, 17h - Alexandre Dieguez (UFMG)

Title: On certain correlations into the Divisor Problem

Abstract: For a fixed irrational \(\theta>0\) with a prescribed irrationality measure function, we study the correlation \(\int_1^X \Delta(x) \Delta(\theta x) \, dx\), where \(\Delta\) is the Dirichlet Delta Function from the Divisor Problem. It is known that when \(\theta\) has a finite irrationality measure, a decorrelation is achieved, which is expressed in terms of this measure. A strong decorrelation occurs for every positive irrational number, except possibly for the Liouville numbers. We show that for irrationals with a prescribed irrationality measure function \(\psi\), a decorrelation can be obtained in terms of \(\psi^{-1}\).

Cadenza: October 09 (2024), Room 3060, 17h - Caio Bueno (UFMG)

Title: Modified character sums over the k-free integers

Abstract: Let f be an arithmetic function taking values in {−1, +1}. What can we say about the behavior of its partial sums up to x? The remarkable solution of the Erdos Discrepancy Problem by Tao in 2016 implies that the partial sums of f, over any homogeneous arithmetic progression, is unbounded. We ask the same question if we restrict the sum to the k-free integers. Here I will show asymptotic results when we take f to be a quadratic Dirichlet character modified in a simple way to eliminate its zeroes and explain the motivation behind this problem.

Cadenza: October 02 (2024), Room 3060, 17h - Maria Eduarda Ramos (UFMG)

Title: On Diophantine equations related to Fibonacci numbers

Abstract: For centuries our main source on Diophantine equations was the book Aritmetika by Diophantus of Alexandira, a Greek mathematician who lived around 3rd A.D. Although Diophatine equations are known for a long time, they are famous for figuring in problems that are easy to understand and hard to solve, it is the case of Fermat's Last Theorem. In 1934 Alexander Gelfond and Theodor Schneider independently solved Hilbert's 7th problem, concerning the transcendence of certain numbers. Almost four decades later Alan Baker generalized the result and won the Fields Medal for it. In this talk we will use the consequences of Baker's theory to find the solutions for some Diophantine equations in the well-known Fibonacci sequence and its generalizations.

Abertura: September 25 (2024), Room 2033, 17h - Marco Aymone (UFMG)

Title: Um passeio aleatório em Teoria dos Números

Abstract: É bastante difícil precisar o início do pensamento probabilístico em Teoria dos Números. Muitos resultados clássicos já antecipavam esta linha de pesquisa. Mais fácil é dizer os primeiros momentos onde técnicas  e conceitos da Teoria da Probabilidade a la Kolmogorov foram aplicadas em questões aritméticas. Temos o famoso Teorema de Erdös-Kac e sua generalização por Erdös-Wintner, por exemplo. Nesta palestra vou focar num problema levantado por Lévy que ganhou uma sólida resposta por Wintner nos anos 40, e contribuições por Erdös nos anos 70, por Halász nos anos 80 e que se tornou uma linha de pesquisa muito ativa nos últimos 15 anos. Trata-se de funções multiplicativas aleatórias que nasceram como um modelo probabilístico para a função de Möbius. As somas parciais dessas funções descrevem um passeio aleatório que eu gosto de chamar de aritmético. A pergunta básica que responderemos nessa palestra é: Este passeio aritmético volta infinitas vezes para a origem?

Palestra baseada numa série de 3 trabalhos: Bull. London Math. Soc, vol 58, pp. 78-89 (2023), Comptes Rendus Mathématique (2024+),  e arXiv:2408.15589 (2024+), onde o primeiro foi fruto de uma colaboração com W. Heap (Max Planck) e J. Zhao (Boehringer-Ingelheim).