Teoria Analítica e Probabilística dos Números

A forma de uma molécula é ditada pela forma em que seus átomos se conectam. A água, por exemplo, é composta por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio; O hidrogênio é o primeiro elemento da tabela periódica e o oxigênio é o oitavo. Similarmente, a forma de um número inteiro é ditada pela sua decomposição como o produto de primos - Os números que são indivisíveis, isto é, seus divisores são o trivial 1 e eles mesmo. Por exemplo, o número 76 = 2 x 2 x 19; 2 é o primeiro primo e 19 é o oitavo.

Os primeiros elementos da teoria dos primos foram revelados por Euclides na Grécia antiga. Desde então, muitas questões fundamentais apareceram, e muitas destas continuam em aberto. A matemática moderna trata tais questões em uma forma similar em que a física moderna obtém informação sobre a forma de uma molécula. Em espectroscopia começamos com uma molécula desconhecida dentro de uma caixa preta; Então jogamos um raio de luz com uma certa energia sobre ela; A saída - Um raio de luz com uma energia diferente - dá dicas sobre a forma e os constituintes do que está dentro da caixa preta.

Uma função multiplicativa - Um dos objetos de pesquisa bastante ativa em Teoria dos Números - é determinada por seus valores nos primos, os valores nos outros inteiros são obtidos conforme a forma deles, isto é, a sua fatoração em números primos. Os valores iniciais nos primos fazem o mesmo papel que a luz faz em espectroscopia: Na caixa preta estão os primos e a regra multiplicativa; A saída é a função multiplicativa resultante.

Uma função multiplicativa especial - A função de Möbius - carrega muita informação sobre a forma dos inteiros. Suas somas parciais contam exatamente a diferença de duas quantidades: Uma é a quantidade de inteiros livre de quadrados compostos por uma quantidade par e a outra é a quantidade de inteiros livres de quadrados compostos por uma quantidade ímpar de primos. O fato dessa diferença ser pequena significa que estas duas quantidades são aproximadamente a mesma.

O tão celebrado Teorema do Número Primo - Um enunciado sobre a distribuição dos primos entre os inteiros - é logicamente equivalente às somas parciais da função de Möbius terem médias pequena. A Hipótese de Riemann - Uma conjectura sobre uma função de uma variável complexa, o oitavo problema na lista de Hilbert e um problema do milênio da lista do Clay mathematics institute - dá ainda mais informação sobre essa distribuição. Essa hipótese é logicamente equivalente ao fato (desconhecido) de que as somas parciais da função de Möbius se comportam como um passeio aleatório - Um modelo probabilístico para o jogo de cara ou coroa. Contudo, tal enunciado é difícil de provar, e nosso entendimento matemático disso está parado por um bom tempo, e contando.

Disso daí surgem muitas questões interessantes, e para analisar essas questões são necessárias ferramentas de diversas áreas da matemática, como Álgebra, Análise e Probabilidade. A minha pesquisa visa entender mais sobre a distribuição dos números primos; Sobre os zeros da função zeta de Riemann e de funções L de Dirichlet; Sobre a Hipótese generalizada de Riemann: suas consequências e equivalências; Sobre o comportamento da função zeta na linha crítica tanto conjecturalmente quanto rigorosamente; Sobre as somas parciais de funções multiplicativas, tanto determinísticas quanto aleatórias; Sobre séries de Dirichlet, tanto determinísticas quanto aleatórias.

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