Осень 2022

Аннотация: Речь будет идти о распределениях, непрерывных и дискретных, одномерных и многоменрных. Помимо и как продолжение того, что хорошо известно, покажем роль и пользу моментов и семиинвариантов, чтобы ответить на новые и содержательные вопросы. Будет что-то новое, но есть и открытые вопросы. 

Обсудим:

• новые условия единнственности; 

• построение классов Стилтьеса в случае неединственности; 

• максимальная энтропия и критерий едиственности;

• предельные теоремы для последовательностей целочисленных случайных величин.

Видео

Аннотация: Доклад посвящен стохастическим процессам с непрерывным временем, которые могут быть описаны в терминах размножения, гибели и транспорта частиц. Такие процессы на многомерных решетках называют ветвящимися случайными блужданиями, а точки решетки, в которых может происходить рождение и гибель частиц --- источниками ветвления. Особое внимание уделено анализу асимптотического поведения численностей частиц и их моментов для симметричных ветвящихся случайных блужданий с конечным источников ветвления и конечным или бесконечным числом исходных частиц при различных предположениях о дисперсии скачков случайного блуждания. Поведение моментов численностей частиц во многом определяется структурой спектра эволюционного оператора средних численностей частиц и требует для исследования ряда моделей привлечения спектральной теории операторов в банаховых пространствах. Доказательство некоторых предельных теорем о ветвящихся случайных блужданиях с конечным числом источников и псевдо-источников, в которых допускается нарушение симметрии случайного блуждания, основано на проверке условий, гарантирующих единственность определения предельного вероятностного распределения численностей частиц своими моментами. Также будут приведены результаты из совместной работы Н. В. Смородиной и Е. Б. Яровой, УМН 2022, в которой доказательство предельных теорем основано на аппроксимации нормированного числа частиц в точке решетки некоторым неотрицательным мартингалом, что позволяет доказать сходимость этих величин к пределу в среднеквадратическом в достаточно общих предположениях на характеристики процесса.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект 20-01-00487.

Видео

Аннотация: В первом докладе предлагается ввести в программы курсов теории вероятностей рассмотрение относительно новой моментной характеристики случайных величин — моментов Сенатова. Естественность этого предложения подтверждается тремя взглядами на возникновение моментов Сенатова, а их введение позволит ответить на вопрос, что является аналогом ряда Тейлора функции для плотности.

Во втором докладе показано практическое применение моментов Сенатова.

Видео

Аннотация: Процессы накопления были введены Смитом в 1955 году и представляют собой достаточно общий класс процессов. В этот класс входят, например,  сложные процессы восстановления, процессы Кокса, некоторые классы полетов Леви, интегралы и суммы цепей Маркова с непрерывным и дискретным временем, марковски-модулированные случайные блуждания.

Сильная гауссовская аппроксимация является существенным усилением классического принципа инвариантности, поскольку дает возможность подобрать винеровский процесс, траектории которого близки к траекториям исходного процесса с вероятностью единица. Такое приближение позволяет получать другие предельные теоремы (такие как закон повторного логарифма, закон арксинуса), строить состоятельные оценки долгосрочной дисперсии, рассматривать предельное поведение различных функционалов от приближаемых процессов.  Впервые теорема такого вида была доказана Штрассеном в 1964 году. Метод Комлоша-Майора-Тушнади, обеспечивающий оптимальные скорости аппроксимации в случае н.о.р.с.в., стал широко известен, и были предприняты значительные усилия, чтобы обобщить полученные ими оценки на более общие случайные системы. В докладе будут  представлены теоремы типа Комлоша-Майора-Тушнади для процессов накопления и приведены следствия для случайных сумм с зависимостью от индекса суммирования, интегралов от процессов размножения и гибели, немарковских обобщений полетов Леви, марковски-модулированных случайных блужданий.

Видео

Аннотация: Нас интересует асимптотика роста самых тяжелых путей во взвешенном (со знакопеременными весами) полном ориентированном ациклическом графе. Веса ребер - это i.i.d. случайные величины с общим распределением F, носитель которого сосредоточен на интервале [-\infty,1] с существенным максимумом, равным 1. Здесь вес -\infty можно понимать как отсутствие ребра. Известно, что асимптотическая скорость роста - это константа, которую мы будем обозначать C(F). Даже в простейшем случае двухточечного распределения F,  сосредоточенного в 1 и в -\infty (этот случай соответствует самому длинному пути в графе Барака-Эрдоша), явный вид константы C(F)  неизвестен, но известны достаточно точные верхние и нижние оценки её оценки.

В этом докладе мы предложим некоторую марковскую систему, которую мы называем "Max Growth System" (MGS), и поясним её связь со взвешенным случайным графом. MGS является обобщением т.н. Infinite Bin Model, которая изучалась в ряде недавних работ. Затем мы опишем случайный функционал процесса, у которого существует  стационарная версия, математическое ожидание которой равно неизвестной константе C(F). Кроме того, мы предложим алгоритм т.н. точного моделирования для этого функционала.

Доклад основан на совместной работе с Takis Konstantopoulos, Bastien Mallein и Sanjay Ramassami.

Видео

Аннотация: Хотя цепи Маркова широко распространены, а условия их эргодичности хорошо изучены, результаты по эргодичности для нелинейных цепей Маркова весьма ограничены. Такие процессы являются нелинейными в смысле закона распределения, т.е. вероятности перехода зависят одновременно как от текущего состояния процесса, так и от его текущего распределения. В докладе будут обсуждаться результаты оценки сходимости нелинейных цепей Маркова. Также в докладе будут сформулированы некоторые результаты о предельных теоремах для нелинейных цепей Маркова: закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Видео, Слайды

Аннотация: Сетевые динамики с взаимодействиями, основанными на точечных процессах, представляют огромный интерес для моделирования. К сожалению, большинство соответствующих динамик включают сложные графы взаимодействий, для которых невозможно точное вычислительное решение. Чтобы обойти эту трудность, подход на основе "среднего поля с репликами" вводит случайно взаимодействующие реплики изучаемых сетей. В пределе, с бесконечным числом реплик, эти сети становятся аналитически анализируемыми в рамках так называемой "Пуассоновской Гипотезы". Однако в большинстве приложений такая гипотеза является лишь предположением. В этом докладе мы представим результаты о справедливости Пуассоновской Гипотезы для некоторых классов процессов в дискретном и непрерывном времени, которые включают, например, модели Гальвеса-Лёшербах из вычислительной нейронауки.

Видео, Слайды