Осень 2021

Аннотация: Рассматривается неоднородный обобщённый процесс восстановления, у которого независимые величины скачков удовлетворяют только классическому условию Линдеберга, однако величина каждого такого скачка может зависеть от случайного расстояния до предшествующего скачка. В иностранной, особенно физической, литературе такие процессы часто называют случайными блужданиями с непрерывным временем. Нас интересует точная асимптотика для вероятности того, что на растущем интервале времени изучаемый процесс будет находиться выше некоторой непостоянной границы. Для блужданий с неслучайными расстояниями между скачками эта задача была решена  ранее автором совместно с В. Вахтелем и Д. Денисовым. Настоящее исследование проведено совместно с А. Шелеповой.

Видео, Слайды

Аннотация: совместная работа со Steven Evans (Беркли).

В докладе рассматриваются метрические пространства с заданными на них вероятностными мерами, для которых доказывается основная теорема арифметики с использованием вероятностных методов. Эти результаты дополняют ряд предшествующих результатов для метрических пространств (таких как теорема де Рама о разложении многообразий). Также обсуждаются случайные метрические пространства, в том числе устойчивые относительно полугрупповой операции.

Видео, Слайды

Аннотация: Доклад посвящен распределению максимального значения в конечной выборке из GEM-распределения. GEM-распределение является случайным разбиением единичного отрезка, распределение которого параметризуется двумя параметрами \alpha и \theta. Оно и его свойства будут подробно описаны в докладе. О нем можно также думать как о случайном дискретном распределении на натуральных числах. Выборка из этого распределения будет перестановочной. Для более простого случая \alpha=0 удается явно найти распределение максимума n таких перестановочных случайных величин как суммы n независимых геометрических случайных величин. В более сложном случае \alpha>0 такого представления, видимо, не существует. Однако получается доказать, что максимум выборки из n элементов ведет себя асимптотически как n^{\alpha/(1-\alpha)}, домноженное на случайный множитель, распределение которого также удается описать явно.

Доклад базируется на совместных работах автора с Джимом Питманом.

Видео, Слайды

Аннотация: В докладе рассматриваются одномерные стохастические потоки, образованные упорядоченными винеровскими процессами, стартующими из каждой точки прямой. Такие потоки однозначно задаются мгновенной попарной ковариацией. В случае, когда эта ковариация является гладкой функцией, поток может быть реализован как совокупность решений задачи Коши стохастичестического дифференциального уравнения. В случае негладких или разрывных ковариаций необходимо специальное простроение потока и в нем возможно склеивание частиц. При сходимости ковариаций n-точечные движения соответствующих потоков слабо сходятся. Это влечет за собой сходимость образов меры Лебега в соответствующих метриках. Обсуждается скорость такой сходимости, а также поведение времени свободного пробега частиц и квадратичной энтропии совокупности значений потока.

Видео

Аннотация: Предельные теоремы для объединений точечных полей (ТП) с необходимостью включает операцию, делающую их более “тонкими”, чтобы объединение растущего их числа имело предел. Она выполняет роль нормировки суммы случайных величин, но чтобы оставаться в рамках ТП, эта операция обязана быть стохастический, действующей независимо на точки ТП. Мы показываем, что наиболее общая такая операция состоит в независимом докритическом ветвлении точек поля. Простейший пример даёт чистый процесс гибели, что эквивалентно случайному прореживаниию точек поля. Для данной операции ветвления можно сформулировать предельные теоремы для объединения независимых ТП с целью охарактеризовать все возможные предельные ТП. Таковыми являются саморазложимые (СР) ТП, представляющие собой строгий подкласс безгранично делимых (БД) ТП. В то же время, класс СР ТП строго шире класса строго-устойчивых ТП, возникающих как предел объединения независимых одинаково распределенных ТП. Будучи БД, распределение СР ТП полностью характеризуется мерой Леви (известной также, как KLM-мера в контексте ТП), имеющей специальный интегральный вид из теории потенциала и теории общих процессов Маркова.

Видео, Слайды

Аннотация: Случайный граф в биномиальной модели G(n,p) (случайный граф в модели Эрдеша--Реньи) начиная с конца 50-х годов прошлого века является одним из основных объектов изучения вероятностной комбинаторики. И одним из первых вопросов, поставленных П. Эрдешем был вопрос об асимптотическом поведении хроматического числа случайного графа G(n,p). В 1991 году Т. Лучаком было доказано, что  при не слишком быстро растущем произведении np хроматическое число случайного графа сконцентрировано в двух соседних значениях, которые, однако, были неизвестны. Мы представим свои последние результаты, в которых эти значения были найдены для почти всех функций p=p(n) вплоть до o(n^{-3/4}).

Видео, Слайды

Аннотация: Будут построены комплекснозначные устойчивые случайные величины с комплексным индексом устойчивости. Будет показано, что полученные устойчивые величины удовлетворяют обычному условию устойчивости, но для комплексного параметра. При этом, будет доказано, что никакие другие распределения не могут удовлетворять такому условию устойчивости. Находится характеристическая функция полученных случайных величин и показывается, что распределение является безгранично делимым. Показываются предельные теоремы для сумм независимых одинаково распределённых комплекснозначных случайных величин и строятся процессы Леви. По полученным процессам Леви строится полугруппа операторов и находится ее генератор.

Видео, Слайды

Аннотация: Рассматривается многомерное блуждание в конусе. При конечности дисперсии и выполнении некоторых других условий я обсужу построения гармонических функций для случайных блужданий, "убиваемых" при выходе из конуса,  и  соответствующие асимптотики моментов выхода. С помощью примеров будет показана близость условий к минимальным. Эта совместная работа В. Вахтелем продолжает arXiv: 1805.01437<https://arxiv.org/abs/1805.01437> и arXiv: 1110.1254<http://arxiv.org/abs/1110.1254>.