Весна 2021

Аннотация: Мы обсудим проблему единственности вероятностных решений задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с неограниченным коэффициентом сноса и единичной матрицей диффузии. Будет показано, что в одномерном случае имеет место единственность, а в больших размерностях единственности нет. Мы приведем пример уравнения с единичной матрицей диффузии и бесконечно гладким коэффициентом сноса, для которого задача Коши имеет бесконечномерный симплекс вероятностных решений для всякого вероятностного начального условия. Наконец, мы обсудим обобщение принципа суперпозиции Амброзио-Фигалли-Тревизана для вероятностных решений, согласно которому всякое такое решение порождается решением соответствующей мартингальной задачи.

Видео

Аннотация: Мы рассматриваем моменты восстановления для неотрицательных AR(1)- последовательностей X(n + 1) = a X(n) + b(n + 1), где 0 < a < 1, а также для некоторых связанных с ними процессов. Если хвосты н.о.р. инноваций b(n) логарифмически убывают, то цепочка X(n) может оказаться либо положительной, либо нуль-возвратной. Мы определяем поведение хвостов моментов восстановления в обоих случаях. При наличии нуль-возвратности мы также строим положительную гармоническую функцию для X(n), убитых на входе в [0,c], где c > 0.

Видео

Аннотация: Для многомерного случайного блуждания с i.i.d. скачками, удовлетворяющими моментному условию Крамера и имеющими математическое среднее с хотя бы одной отрицательной компонентой, найдена точная асимптотика вероятности достижения положительного ортанта, уходящего на бесконечность в фиксированном направлении с положительными координатами. Тем самым получено обобщение результатов работы F. Avram et al. (2008) о двумерном процессе риска. Наш подход сочетает в себе технику анализа вероятностей  больших уклонений, развитую в серии статей А.А. Боровкова и А.А. Могульского, с новыми вспомогательными конструкциями, которые позволяют распространить их результаты о попадании в удаленные множества с гладкими границами на случай границ "с углом" в "наиболее вероятной точке достижения". Обсуждается, как представленные результаты могут быть распространены на случай более общих множеств достижения. (Доклад основан на совместной работе с Yuqing Pan).

Видео

Аннотация: Доклад в основан на совместной статье с Michael Scheutzow https://projecteuclid.org/euclid.aop/1603180872. Мы предлагаем новый подход, основанный на использовании обобщенных каплингов, позволяющий исследовать  стохастические уравнения с  запаздыванием с гельдеровскими коэффициентами, для которых аналитические методы не применимы. Мы доказываем слабую единственность решения и устанавливаем скорость сходимости в эргодической теореме для соответствующего сегментного процесса. При дополнительных  предположениях о гладкости коэффициентов мы также получаем оценки стабилизации для производных по начальным условиям для соответствующих полугрупп.  В докладе также планируется обсуждение дальнейших обобщений этих результатов для уравнений со скачками.

Видео

Аннотация: В докладе будут рассмотрены различные принципы больших уклонений для процессов рождения-гибели в зависимости от скорости стремления к бесконечности нормирующей функции. Также будет рассмотрен некоторый аналог для решений стохастических уравнений Ито.

Видео

Аннотация: Рассматривается последовательность сложных пуассоновских процессов, слабо сходящаяся к винеровскому процессу. Доказывается сходимость некоторых функционалов от этих процессов к локальному времени винеровского процесса.

Видео

Аннотация: Мы рассматриваем случайное блуждание по многомерной целочисленной решетке со случайными ограничениями на число посещений, при условии, что оно достигает очень высокого уровня до момента гибели. Мы строим специальный сопровождающий процесс, который имеет регенерирующую структуру и играет ключевую роль в нашем анализе. Мы получаем ряд представлений для распределений изучаемого случайного блуждания в терминах аналогичных распределений сопровождающего  процесса. Основываясь на этом, мы доказываем ряд предельных результатов при стремлении уровня достижения к бесконечности. В частности, мы обобщаем результаты, полученные ранее для простого симметричного одномерного случайного блуждания в статье Benjamini and Berestycki (2010).

Доклад основан на совместной работе с Сергеем Фоссом: [1] Foss S. and Sakhanenko A.   Properties of  Conditioned Random Walks  on  Integer Lattices with Random Local Constraints.  arXiv:2007.05165 [math.PR]; (accepted to Memorial volume for Vladas Sidoravicius in the Springer series ``Progress in Probability“)

Видео

Аннотация: Установлена положительная возвратность диффузии с переключением при наличии рекуррентных и транзиентных режимов при подходящих достаточных условиях на снос во всех режимах и интенсивности переключений. Подход основан на "новой старой идее" вложенной марковской цепи с альтернирующими скачками: в одном режиме среднее нормы диффузионной части процесса увеличивается, тогда как в другом оно уменьшается. При подходящих условиях баланса получаем положительную возвратность. В простейшем случае одномерной диффузии с аддитивным винеровским процессом и двумя режимами результат кратко изложен на стр. 224-228 в https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/438402359.pdf

Видео

Аннотация: Можно ли марковский процесс с траекториями в R^d "загнать" в область D? Иначе говоря, построить новый процесс, который с одной стороны остаётся очень похож на исходный, а с другой никогда не покидает область? 

В случае диффузий интуиция подсказывает по крайней мере два типа таких "загнанных в область" версий: процесс, поглощающийся при достижении границы, и процесс, отражающийся от границы назад в область. Для процессов со скачками теряют смысл оба этих понятия. 

Тем не менее оказывается, что есть универсальный способ говорить о поглощении, отражении и других "версиях" процессов: все эти операции можно понимать как наложение условий на генератор свободной полугруппы. Например, генератором d-мерного броуновского движения является оператор Лапласа, и его отражающейся версией в области D естественно назвать процесс с оператором Лапласа-Неймана в качестве генератора (в докладе я объясню почему).

В докладе я дам краткий обзор вопроса об отражении случайных процессов и предложу одну конструкцию для построения отражающихся версий симметричных процессов Леви в указанном выше смысле.

Видео, Слайды