Mein CT-Lieblingsbeispiel
"Baumstämme zersägen"

Mit der Dreiecksungleichung können wir das Problem lösen.
Diese beschreibt den Zusammenhang der drei Seiten eines Dreieckes, wobei eine Seite dessen immer größer als die Differenz der Längen der beiden anderen Seiten des Dreiecks bzw. kleiner als die Summe der Längen der beiden anderen Seiten des Dreiecks sein muss.

Seien nun a, b und c die Seiten des Dreiecks, dann gilt:

• |a - b| < c < a + b, (1a)

• |a - c| < b < a + c, (1b)

• |b - c| < a < b + c. (1c)

In unserem Fall ist die Länge L des Baumstammes gegeben durch: a + b + c = L. (2)

Bedingungen

• Fall 1: Mit a, b und c kann KEIN Dreieck geformt werden
  Wenn eine Länge (nehmen wir o.B.d.A. a) größer ist als die Summe der anderen zwei Längen, dann kann kein Dreieck geformt werden. Also gilt:
  
  a > b + c --> a > L - a --> a > L/2. (3)
  
  Aus (3) folgt, dass wenn eine Länge größer als die Hälfte der Länge L ist, kein Dreieck geformt werden kann. Sollte eine Länge nämlich größer als L/2 sein, dann kann jede der beiden anderen Längen nur weniger als L/2 sein.

• Fall 2: Mit a, b und c kann ein Dreieck geformt werden
  Da uns Fall 1 gezeigt hat, dass eine Seite nicht länger als L/2 sein darf, um ein Dreieck formen zu können, prüfen wir nun nur die Bedingung, dass
  
  a < L/2 und b < L/2 und c < L/2. (4)
  
  Nehmen wir nun an, dass (4) korrekt ist, dann überprüfen wir, ob die Dreiecksungleichung für eine Seite mit Länge a gilt:
  

  • Fall 1: Gilt a < b + c (obere Grenze)?
    
    a < b + c --> a + a < a + b + c --> 2a < L --> a < L/2. (5)
    
    Das heißt: Wenn a < L/2 (4), dann gilt a < b + c.

  • Fall 2: Gilt |b - c| < a (untere Grenze)?
    Sei nun b o.B.d.A. die längere Seite von b und c, dann gilt für die Dreiecksungleichung von der unteren Grenze:
    
    b - c < a --> b < a + c --> b + b < a + b + c --> 2b < L --> b < L/2. (6)
    
    Das heißt: Wenn b < L/2 (4), dann gilt die Dreiecksungleichung.
    
    Aus diesem Grund ist es notwendig, um ein Dreieck mit a, b und c zu formen, sodass
    a + b + c = L, dass
    
    a < L/2 und b < L/2 und c < L/2. (wiederum 4)
    
    Aus diesen Überlegungen ergeben sich vier mögliche Fälle:

Aus dieser Tabelle lässt sich herauslesen, dass nur bei einer der vier obigen Überlegungen eine Dreiecksbildung möglich ist.
Wir nehmen, aufgrund der Natur dieses Problems an, dass all diese Ausgänge dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Daher ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man aus diesen drei Teilen ein Dreieck formen kann, folgendes:

P(Dreieckbildung möglich) =
#Ausgänge, bei der eine Dreieckbildung möglich ist/#Anzahl der Ausgänge = 1/4 = 25%.

Die Simulation des obigen Beispiels wird wie folgt dargestellt: