解答

最簡單的想法是：

假設A城跟B城的距離是120km，來回的總路程是240km。

由A城去B城需要3小時，而B城回到A城需要2小時，共需5小時。

所以我的平均速度是240km / 5hrs = 48km/h

Harmonic mean

「速度 = 距離 ÷ 時間」，速度可以看成距離與時間的比率。

計算兩個比率之間的平均數時，我們可以使用Harmonic mean去計算。

失業率的例子

Harmonic mean適合計算rate/ratio之間嘅平均數。

舉一個經濟學的例子。

假設甲國嘅失業人數係5萬, 失業率係5%，而乙國嘅失業人數係27萬, 失業率係3%，兩個國家嘅平均失業率係幾多？

你可以用weighted harmonic mean計

甲國同乙國嘅人口唔同，所以計平均失業率嗰陣就要為每個國家assign唔同嘅weights。 甲國嘅weight係5, 乙國嘅weight係27。

我們可以驗算一下:

甲國的勞動人口(labour force)係5萬/5% = 100萬

乙國的勞動人口就係27萬/3% = 900萬

平均失業率就係(5+27)/(100+900) = 3.2%

並非任何時候都適合使用Harmonic mean

然而, 使用harmonic mean計算ratio之間嘅平均時需要小心。

假設甲國有100萬人，失業率係5%，乙國有900萬人，失業率係3%。

正確的諗法係：

兩個國家總共有1000萬，而失業的人口共有5萬+27萬 = 32萬人，所以失業率係32/1000 = 3.2%

如果你使用Harmonic mean的公式, 以100和900作為兩國嘅weights, 將會得出錯誤的答案:

(100 + 900) / (100 / 0.05 + 900 / 0.03) = 3.125%

事實上, 這個情況你需要使用weighted arithmetic mean才能得出正確答案:

100 × 0.05 + 900 × 0.03 = 3.2%

Weighted harmonic mean vs. Weighted arithmetic mean

失業率的公式是 (失業人數/勞動人口) (U/LF)。

第一個情況, 我們知道失業人數(分子), 就可以用weighted harmonic mean計算平均失業率。

第二個情況, 我們只知道勞動人口(分母), 就唔可以用weighted harmonic mean, 而應該用weighted arithmetic mean去計算。

因此結論是:

如果你知道分子，唔知道分母就可以用weighted harmonic mean去計算N個ratio嘅mean

調返轉如果你知道分母，唔知道分子就用weighted arithmetic mean去計算N個ratio嘅mean

駕駛速度問題

回到一開始的駕駛速度問題。

速度嘅公式是km/h, 即是(距離 / 時間)。

由於來回嘅路程相同, 所以來回路線嘅weights相同。

因為可以假設兩座城市之間嘅距離係1, 所以我們就知道分子, 可以應用harmonic mean的公式。

(1 + 1) / (1/40 + 1/60) = 48km/h

相反，如果題目提供的不是速度而是時間，你便需要使用weighted arithmetic mean去計算。

例如：我以3小時由A城去B城，然後再以2小時由B城回到A城。已知去程的速度是40km/h，而回程速度是60km/h。

平均速度就是(3 × 40 + 2 × 60) / 5 = 48km/h

Harmonic mean於finance的應用

Weighted harmonic mean亦可以應用於計算一個Portfolio入面嘅平均PE ratio。

假設你以30%的資金投資了一間P/E ratio = 25的公司，70%的資金投資了一間P/E ratio = 100的公司。

整個portfolio的P/E ratio應該是(0.3 + 0.7) / (0.3/25 + 0.7/100) = 52.63

使用weighted arithmetic mean將會嚴重高估整個portfolio的P/E ratio。

Harmonic mean於月供股票的應用

Harmonic mean可用於計算月供股票的平均成本。假設你每個月都會用相同金額(例如$240)去月供某隻股票。假設依隻股票於1月嘅股價係$40，2月嘅股價係$60。兩個月後你嘅平均成本價並唔係($40+$60)/2 = $50。

1月份你用$240買咗6股，2月份你用$240買咗4股。你總共用咗$480買1股，平均成本價應該係$48。

用harmonic mean去計：2 / (1/40 + 1/60) = 48

如果每個月供款金額唔同，例如1月份用$240去供，2月用$480去供。咁就要用weighted harmonic mean。

1月份你用$240買咗6股，2月份你用$480買咗8股。你總共用咗$720買14股，平均成本價應該係$51.43。

用weighted harmonic mean去計：(240+480) / (240/40 + 480/60) = 51.43