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El Método de M Grande y Dos Fases se diferencian de los demás métodos pues estos trabajan fuera del origen ya que los modelos van a presentar el uso de variables de exceso por lo tanto se agregan variables artificiales, sin embargo la desventaja del método de M Grande es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M o que para muchas personas les resulta incomodo trabajar con M's, en estos casos para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en 2 fases.
Pasos del Método
Pasos del Método
FASE 1.
- Plantear el modelo en su forma estándar
- Plantear el modelo en su forma ampliada
- Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales.
- La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original.
- Si el problema tiene un espacio factible el valor mínimo de la función objetivo óptima será cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento pasamos a la fase 2.
Nota : Si el valor mínimo de la función objetivo óptima es mayor que cero, el problema tiene solución no factible.
FASE 2.
- Utilice la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema original.
- Elimine las columnas de las variables de holgura y la función objetivo minimizada de la fase 1
- En este caso, la función objetivo original se expresa en términos de las variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales Gauss-Jordan hasta llegar a la solución.
Ventajas y Desventajas del Método
Ventajas y Desventajas del Método
Ventajas:
- Evita muchos problemas del método de la gran M.
- Se pasa fácilmente del modelo ampliado a la forma estándar.
- Permite encontrar solución no factible, no acotada, múltiple y óptima.
Desventajas:
- Resulta confuso el momento en el cual hay que cambiar de la función objetivo modificada a la función original.
- Requiere realizar dos tablas simplex por separado o una donde se juntan las dos funciones objetivo.
- Es complicado o imposible visualizar lo que esta pasando en este modelo de una forma gráfica durante la primera fase.
Ejemplos del Método de las Dos Fases
Ejemplos del Método de las Dos Fases
Una multinacional farmacéutica desea fabricar un compuesto nutritivo a base de dos productos A y B. El producto A contiene 30% de proteínas, un 1 % de grasas y un 10% de azúcares. El producto B contiene un 5% de proteínas, un 7% de grasas y un 10% de azúcares.
El compuesto tiene que tener, al menos, 25g de proteínas, 6g de grasas y 30g de azúcares.
El coste del producto A es de 0.6 u.m./g. y el de B es de 0.2 u.m./g.
¿Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea mínimo?
INFORMACIÓN
PLANTEAMIENTO
PLANTEAMIENTO
Min z = 0.6 X1 + 0.2 X2
s.a 0.3 X1 + 0.05 X2 => 25
0.01X1 + 0.07 X2 => 6
0.1 X1 + 0.1 X2 => 30
Xi => 0
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Forma Estándar
Forma Estándar
Min z = 0.6 X1 + 0.2 X2
s.a 0.3 X1 + 0.05 X2 - x3 = 25
0.01X1 + 0.07 X2 - x4 = 6
0.1 X1 + 0.1 X2 - x5 = 30
Xi => 0
Forma Ampliada
Forma Ampliada
Min z = 0.6 X1 + 0.2 X2
s.a 0.3 X1 + 0.05 X2 - x3 + a1 = 25 a1= 25
0.01X1 + 0.07 X2 - x4 + a2 = 6 a2=6
0.1 X1 + 0.1 X2 - x5 + a3 = 30 a3=30
Xi => 0
Fase 1:
Fase 1:
Se reemplaza la función objetivo por la suma de las variables artificiales.
Min w = a1 + a2 +a3
s.a 0.3 X1 + 0.05 X2 - x3 + a1 = 25
0.01X1 + 0.07 X2 - x4 + a2 = 6
0.1 X1 + 0.1 X2 - x5 + a3 = 30
Xi => 0
Se debe resolver utilizando el Método Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares.
Donde:
P0= sol P3= x3 P6= a1
P1= x1 P4= x4 P7= a2
P2= x2 P5= x5 P8= a3
La variable que sale de la base es P6 y la que entra es P1.
La variable que sale de la base es P8 y la que entra es P3.
La variable que sale de la base es P7 y la que entra es P5.
Ya que z a llegado a cero, existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la Fase 2 para calcularla.
Fase 2
Fase 2
Se elimina la columna de variables artificiales
La variable que sale de la base es P5 y la que entra es P2.
La variable que sale de la base es P3 y la que entra es P4.
Hemos llegado a la solución
La solución óptima es
Z = 76
X1 = 40
X2 = 260
x4=63/5
x3=x5=0
Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. Esta compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 500 u.m. y los de la mina B a 750 u.m. ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima?
PLANTEAMIENTO
PLANTEAMIENTO
Min z = 500 X1 + 750 X2
X1 + 2X2 => 70
2X1 + 2X2 => 130
4X1 + 2X2 => 150
Xi => 0
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Forma Estándar
Forma Estándar
Min z = 500 X1 + 750 X2
X1 + 2X2 -x3= 70
2X1 + 2X2 - x4= 130
4X1 + 2X2- x5 => 150
Xi => 0
Forma Ampliada
Forma Ampliada
Min z = 500 X1 + 750 X2
X1 + 2X2 -x3 +a1= 70 a1=70
2X1 + 2X2 - x4 + a2= 130 a2=130
4X1 + 2X2- x5 + a3 => 150 a3=150
Xi => 0
Fase 1:
Fase 1:
Se reemplaza la función objetivo por la suma de las variables artificiales.
Min w = a1 + a2 + a3
X1 + 2X2 -x3 +a1= 70
2X1 + 2X2 - x4 + a2= 130
4X1 + 2X2- x5 + a3 => 150
Se debe resolver utilizando el Método Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares.
Donde:
P0= sol P3= x3 P6= a1
P1= x1 P4= x4 P7= a2
P2= x2 P5= x5 P8= a3
La variable que sale de la base es P8 y la que entra es P1.
La variable que sale de la base es P6 y la que entra es P2
La variable que sale de la base es P7 y la que entra es P3.
Ya que z a llegado a cero, existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la Fase 2 para calcularla.
Fase 2
Fase 2
Se elimina la columna de variables artificiales
La variable que sale de la base es P3 y la que entra es P5.
Hemos llegado a la solución
La solución óptima es
Z = 33750
X1 = 60
X2 = 5
x5=100
x3=x4=0
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