Bolseiros e tutores para 2024/25: 

Programa dos dias 26 e 27 de julho de 2025

Dia 26 de julho

09:00 – 09:30 Abertura
09:30 – 09:55 - Filipe Santos (1.º ano mestrado IST/UL): A Equação de Wong 

E se a carga elétrica fosse um vetor? Nesta apresentação, respondemos a esta pergunta, e tentamos perceber qual seria o comportamento de um sistema de N partículas com carga vetorial, recorrendo a simulações numéricas e tentando também encontrar soluções exatas.
10:00 – 10:25 - Afonso Alves (1.º ano mestrado IST/UL): Gravidade JT supersimétrica e fortuidade

Apresentarei os fundamentos da correspondência holográfica com base numa sequência de espaços de Hilbert, elucidando como estes permitem classificar geometrias de buracos negros do lado gravítico. Motivado por esse panorama, introduzirei a gravidade JT supersimétrica, cuja dinâmica é interpretada por recursão topológica e se reduz a uma EDO. Por fim, discutirei os princípios de análise resurgente e mostrarei resultados da sua aplicação neste problema.
10:30 – 10:55 - Bianca Correia (2.º ano ISCTE): Análise do poder de aproximação das KAN e dos MLP

Com este trabalho damos continuidade ao elaborado anteriormente. Assim, respondemos à questão: Qual a taxa de aproximação das KAN às funções contínuas? Reintroduzimos o tema, com uma breve explicação sobre os MLP e as KAN, revisitamos as provas do Teorema de Aproximação Universal para ambas as redes neuronais, agora generalizando a prova das KAN para várias classes de funções. Para terminar, iremos apresentar sucintamente provas relativas ao poder de aproximação dos MLP e das KAN.
11:00 – 11:20 Coffee Break
11:20 – 11:45 - Mariana Costa (3.º ano IST/UL): Grafos expansores e o seu segundo valor próprio

Nesta apresentação, discutimos os resultados de Friedman quanto ao segundo valor próprio e caminhos aleatórios em Grafos Aleatórios d-Regulares. Para além disso, exploramos a generalização das técnicas envolventes para construir uma prova da conjetura de Alon para outras famílias de grafos.
11:50 – 12:15 - Luís Barbosa (2.º ano FE/UP): Redes Ordenadas

Apresenta-se um método para treinar redes neurais do tipo fully connected feedforward que induz uma classificação dos nós por significância. Essa classificação permite uma estratégia de poda estruturada, que remove primeiro os nós menos significativos. A abordagem é comparada com outros métodos de poda.
12:20 – 12:45 - David Furtado (1.º ano mestrado FCT/UC): Dos espaços de Sobolev aos de Triebel-Lizorkin

Os espaços de Triebel-Lizorkin generalizam muitos espaços de funções clássicos. Nesta apresentação, começaremos por introduzir o conceito de distribuição temperada e, de seguida, enunciaremos o teorema de Paley-Wiener-Schwartz de modo a definir os espaços de Triebel-Lizorkin. Finalmente, usando o teorema dos multiplicadores de Mikhlin-Hörmander, daremos uma ideia de como provar que os espaços potenciais de Bessel, generalizações dos espaços de Sobolev, são casos particulares de espaços de Triebel-Lizorkin.
12:50 – Fotografia de grupo
13:00 – 14:30 Almoço
14:30 – 14:55 - Francisco Cunha (3.º ano IST/UL): Como prever valores desconhecidos de uma função usando analogias?

Formalização dos conceitos de classificação/regressão baseada em analogias, para alguns modelos de analogia, quer no caso Booleano (classificação) quer no real (regressão). Descrição explícita das funções para o qual a regressão baseada em analogias é exata. Algumas estimativas de erro baseadas em distâncias nos espaços funcionais.
15:00 – 15:25 - Gil Melo (2.º ano IST/UL): Reflexividade e semelhança em 2-nest algebras

Apresentam-se resultados recentes sobre reflexividade e semelhança numa nova classe de álgebras de operadores em espaços de Hibert, ditas 2-nest algebras. Reflexividade e semelhança são usadas para discutir os pontos de contacto e as diferenças entre a estrutura de 2-nest algebras e a das clássicas nest algebras, que as primeiras generalizam.
15:30 – 15:55 - Pedro Moreira (3.º ano FC/UP): Função Base e Aproximações Diofantinas

Será apresentado o conceito de base de irracionalidade de um número, a sua interpretação probabilística e um critério sobre as probabilidades que determina, com probabilidade 1, a base de irracionalidade.
16:00 – 16:25 - Rafael Moreira (3.º ano FC/UP): Quaterniões e a equação n = a² + b² + 7c² + 7d²

Nesta apresentação vou explicar como álgebras de quaterniões são utilizadas para encontrar as soluções de equações diofantinas, como por exemplo o Teorema de Lagrange. Também vou demonstrar como encontramos a solução da equação n = a² + b² + 7c² + 7d² desenvolvendo novas ferramentas para o estudo de quaterniões.
16:30 – 17:00 Coffee Break
17:00 – 17:25 - Rafael Inácio (2.º ano FC/UP): Por que é tão difícil provar a conjetura de Catalan-Dickson?

Darei conta de várias propriedades das sucessões aliquot -- sugeridas por análise computacional e que demonstrarei em geral -- que elucidam sobre a complexidade do sistema dinâmico que lhes está associado.
17:30 – 17:55 - Tiago Mourão (3.º ano IST/UL): A razão topológica do Teorema de Abel

Pensando em fórmulas resolventes como torres de espaços de revestimento, é possível demonstrar o Teorema de Abel de duas formas diferentes, uma delas mais baseada em conceitos topológicos e a outra utilizando superfícies de Riemann.

18:00 – 18:25 - Dinis Pratas (2.º ano FCT/UNL): A Álgebra de Calkin e os Operadores de Fredholm

Nesta apresentação irei fazer um estudo mais aprofundado de Operadores de Fredholm através das ferramentas fornecidas pela teoria das Álgebras de Operadores. Para tal, começarei por apresentar de forma breve o conceito de Álgebras C* e W*, enunciando alguns dos resultados mais importantes de Teoria de Gelfand no que toca a versões comutativas destas álgebras. De seguida, irei introduzir operadores de Fredholm e utilizar conceitos da primeira parte para enunciar propriedades desta classe de operadores, bem como fornecer uma caracterização destes.
18:30 – Cocktail
19:30 – Jantar

Domingo 27 de julho
09:30 – 09:55 - Laura Guerreiro (2.º ano IST/UL): Atirar uma moeda ao ar com teoria de jogos 

Iremos analisar cenários em que n participantes, cada um com uma preferência pública sobre o resultado do processo ("cara" ou "coroa"), querem atirar uma moeda ao ar. Como poderemos garantir que o resultado é "Game-theoretically fair"? Isto é, que (1) quando todos os participantes são honestos, este é "cara" ou "coroa" com probabilidade 1/2, e (2) mesmo quando até t participantes são desonestos estes não conseguem influenciar o resultado a favor das suas preferências. Exploramos o desenho de tais protocolos num cenário em que todos os participantes (incluindo os participantes desonestos) são computacionalmente limitados e falam apenas uma vez, comparando-os com resultados já conhecidos para uma noção de segurança mais forte, em que os participantes desonestos não conseguem influenciar de todo o resultado do processo.
10:00 – 10:25 - Filipe Almeida (3.º ano IST/UL): A dimensão fractal do gráfico da função de Riemann

Nesta apresentação exploramos a natureza fractal do gráfico da função de Riemann, uma função notoriamente irregular e de difícil análise. Iniciamos com uma breve revisão do conceito de dimensão fractal, com foco na dimensão de Minkowski (ou box-counting) e avançamos depois para uma análise comparativa entre duas funções clássicas: a função de Weierstrass — frequentemente apresentada como um exemplo paradigmático de função contínua mas não diferenciável — e a função de Riemann, cuja estrutura oscilatória e auto-similar a tornam especialmente delicada do ponto de vista fractal. Discutiremos as diferenças fundamentais entre ambas, sobretudo no que diz respeito à determinação, ou estimativas, das suas dimensões fractais, apresentando as ideias-chave para isso.
10:30 – 10:55 - Jaouen Ramalho (2.º ano FC/UL): Transformada de Laplace - Lema de Newman e Transições de Medida

Nesta apresentação, exploramos como o Lema de Newman — previamente usado na demonstração do teorema dos números primos — conduz a uma condição suficiente de convergência da transformada de Laplace ao longo de uma reta vertical. Essa condição será generalizada para a transformada de Laplace bilateral e para a transformada de Mellin. Em seguida, analisamos funções que admitem representação integral por meio da transformada de Laplace bilateral, sob a forma de integrais de Riemann–Stieltjes. Em particular, investigamos a relação entre duas representações integrais de uma mesma função, válidas em faixas de convergência distintas, destacando os mecanismos de transição entre as duas.
11:00 – 11:30  Coffee Break
11:30 – 11:55 - Tiago Morgadinho (3.º ano ISEG/UL): O Problema de Siegel

O teorema da linearização de Siegel-Bruno permite simplificar dinâmicas complexas através com funções adequadas. Nesta apresentação, proponho uma exposição das metodologias e técnicas envolvidas na obtenção deste teorema — técnicas essas que abrangem diversas áreas da matemática. Começarei por fazer uma revisão do conceito de série formal, ferramenta essencial para a resolução do problema de Siegel no espaço das séries formais. Em seguida, abordarei o caso hiperbólico, resumindo as ideias principais que conduzem à demonstração do teorema de Siegel neste contexto. Por fim, anunciarei o que será desenvolvido até ao final da bolsa: o estudo do caso elíptico, cuja análise levanta dificuldades subtis e requer técnicas adicionais.
12:00 – 12:50 - Jorge Buescu (Convidado): Em busca dos zeros perdidos: a Hipótese de Riemann e a música dos primos
13:00 – 14:30 Almoço

14:30 – 6 apresentações para todo o grupo (tutores dispensados)

16:30 – Encerramento e lanche de despedida

Workshops 2024/25

Programa do dia 14 de Dezembro de 2024 

(1.º Workshop, no hotel Vila Galé em Coimbra)

Sessão paralela da área da Matemática:

9:00- Apresentação

9:10 Palestra de Bruno Loff (Professor na FC/UL): A invenção do computador. 

10:00 - Palestra de Dantas Serra (bolseiro em 22/23 e 23/24): Como foi o programa Novos Talentos?

10:30 - 11:15: Coffee break

Continuação dos trabalhos  (5 minutos apresentação + 5 minutos de discussão)         

11:15 - Jaouen Ramalho (2.º ano FC/UL): Tauber, Newman e o Teorema dos números primos

11:25 - David Furtado (1º ano mestrado FCT/UC): Números de Entropia

11:35 - Laura Guerreiro (2.º ano IST/UL): Como atirar uma moeda ao ar

11:45 - Francisco Cunha (3.º ano IST/UC): Analogias - formalizações, propriedades e aplicações

11:55 - Dinis Pratas (2.º ano FCT/UNL): Operadores de Toeplitz em l^2

12:05-12:20 Pausa

12:20 - Gil Melo (2.º ano IST/UL): Hilbert space operators and invariant subspaces

12:30 - Rafael Inácio (2.º ano FC/UP): Interpretação probabilística da conjetura de Catalan

12:40 - Rui Rodrigues (2.º ano FC/UL): Semigrupos finitos como divisores de grupos e semigrupos aperiódicos

13:00 - 14:30: Almoço

14:30 - Rafael Moreira (3.º ano FC/UP): Fatorização em Álgebras de Quaterniões

14:40 - Tiago Mourão (3.º ano IST/UL): A razão topológica do Teorema de Abel

14:50 - Pedro Moreira (3.º ano FC/UP): Teoria Ergódica das Frações Contínuas

15:00 - Filipe Almeida (3º ano IST/UL): Dimensão de Hausdorff e conjuntos fractais

15:10 -15:30 Pausa

15:30 - Mariana Costa (3.º ano IST/UL): Grafos expansores e aplicações

15:40 - Afonso Alves (1.º ano mestrado IST/UL): ABJM não-perturbativo

15:50 - Bianca Correia (2.º ano ISTCE): As KAN: as substitutas dos MLP?

16:00 - 16:30: Coffee break

16:30 - Luís Barbosa (2.º ano FE/UP): Aprendizagem de representação

16:40 - Tiago Morgadinho (3.º ano ISEG/UL): O Problema de Siegel

16:50 - Filipe Santos (1.º ano mestrado IST/UL): A Equação de Wong

17:00 - Encerramento da sessão da Matemática

18:00 Cocktail

19:30 Jantar

Programa dos dias 22 e 23 de março de 2025

(2.º Workshop, online)´

link zoom: https://videoconf-colibri.zoom.us/j/98013865236?pwd=bUbbussOlPdDZhk6tSSRdx6xAfd5cn.1

Sábado

9:15 – 09:20 Abertura

09:20 - 09:35 - Filipe Santos (1.º ano mestrado IST/UL): A Equação de Wong

Resumo: E se a carga elétrica fosse um vetor? Nesta apresentação, respondemos a esta pergunta, e tentamos perceber qual seria o comportamento de um sistema de N partículas carregadas sujeitas a um campo elétrico generalizado.

09:40 - 09:55 - Afonso Alves (1.º ano mestrado IST/UL): Revoluções no Caos de Buracos Negros

Resumo: Muito recentemente, fundamentada pela classificação de buracos negros, a correspondência holográfica motivou o estudo de espaços de Hibert e da sua cohomologia. O objetivo deste trabalho é aplicar essas ideias à teoria de gravidade N=2 Super JT, descrevendo a teoria ABJM sob dadas restrições.

10:00 - 10:15 - Gil Melo (2.º ano IST/UL): Isometrias parciais e espaços invariantes

Resumo: Esta apresentação incide sobre espaços de operadores num espaço de Hilbert que deixam invariante uma dada família totalmente ordenada de isometrias parciais. Apresentamos condições necessárias e suficientes para que tais espaços formem uma álgebra, e discutimos resultados recentes sobre estas álgebras.

10:20 - 10:35 - Dinis Pratas (2º ano FCT/UNL): Introdução à Teoria Espectral e invertibilidade de Operadores de Laurent/Toeplitz

Resumo: Teoria de Operadores é uma área predominante do meio académico atual, sendo o seu estudo em espaços de Hilbert de extrema importância. Com esta apresentação pretendo expor alguns conceitos de Teoria de Operadores, bem como fornecer uma breve introdução a uma classe particular de operadores em que me irei focar até ao resto do programa. Começaremos por falar no conceito de bases ortonormadas e séries de Fourier, avançando de seguida para a introdução de certos tipos de operadores importantes na nossa discussão. Apresentarei também alguns conceitos que nos permitirão fazer um estudo adequado da invertibilidade de equações envolvendo estes operadores. Por fim, farei uma breve introdução a operadores de Laurent e Toeplitz em ell^2(Z) e ell^2 respectivamente, aplicando alguns dos conceitos apresentados previamente.

10:40 - 11:00 Pausa

11:00 - 11:50 - António Girão (Universidade de Oxford): Combinatorics: an overview 

Abstract: In recent years combinatorial methods have proved very useful in tackling many problems in various areas of Mathematics. In this talk, I will give an overview of some combinatorial ideas and techniques always guided by a concrete open conjecture or problem. 

12:00 - 12:15 - Luís Barbosa (2.º ano FE/UP): Análise Neuronal de Componentes Principais

Resumo: A Análise de Componentes Principais (ACP) permite realizar num conjunto de dados sob a forma de "embedding" uma transformação linear de tal forma que os eixos saiam ordenados por importância, o que pode ser usado para compressão e identificação de características relevantes nos dados. O trabalho apresentado recria a ACP utilizando redes neuronais, um primeiro passo para a introdução de não-linearidade e outras melhoras na ACP.

12:20 - 12:35 - Bianca Correia (2.º ano ISTCE): Teorema de Aproximação Universal para KANs

Resumo: Pretendemos neste trabalho responder à questão: Estarão as funções contínuas contidas nas KAN? Para isso, reintroduzimos o tema com uma breve explicação sobre as MLPs e as KANs, apresentamos sucintamente a prova do Teorema de Aproximação Universal (TAU) para as MLPs e as demonstrações relativas ao TAU para KANs, considerando o espaço das "funções base" os splines e os polinómios.

12:40 - 12:55 - Mariana Costa (3.º ano IST/UL): Grafos expansores e a conjetura de Alon

Resumo: Nesta apresentação, discutimos grafos expansores e a Conjetura de Alon, que estabelece um limite para o segundo valor próprio da matrix de adjacência de um grafo gerado aleatóriamente. Em particular, analisamos uma demonstração desta conjetura baseada no trace method, destacando os principais passos da argumentação.

13:00 - Fim do primeiro dia

Domingo

09:20 - 09:35 - Laura Guerreiro (2.º ano IST/UL): Atirar uma moeda ao ar com teoria de jogos

Resumo: Nesta apresentação iremos apresentar o conceito de Game-theoretically fair coin tossing com vários participantes, alguns deles corrompidos, discutindo especialmente o modelo em que cada participante fala apenas uma vez. Analizaremos tanto cenários em que o adversário tem capacidade ilimitada - Information-Theoretic -, quuanto cenários em que o adversário é limitado computacionalmente - Computational Setting -, discutindo para que valores n de participantes e t corrupções é possível criar protocolos seguros.

09:40 - 09:55 - Rafael Inácio (2.º ano FC/UP): Padrões de Crescimento de s

Resumo: A função s(n) soma os divisores próprios de cada número natural n. Sobre o sistema dinâmico gerado por s, não se sabe se as órbitas são todas limitadas. Em particular, para números tão pequenos como 276, ainda não se provou se as respetivas órbitas têm máximo. Apesar da dificuldade em resolver este problema, há indícios de que, em média, as órbitas decrescem. Por outro lado, estudos numéricos recentes sugerem que os termos tendem a crescer. Nesta apresentação, divulgarei mais detalhes sobre o que conhece acerca do crescimento das órbitas de s.

10:00 - 10:15 - David Furtado (1º ano mestrado FCT/UC): Espaços de Funções

Resumo: Fundamentos e alguns resultados sobre espaços de funções, como por exemplo espaços de Sobolev.

10:20 - 10:35 - Pedro Moreira (3.º ano FC/UP): Irracionalidade e Aproximações Diofantinas

Resumo: Será apresentada uma dicotomia que advém da integrabilidade do logaritmo da função quociente parcial, relativamente a medidas “continued fraction mixing” para a transformação de Gauss. 

10:40 - 10:55 - Filipe Almeida (3º ano IST/UL): Pode um gráfico de uma função contínua ter dimensão diferente de 1?

Resumo: Nesta apresentação, mostraremos, primeiro, como funções reais de variável real, com regularidade lipschitziana, têm gráficos de dimensão um, como subconjuntos do plano cartesiano. Pelo que, necessariamente, para se obterem gráficos de funções contínuas com dimensão superior, há que investigar funções contínuas não diferenciáveis. A clássica família de funções de Weierstrass, contínuas com regularidade Hölder, mas não diferenciáveis em ponto algum, são o exemplo mais famoso e paradigmático, que mostraremos ter gráficos de dimensão fractal entre 1 e 2. Terminaremos com outro exemplo de função contínua, mas não diferenciável em quase toda a parte: a função de Riemann.

11:00 - 11:20 Pausa

11:20 - 11:35 - Tiago Morgadinho (3.º ano ISEG/UL): O Problema de Siegel

Resumo: A apresentação irá incidir na exposição dos resultados teóricos necessários para uma compreensão do problema de Siegel, como é caso de resultados no domínio das séries formais utilizadas para representar uma função como um tuplo de dimensão infinita.

11:40 - 11:55 - Tiago Mourão (3.º ano IST/UL): Teorema de Abel

Resumo: O Teorema de Abel diz que não existe uma fórmula resolvente por radicais para polinómios de grau maior ou igual a 5. Nesta apresentação, iremos dar a ideia geral duma demonstração topológica deste teorema, usando espaços de revestimento. E explicaremos o porquê do número "5" ser tão especial.

12:00 - 12:15 - Rafael Moreira (3.º ano FC/UP): Anéis de inteiros de corpos numéricos quadráticos

Resumo: Nesta apresentação, vou explicar um algoritmo que nos permite determinar, em tempo finito, quando um anel de inteiros de um corpo numérico quadrático é ou não um DIP. Também vou apresentar semelhanças e diferenças com o caso das álgebras de quaterniões.

12:20 - 12:35 - Jaouen Ramalho (2.º ano FC/UL): Teorema dos Números Primos via Lema de Newman

Resumo: O Teorema dos Números Primos (TNP) descreve a distribuição assintótica dos números primos, fornecendo uma estimativa para a quantidade de primos menores que um dado número real positivo. Conjeturado por Gauss, após passar pelas mãos de Chebyshev e Riemann, o teorema foi finalmente demonstrado independentemente por Hadamard e de la Vallée Poussin em 1896, utilizando análise complexa e o facto que a função zeta de Riemann não se anula para ℜ(z)≥1. Dada a sua importância, outras demonstrações surgiram. Em 1949, Selberg e Erdös apresentaram provas elementares, isto é, que não utilizam análise complexa. Já em 1980, Newman propôs uma abordagem inovadora e concisa, baseada somente em análise complexa básica e num teorema tauberiano para a transformada de Laplace, conhecido como Lema de Newman. Nesta apresentação, explorarei esse lema e a sua aplicação à demonstração do TNP, destacando a sua elegância e simplicidade em relação às abordagens clássicas.

12:40-12:55 - Francisco Cunha (3.º ano IST/UL): Funções que preservam analogias

Resumo: Funções que preservam relações: conexão de Galois e condições de fecho. Aplicação aos classificadores analógicos. O caso da analogia em média generalizada de potência p: caracterização explícita dos classificadores analógicos neste modelo. Estimativa de erro cometido ao usar o princípio de inferência analógica para funções a uma distância positiva da classe de funções que preservam analogias (AP).

13:00 - Encerramento