Programa:
12 de julho, 6.ª feira
18:00 - 20:00 Sessão plenária das 18:00 às 20:00 (auditório 2 da Fundação Calouste Gulbenkian).
20:00 - 21:30 Jantar, (3º piso da FCG).
13 de julho, sábado (Matemática: sala 1) Para ver os slides, carreguem nos links dos títulos
9:00-10:00 James Kennedy (Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa): A forma do som
Resumo: Exploraremos a matemática usada para modelar a geração e a propagação de sons. Começando só com senos e cossenos, passaremos por várias áreas da análise matemática moderna como a teoria de equações diferenciais, a análise harmónica e a análise funcional. Mostraremos como é que se podem ouvir as dimensões de uma sala ou propriedades de um tambor, como é que se podem levitar objetos pequenos só usando altifalantes, e porque é que a grande maioria dos instrumentos musicais gera os tons através de meios aproximadamente unidimensionais (como cordas, ou tubos estreitos em instrumentos de sopro).
10:00-10:30 Manuel Madelino (2.º ano FCT/UNL): Existência de soluções para inclusões diferenciais
Resumo: Nesta apresentação irei falar de resultados sobre a existência e não existência de soluções para inclusões diferenciais com condições de fronteira, explorando também os vários tipos de solução. Mais especificamente, irei falar da construção piramidal, da configuração T4 e de um teorema de existência para o caso vetorial.
10:30-11:00 Eduardo Guerreiro (2.º ano IST/UL): O problema do empacotamento em dimensão 8
Resumo: Na prova do problema do empacotamento esférico em dimensão 8, Maryna Viazovska apresenta duas “funções mágicas”, definidas a partir de objetos modulares, que satisfazem as condições encontradas por Cohn e Elkies, resolvendo o problema. Na última apresentação apresentámos estas condições. Agora, o objetivo é motivar e estudar a construção destas funções.
11:00 - Coffee break
11:30-12:00 Duarte Pinho (1.º ano mestrado FC/UP): Eventos extremos em sistemas dinâmicos
Resumo: Considero vários sistemas dinâmicos discretos num espaço métrico. Apresentarei resultados sobre a distribuição da distância mínima entre as trajetórias geradas por estes sistemas dinâmicos.
12:00-12:30
12:50 - Fotografia
13:00 - Almoço
14:30-15:00 António Neves (3.º ano IST/UL): Teoria de Ehrhart em Diagramas Tóricos
Resumo: Diagramas tóricos são polítopos simpliciais e tais que os vértices de cada faceta formam uma base do reticulado Z^d. Esta apresentação introduz, do ponto de vista da teoria de Ehrhart, o conceito de préquantização que permite obter diagramas tóricos partindo de polítopos de Delzant.
15:00-15:30 André Morais (3.º ano IST/UL): Classificação das Superfícies de Del Pezzo
Resumo: Nesta apresentação procedemos à caracterização e classificação das superfícies de Del Pezzo, partindo dos conceitos base de geometria algébrica necessários para a sua construção. Começamos com uma revisão destes conceitos base e a introdução dos objetos necessários para este trabalho e seguimos com a caracterização desenvolvida tanto para as superfícies de Del Pezzo Smooth como para as singulares através da contagem do número de retas contidas em cada superfície e identificação das singularidades presentes nas de segundo tipo.
15:30-16:00 José Gomes (2.º ano Univ. do Minho): Dimensão topológica e dimensão fractal
Resumo: Em 1975, Mandelbrot criou o termo fractal para descrever objetos geométricos que desafiam a suavidade de uma curva usual. Nesta apresentação, vamos revisitar brevemente as curvas que preenchem o espaço e veremos que as suas funções coordenadas têm um comportamento estranho, típico de um objeto fractal. De seguida formalizar-se-á a medida de Lebesgue e dimensão de Lebesgue, que correspondem às formas mais intuitivas de medir e caracterizar conjuntos no espaço euclidiano. Veremos, como exemplo, que o conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue nula. Mas também veremos que é possível criar conjuntos semelhantes com medida de Lebesgue não nula. Depois, compreenderemos a dimensão de Hausdorff, que pode tomar valores não inteiros, e por isso diz-se que é um exemplo de uma dimensão fractal. Veremos que o conjunto de Cantor tem uma dimensão de Hausdorff não nula apesar de ter dimensão de Lebesgue nula. De forma geral, podemos definir um fractal como um objeto com dimensão de Hausdorff estritamente superior à sua dimensão topológica ou de Lebesgue. Veremos que é possível determinar a dimensão de Hausdorff dos gráficos das funções coordenadas de algumas curvas que preenchem o espaço. Para os gráficos das funções coordenadas das curvas de Peano e de Hilbert essa dimensão é estritamente superior a 1 e não é inteira.
16:00-16:30 Dantas Serra (3.º ano FCT/UC): Um caso particular da Conjectura de Saxl
Resumo: Durante a apresentação serão apresentadas as bases de Teoria da Representação de grupos necessárias para a compreensão de uma abordagem à conjectura de Saxl bem como o uso desta abordagem para estudar um caso particular do problema.
16:30 - Coffee break
17:00-17:30 João Santos (2.º ano ISEG/UL): Caos na família logística
Resumo: Nesta sessão provaremos caos "à Devaney" na família logística usando a noção de conjugação topológica a um shift de dois símbolos.
17:30-18:00 José Santos (2.º ano FC/UP): Tabela de caracteres do grupo de Mathieu M11
Resumo: Nesta apresentação irei mostrar o fim do meu projeto, construindo a tabela de caracteres do grupo de Mathieu M11 e apresentando alguns resultados e teoremas necessários para a construção da mesma.
18:00-18:30 João Passadiço (2.º ano FC/UP): Estrutura de Poisson Transposta num produto semidireto
Resumo: Apresentação e caracterização de uma álgebra de Poisson transposta construída através duma álgebra de Lie formada a partir do produto semidireto da álgebra sl_2 com a sua representação natural de dimensão 2
18:30 - Cocktail
19:30 - Jantar
14 de julho, domingo (Matemática sala 1)
9:00-10:00 José Félix da Costa (Instituto Superior Técnico): Exploring the Philosophical Perspectives of Future Robots
If computers or robots were to replace human scientists, should they adhere to our established principles of the Philosophy of Science? We have been taught to value consistency, Popperian falsifiability, and Occam’s razor. While these traditional philosophical principles are valuable, they might limit the exploration of complex phenomena that require more nuanced or multifaceted approaches. Specific contexts exist where these principles falter when confronted with reality, as traditional scientific methods may reduce cognitive power.
Computers may also surpass humans in scientific research because traditional philosophical attitudes like consistency might limit human learning capabilities.
Karl Popper advocated for falsifiability as a criterion for scientific theories -- if a theory cannot, in principle, be proven false, it is not scientific. However, computational learning systems may behave in ways that defy straightforward falsifiability; imposing falsifiability may compromise learning.
Similarly, while Occam's Razor favours more straightforward explanations over more complex ones, computer learning systems favouring simplicity might reduce their cognitive power.
This talk formally highlights the limitations of traditional scientific and philosophical principles through the mathematics of computability (which will be considered softly).
10:00-10:30 Mariana Costa (2.º ano IST/UL): Complexidade Parametrizada de Problemas sobre Códigos e Reticulados
Resumo: Apesar de há mais de 20 anos ser conhecida a complexidade clássica de problemas em códigos e reticulados, a sua complexidade parametrizada ainda não está completamente determinada. Nesta apresentação, vou demonstrar a W[1]-hardness do Shortest Vector Problem (SVP) na norma ell_p para qualquer p>1, para qualquer fator de aproximação constante, nomeadamente através da redução Fixed-Parameter Tractable (FPT) de Khot e Haviv-Regev. Irei também explicar porque é que esta redução falha no caso p=1 e apresentar possíveis direcções para colmatar esta falha, como o uso de códigos lineares em Z4.
10:30-11:00 Pedro Pinto (2.º ano Univ. de Aveiro): LDPC-based Niederreiter - Oblivious Transfer
Resumo: Nesta apresentação, exploraremos os fundamentos da Teoria de Códigos, introduzindo duas importantes famílias de códigos: os Goppa Codes e os LDPC Codes. Esses códigos têm aplicações significativas na criptografia pós-quântica, especialmente sob a amplamente estudada "McEliece assumption". Avançaremos para apresentar um novo esquema criptográfico, o LDPC-based Niederreiter, que integra tanto os Goppa Codes quanto os LDPC Codes. Este esquema é a base para o desenvolvimento de um novo protocolo de Oblivious Transfer, onde a análise de segurança e eficiência irá ser apresentada.
11:00 - Coffee break
11:30-12:00 Kira Morozova (2.º ano Univ. de Aveiro): Propriedades métricas via distribuidores uniformes
Resumo: Nesta apresentação vou alargar a definição para completude de cauchy (por meio de adjuntas e criar o scaffolding necessario para alargar análogamente o conceito de totalmente limitado e compacto.
12:00-12:30 João Areias (1.º ano mestrado FCT/UC): Adjunções de Galois e operadores de interior e fecho em espaço sub-fit
Resumo: O objetivo desta apresentação consiste em expor o conceito de adjunção entre conjuntos parcialmente ordenados e a sua importância na topologia sem ponto. Iremos depois apresntar algumas caracterizaçoes deste conceito em termos de operadores de fecho e inteiror. No final vamos referir brevemente as relações entre as adjunções e as condições de separação.
12:30-13:00 João Vital (3.º ano FC/UL): Os dois critérios de Cartan para álgebras de Lie complexas
Resumo: Nesta sessão serão revistas algumas definições inicias como ideal de uma álgebra de Lie e a representação adjunta, tal como serão apresentados novos conceitos (e.g. a forma de Killing de uma álgebra de Lie), de modo a poder introduzir os dois critérios de Cartan. Estes dois resultados são importantes no estudo de álgebras de Lie complexas, uma vez que facilitam a determinação de propriedades importantes, nomeadamente, se são semissimples e/ou resolúveis. Será mencionada também a relevância destas propriedades.
13:00 - Almoço
14:00-14:30 Filipe Viseu (2.º ano IST/UL): Representações quasi-regulares dos grupos de Higman-Thompson
Resumo: Representações em espaços de Hilbert são uma ferramenta poderosíssima no estudo de grupos e das suas ações. Nesta apresentação discutimos uma vasta classe de representações dos grupos de Higman-Thompson construídas a partir de representações descritas por Ola Bratteli e Palle Jorgensen em 1999 no contexto das Álgebras de Cuntz. Um caso específico destas representações, as Interval Map Representations, já foram em parte estudadas por ex-bolseiros. Mostra-se que todas as representações permutativas dos grupos de Higman-Thompson são equivalentes a somas diretas de representações quasi-regulares induzidas por subgrupos estabilizadores de um certo vetor. Aplica-se a teoria já desenvolvida sobre representações quasi-regulares, em particular o Teorema de Mackey, para responder a questões relacionadas à irredutibilidade desta classe de representações.
14:30-15:00 Joana Ventura (2.º ano FC/UL): Propriedades da Existência e da Disjunção
Resumo: O objetivo principal desta apresentação é demonstrar as propriedades da existência e da disjunção. Numa primeira tentativa, será utilizada a realizabilidade modificada, que permite passar de uma linguagem de primeira ordem, L, para uma linguagem de tipos finitos, L^\omega. Serão também introduzidos conceitos e teoremas necessários para a demonstração. Numa segunda tentativa, será usada a realizabilidade modificada com verdade. Em ambas as tentativas, serão aplicados os mesmos instrumentos, sendo que, na segunda, é possível utilizar um lema que permite chegar mais perto das propriedades da existência e da disjunção.
15:00-15:30 Rafael Moreira (2.º ano FC/UP): Polinómios sobre anéis não comutativos
Resumo: É um fato conhecido que os polinómios sobre domínios de integridade (comutativos) têm um número finito de raízes, mas isso nem sempre é verdade para polinómios sobre anéis não comutativos, por exemplo, os quaterniões com coeficientes racionais não satisfazem esta propriedade. Nesta apresentação, vou explorar o número de raízes dos polinómios sobre anéis não comutativos, apresentando algumas definições relevantes sobre o tema e resultados conhecidos. Por fim, vou expandir estes resultados para alguns subanéis de quaterniões generalizados, apresentando os resultados obtidos até agora, e relações com algumas equações diofantinas, como por exemplo, as equações do tipo Ramanujan–Nagell.
15:30-16:00 Alexandra Varela (2.º ano ISEG/UL): Programação Estocástica no Arc Routing Problem
Resumo: O Arc Routing Problem (ARP) é um problema de otimização definido num grafo G=(V,A) (sendo A o conjunto de ligações do grafo), onde existem certas ligações entre nodos (elementos de V) a serem visitadas, às quais está associado um tempo de serviço. Sendo assim, o principal objetivo é determinar rotas que garantam que todas estas ligações são visitadas e que o processo é feito no menor tempo possível. Neste projeto, estudamos o ARP considerando que os tempos de serviço são altamente influenciados por fatores que causam incerteza. Usamos, por isso, programação estocástica, considerando um grande conjunto de cenários para o problema determinístico. Sendo este um problema de tal dimensão difícil de resolver, decompomo-lo numa série de problemas mais pequenos e analisamos as suas soluções, permitindo obter alguns resultados que facilitem a resolução do problema inicial. Esta parte final do projeto centra-se principalmente na análise de resultados.
16:00 - Lanche de despedida