Dia 14 de julho de 2023 (bolseiros e comissão científica)
19h30: Cocktail
20h00: Boas-vindas e keynote de Administrador António Cruz Serra
20h15: Início de jantar
21h15: Mesa redonda e Q&A (com participação de membros das comissões)
22h30: Fim
Dia 15 de julho de 2023
9:30 – Boas-vindas (breve intervenção do Administrador e Diretor do SBG)
9:45 – Início dos trabalhos
09:45-10:05 Rui Wang (2.º ano IST/UL): Conjectura de Pólya em superfícies cilíndricas
Exposição da conjectura de Pólya sobre os valores próprios do Laplaciano sob condições de fronteira de Dirichlet e a sua relação com o resultado assintótico de Weyl, demonstração no caso do retângulo, e exploração da sua validade em superfícies cilíndricas e outros domínios.
10:05-10:25 Filipe Gomes (3.º ano FCT/UC): Inverter geometrias e equações de derivadas parciais completamente não lineares
O nosso trabalho insere-se no contexto de problemas elípticos não lineares, incluindo super soluções para equações elípticas totalmente não lineares e classes de viscosidade. O objetivo principal da nossa investigação é generalizar resultados recentes para equações em que o termo de drift é apenas mensurável. Em particular, provamos um resultado abstrato, designado na literatura como "flipping geometry", que garante que o controlo geométrico de um lado conduz a estimativas de ambos os lados para funções que satisfaçam condições gerais. Com este resultado, demonstramos uma série de teoremas de regularidade sob pressupostos naturais. Entre os principais elementos utilizados nas nossas descobertas, encontramos uma desigualdade fraca do tipo Harnack e um princípio de máximo generalizado.
10:30-10:50 Pedro Ronda (3.º ano IST/UL): Evolução global de soluções espacialmente homogéneas das equações de Einstein.
Será apresentado um teorema relativo à evolução futura de soluções espacialmente homogéneas anisotrópicas (tipo Bianchi I) das equações de Einstein para um fluido perfeito com potenciais monomiais. Para tal, alguns aspetos da apresentação anterior serão revisitados e
alguns resultados serão apresentados.
10:50-11:10 Bernardo Gomes (2.º ano UA): Teoria da medida e a sua aplicação no estudo da classe de Schwarz e do espaço L^2
Nesta apresentação serão, primeiramente, apresentados alguns resultados relevantes da Teoria da Medida e, numa segunda etapa, será explorado o espaço das distribuições temperadas (dual da classe de Schwarz) e as relações que se podem definir entre espaços de funções, quando vistos no universo das próprias distribuições temperadas.
11:15 – Coffee break
11:45 – Continuação das sessões
11:45-12:05 Pedro Costa (2.º ano IST/UL): Sobre uma nova classe de álgebras de operadores
Seja B(H) o espaço dos operadores lineares limitados num espaço de Hilbert H, e considerem-se as isometrias parciais nele contidas. Como foi mostrado por P.R. Halmos e J.E. McLaughlin, as isometrias parciais em B(H) formam um conjunto parcialmente ordenado para uma relação de ordem (parcial) apropriada.
Nesta apresentação vamos mostrar como é possível obter uma classe de sub-álgebras de B(H) formadas pelos operadores que, em certo sentido, preservam a ordem mencionada. A estrutura destas álgebras será analisada dando especial ênfase a questões relacionadas com densidade.
12:10-12:30 Rodrigo Luís (3.º ano FCUL): Cálculos explícitos do Grupo de Brauer para diversos Corpos
Historicamente, o Grupo de Brauer, definido por Richard Brauer em 1929, surgiu das tentativas de classificar álgebras de divisão sobre um determinado corpo. Nesta apresentação daremos alguns conceitos preliminares e depois procederemos ao cálculo explícito do grupo para diversos corpos, nomeadamente corpos finitos, o corpo dos números reais, corpos algebricamente fechados e quase-algebricamente fechados. Se o tempo o permitir, apresentaremos também dois isomorfismos que descrevem o Grupo de Brauer dos números racionais e dos números p-ádicos.
12:35-12:55 Nuno Carneiro (3.º ano IST/UL): Representações de grupos de Thompson e álgebras de Cuntz
Os grupos de Thompson F, T e V constituem os primeiros exemplos de grupos infinitos contáveis com um número finito de geradores e relações, introduzidos nos anos 60 por Richard Thompson, sendo mais tarde generalizados nos chamados grupos de Higman-Thompson F_n, T_n e V_n. Neste trabalho, estudamos representações unitárias dos grupos V_n, uma ferramenta importante para perceber as suas propriedades. Em particular, exploramos representações de V_n induzidas por restrição a partir de representações das álgebras de Cuntz e ainda representações de V induzidas por restrição segundo novos mergulhos em V_n recentemente descobertos (2018).
13:00 – Almoço (networking entre bolseiros de diferentes áreas)
14:30 – Continuação das sessões por área
14:30-14:50 David Moreno (3.º ano FCUL): Teoria da Representação de Grupos
Um breve resumo poderá ser “Nesta apresentação irei recordar o que são os caracteres e os supercaracteres de um grupo G. De seguida irei apresentar a construção dos supercaracteres no caso em que G é o grupo unitriangular sobre um corpo F_q onde q é a potência de um primo i.e. matrizes com 1’s na diagonal, 0’s nas entradas i,j quando i>j e entradas em F_q quando i<j. Irei proceder ao cálculo de um dos supercaracteres quando n=6. Irei também apresentar a ponte entre esta teoria e as Variedades algébricas.
14:50-15:10 Martim Paiva (3.º ano FCUP): Um algoritmo para o cubo de Rubik e a ordem do seu Grupo
Nesta apresentação irei abordar uma construção de um algoritmo para resolver o cubo de Rubik, e mostrarei como, a partir dele, é possível determinar a ordem do Grupo de Rubik.
15:15-15:35 Dantas Serra (2.º ano FCT/UC): Conjectura de Cerný - Obtendo majorantes a partir da representação linear de um autómato
Nesta exposição será apresentado um método para garantir a conjectura de Cerný para um autômato do tipo One-Cluster com ciclo de comprimento p, onde p é um número primo. O método utiliza a representação linear do monóide livre associada ao autómato e além de resolver a conjectura para o ciclo de comprimento p, permite uma solução parcial para o ciclo de comprimento p², que será discutida no fim da apresentação. O caso do ciclo de comprimento p foi resolvido por Benjamin Steinberg, usando esse método.
15:40 – Coffee Break
16:00 – Dinâmica de grupo facilitada por João Santos Pereira para os bolseiros| Reunião entre FCG e CCs sobre próximos passos do programa.
Nota: os tutores estão dispensados desta última parte que implica a dinâmica dos bolseiros e a reunião entre FCG e CCs sobre os próximos passos.
18:00 - Partida.
Workshops anteriores em 2022/23