2.º workshop (2 de abril de 2022, online - Zoom )
Programa
14h15 - Abertura
14h20 – Sílvia Anjos, Instituto Superior Técnico.
Título: Uma introdução à Geometria Simpléctica.
Resumo: A Geometria Simpléctica é uma geometria em certos espaços de dimensão par. As suas origens encontram-se no estudo de sistemas mecânicos clássicos, como o de um planeta orbitando o sol. Nos últimos 35 anos esta área desenvolveu-se muito rapidamente e em direções muito interessantes, tornando-se numa área de investigação estimulante, com aplicações em muitas outras áreas da matemática e da física. Nesta palestra vou explicar o que é uma estrutura simpléctica, algumas das suas propriedades básicas e alguns resultados fundamentais.
Slides da apresentação.15h10 – Nuno Arala Santos, aluno de doutoramento na Universidade de Warwick (bolseiro NTM em 2015/16 e 2016/17)
Título: Um raciocínio circular
Resumo: No início do século XX, Hardy e Littlewood revolucionaram o estudo das equações diofantinas com a descoberta do "circle method", que utiliza Análise de Fourier para contar soluções de equações nos inteiros. Nesta palestra, vamos introduzir uma versão simplificada deste método e usá-la para contar soluções de congruências polinomiais módulo um primo.
Slides da apresentação.15h45 - Intervalo
16h00 - Carla Morouço, 3.º ano, FCT/Universidade de Coimbra
Título: Classificador de extensões cindidas rali de grupos ordenados
Resumo: Ao contrário da categoria dos grupos, a categoria dos grupos ordenados não tem classificador de extensões cindidas. Por isso é natural perguntar quais as subclasses de extensões cindidas que admitem classificador. Provamos aqui que existe classificador para a classe de extensões cindidas em que o epimorfismo cindido é adjunto à direita da secção que o cinde.
Slides da apresentação.16h15 - Nuno Carneiro, 2.º ano, IST/Universidade de Lisboa
Título: Expansões assintóticas e Transformadas de Mellin
Resumo: A Transformada de Mellin fornece um método eficaz para calcular a expansão assintótica de certas funções, nomeadamente em casos em que são definidas por séries nos reais positivos. O método utilizado revela-se ainda particularmente útil quando os coeficientes das séries dependem de funções aritméticas, tendo aplicações importantes ao nível da computação, na análise da complexidade de algoritmos. Mostraremos ainda como o método pode ser estendido para obter o valor médio deste tipo de funções de forma sistemática.
Slides da apresentação.16h30 - João Camarneiro, 3.º ano, IST/Universidade de Lisboa
Título: Difusões Relativistas e Movimento Browniano
Resumo: Consideramos uma família de difusões relativistas e mostramos que convergem assintoticamente a um movimento browniano.
Slides da apresentação.16h45 - Francisco Nascimento, 3.º FCT/Universidade Nova de Lisboa
Título: Exponencial e logaritmo p-ádicos
Resumo: As funções exponencial e logaritmo fazem parte da bagagem matemática de todos nós. Neste seminário irei introduzir as funções exponencial e logaritmo p-ádicas e exibir algumas das suas principais propriedades.
Slides da apresentação.17h00 - Intervalo
17h15 - Ricardo Marques, 2.º ano FC/Universidade do Porto
Título: Fatorização com quaterniões
Resumo: Vai-se apresentar trabalho desenvolvido nalguns grupos "hiperesféricos" com ligações aos quaterniões e os seus usos em algoritmos de fatorização. Apresentar-se-ão ligações entre decomposições de inteiros em quaterniões ortogonais e possíveis algoritmos de fatorização de tempo sub-exponencial.
Slides da apresentação.17h30 - Rodrigo Luís, 2.º ano FC/Universidade de Lisboa
Título: Funções quase-periódicas
Resumo: Nesta apresentação serão exploradas duas definições (equivalentes) de função quase-periódica, as propriedades fundamentais e o conceito de valor médio de uma função quase-periódica. Serão ainda dados exemplos e aplicações relevantes para o tema.
Slides da apresentação.17h45 - Luís Machado, 3.º ano IST/Universidade de Lisboa
Título: Queda de uma barra elástica num buraco negro de Schwarzschild
Resumo: Começaremos com a apresentação do modelo matemático do movimento de uma barra num espaço-tempo arbitrário, através de um campo escalar. A partir do princípio de conservação de energia, conclui-se que este campo escalar tem de verificar a equação das ondas. Em seguida, analisaremos alguns casos simples, no espaço-tempo plano de Minkowski. Por fim, iremos pescar num buraco negro: recorrendo à equação das ondas analisaremos o caso de uma barra radial, num espaço-tempo de Schwarzschild, que parcialmente atravessa o horizonte de eventos mas em que a outra extremidade é segurada do lado de fora do buraco negro.
Slides da apresentação.18h00 – André Guimarães, 3.º ano IST/Universidade de Lisboa
Título: Núcleos de paired operators e aplicações
Resumo: Os operadores de Toeplitz constituem uma das principais classes de operadores não autoadjuntos no espaço de Hardy H^2, quer pelas suas propriedades, quer pelas suas aplicações. Pode mostrar-se que, em certo sentido, são equivalentes a uma subclasse dos chamados paired operators, com coeficientes particulares. Os núcleos dos operadores de Toeplitz, por sua vez, possuem propriedades muito ricas e por vezes surpreendentes e, para símbolos particulares, definem classes de funções de grande relevância nas aplicações, como, por exemplo, os chamados espaços modelo. Nesta exposição apresentam-se algumas propriedades dos operadores de Toeplitz e seus núcleos, bem como as questões que se levantam quando se procura generalizar essas propriedades à classe mais vasta dos paired operators. Referem-se ainda brevemente algumas aplicações possíveis dos resultados que se pretende obter.
Slides da apresentação.18h15 – Intervalo
18h30 - Pedro Roque da Costa, 1.º ano IST/Universidade de Lisboa
Título: Modelos matemáticos para Redes Neuronais biologicamente plausíveis
Resumo: Uma rede neuronal é um circuito composto por neurónios, inspirado no nosso cérebro, que se pretende treinar de forma a realizar tarefas, como por exemplo deteção de padrões, a classificação de imagens, ou realizar operações lógicas. Um dos algoritmos de treino de redes mais usado atualmente, Backpropagation, possui certas características que o afastam da realidade dos neurónios vivos. Como tal, em 2017 foi proposto o algoritmo Equilibrium Propagation, um algoritmo de aprendizagem alternativo baseado nos chamados "Energy-based models" que utilizam uma função de energia global. Neste projeto vai ser estudado o Equilibrium Propagation bem como generalizações do mesmo à dinâmica de campos vetoriais, que abandonam a necessidade da existência de uma função de energia. Vão-se procurar critérios de convergência do algoritmo, nas fases de inferência e de aprendizagem, e serão realizadas experiências numéricas.
Slides da apresentação.18h45 – Pedro Costa Dias, 2.º ano IST/Universidade de Lisboa
Título: Existência local para a equação de Schrödinger não-linear no toro unidimensional
Resumo: A equação de Schrödinger não-linear é uma equação diferencial parcial com importantes aplicações físicas e com uma teoria matemática profunda. Com ajuda da transformada de Fourier, iremos resolver a sua versão linear. Conseguimos ainda provar a existência e unicidade de soluções locais para equação de Schrödinger cúbica com condições periódicas (no toro) e valor inicial em espaços de Sobolev de índice inteiro.
Slides da apresentação.