Exponentielle dans une algèbre de dimension finie, un idéal des matrices carrées. Planche 1
Lemmes de Jacobson (1935) et Wielandt (1949), sous groupes à 1-paramètre dans les matrices carrées, premier théorème d'isomorphisme linéaire. Planche 2
Dérivation sur une algèbre et étude d'une relation algébrique impliquant une dérivation. Planche 3
Non-continuité de l'opérateur de dérivation, exponentielle de matrices et topologie de S_n^++, distance à une partie, différentielle du déterminant et formule de Liouville. Planche 4
Suite de Cauchy dans un evn, trois preuves de la densité de Gl_n dans M_n. Planche 5
Anneau intègre fini, Z/nZ, série exponentielle, étude d'une suite de fonctions CVU dont la dérivée ne CVU pas, topologie matricielle (densité Gl_n, connexité par arcs Gl_n(C) et une formule sur le polynôme caractéristique d'un produit de matrices, classe de similitude). Planche 6
Topologie matricielle sur les matrices diagonalisables, trigonalisables, théorème de sélection des racines, arc paramétré rectifiable. Planche 7
Exponentielle de matrices et C[M], sommes de compacts et fermés dans un evn, partie denses dans un evn. Planche 8
Etude d'une suite de fonctions, l'espace des caractères des matrices carrées, une intégrale à paramètre. Planche 9
Exponentielle de matrices : étude de la relation e^A=I_n, produit de compacts dans un evn, ordre d'un élément dans un groupe, groupe des permutations. Planche 10
Norme de Frobenius, itérations de compacts et propriété de Borel-Lebesgue, ordre d'un élément dans un groupe (le retour !). Planche 11
Théorème des restes chinois, fonction indicatrice d'Euler, groupe des inversibles de l'anneau Z/nZ, topologie de la classe de similitude d'une matrice (caractérisation des matrices diagonalisables dans C, et nilpotentes). Planche 12
Groupes admettant un nombre fini de sous-groupes, étude d'un morphisme, ordre d'un élément dans un groupe produit, cyclicité d'un produit de groupes cycliques, sous-groupe d'un groupe cyclique, réduction d'une matrice par blocs, étude de la convergence de six intégrales impropres. Planche 13
Connexité des matrices symétriques (définies)-positives, exemple d'un ensemble connexe non connexe par arcs, adhérence d'un connexe, suites de Cauchy dans un evn, complétude de R, théorème du point fixe de Banach-Picard, point fixe d'une application entre deux compacts. Planche 14
Etude d'un ensemble de M_n, groupe des permutations et formule de conjugaison, premier et troisième théorème d'isomorphisme sur les groupes. Planche 15
Limites supérieures et inférieures, complétude de R (le retour !), quelques critères de convergence des séries numériques (D'Alembert, Cauchy, Cauchy-Hadamard). Planche 16
Etude de séries numériques, groupes finis, norme de Frobenius, Formule de Lie-Trotter et sous-groupes de Lie matriciels et algèbre de Lie. Planche 17
Centre d'un groupe, automorphismes intérieures, groupes d'ordre p et p^2, idempotents dans un anneau, étude de l'équation matricielle M^3=I_n pour M matrice symétrique. Planche 18
Une démonstration analytique du théorème spectral, décomposition polaire et caractérisation de S_n^+, Gl_n^+ connexe par arcs, un exercice d'analyse réelle. Planche 19
Traces positives, continuité de l'application de la décomposition polaire, trois inégalités matricielles, la formule de Golden-Thompson (1965). Planche 20
Caractérisations des matrices symétriques via le produit scalaire, étude d'un sous-ensemble des matrices symétriques, trois preuves que S_n^++ ouvert de S_n. Planche 21
Second théorème d'isomorphisme et applications. Planche 22
Matrices nilpotentes (topologie et une caractérisation via la trace), une action sur un groupe fini. Planche 23
Topologie des classes de similitude (connexité par arcs de S(A), S(A) bornée ssi A est une homothétie), transformation d'Abel, lemme de Césaro et une application, frontière de Sl_n(R). Planche 24
Fonction impaire dérivable sur R_+*, études de deux de séries de fonctions, connexité par arcs de Sl_n(R), de Gl_n^+(R) et Gl_n^-(R), tout segment de R est connexe, adhérence et intérieur d'un connexe. Planche 25
Deux applications de la décomposition polaire, un théorème d'analyse réelle par connexité, application localement constante. Planche 26
Cinq études de séries de fonctions, distance entre deux compacts et entre un fermé et un compact, produit de compacts. Planche 27
Divers calculs d'intégrales impropres. Planche 28
Sous-groupes de R et applications. Quelques petits résultats pour manipuler sur les groupes. Théorème de Lagrange. Théorème de Darboux et problèmes de sous-tangente. Planche 29 (en cours de relecture)
Quelques études de suites d'intégrales via le théorème de convergence dominée, études d'intégrales à paramètres dont la fonction Gamma d'Euler (formule d'Euler-Gauss, de Weierstrass, logarithmique convexité de la fonction Gamma). Planche 30
Divers exercices sur les séries numériques, leurs restes, étude de séries numériques dont le terme général est défini par une relation de récurrence, règle de Raabe-Duhamel. Planche 31
Etudes de familles sommables. Planche 32
Etudes de séries de fonctions et de suites de fonctions. Planche 33
Etudes de séries entières, la formule de Borda et période du pendule simple donnée à l'aide d'une série. Planche 34
Exercices théoriques sur la convergence uniforme mettant en jeu des fonctions convexes, uniformément contninues, complétude de l'espace des fonctions k-lipchitzienne, relation fonctionnelle de Cauchy et morphisme continu entre groupes des matrices inversibles, application de la formule de Lie-Trotter. Planche 35
Exercices de probabilités (rappels de Sup), variables aléatoires discrètes finies, lemme de Borel-Cantelli, inégalités de Boole et de Bonferroni, problème de ruine du joueur... Planche 36
Exercices de probabilités (variables aléatoires discrètes finies et infinies). Planche 37
Révisions d'algèbre linéaire de première année : calculs de déterminants, noyaux, images, matrices dans une base donnée, somme (directe) de sevs, endomorphismes cycliques, un endomorphisme bijectif dans une sous-algèbre des endomorphismes. Planche 38
A venir
Polynômes minimaux et caractéristique, diagonalisabilité et trigonalisabilité. Caractérisation des R-algèbres intègres commutatives de dimension finie strictement supérieure à 1, diverses égalités spectrales. Lemme de Jacobson (questions détaillées). Planche 40
Calcul différentiel à plusieurs variables, différentiabilité de M associe M^{-1} sur Gl_n, fonctions homogènes, propriétés du laplacien, équation matricielle M(t)^2=I_n, formule des accroissements finis, différentielle du déterminant et formule de Liouville, dérivation de t->exp(M(t)), démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz (cas globalement lipschitzien), dimension de l'espace des solutions du problème de Cauchy linéaire homogène, principe du maximum, différentielle en 0 de l'exponentielle de matrice. Planche 41
Espaces euclidiens et espace pré-hilbertiens : propriétés de f ->f*, norme de Frobenius, relation M^3=I_n, espace l^2(N) et étude d'une forme linéaire continue sur l^2(N), décomposition polaire (encore !), matrices orthogonales diagonalisables dans R, inégalité de Bessel, inégalité sur les coefficients d'une matrice de O_n(R), relation (A-aI)^2=0 avec A orthogonale, transformée de Cayley, somme de Césaro d'une matrice orthogonale, matrices orthogonales triangulaires supérieures. Planche 42
Suites numériques. Planche 1