Алгебра
Розділ: Числа і вирази
Дійсні числа;
Відношення та пропорції. Відсотки;
Раціональні, ірраціональні, степеневі вирази;
Лінійні, квадратні, тригонометричні рівняння і нерівності.
Розділ: Функції
Числові пропорції
Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі функції;
Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Таблиця похідних та правила;
Побудова графіків функцій;
Первісна та визначений інтеграл.
Розділ: Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики
Перестановки, комбінації, розміщення. Імовірність, випадкові події.
Геометрія
Розділ: Планіметрія
Елементарні та геометричні фігури на площині, їх властивості;
Коло та круг;
Трикутники;
Чотирикутники;
Многокутники;
Геометричні величини та вимірювання їх;
Координати та вектори на площині;
Геометричні переміщення.
Розділ: Стереометрія
Прямі та площини у просторі;
Многогранники (призма, пірамід), тіла обертання.
Координати та вектори у просторі.
1.Дійсні числа
Розглянемо основні числові множини (натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа) та їх властивості. Натуральними називаються числа, що використовують при лічбі (1;2; …10…). Множина натуральних чисел позначається: N. Натуральне число називається простим, якщо воно має лише два натуральних різних дільники: одиницю і само себе (2; 7; 11…) Число, яке має більше двох натуральних дільників називається складеним. Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називають протилежними числами (5 і -5; 10 і -10, а і –а). Натуральні числа, протилежні їм числа і 0 називають цілими числами. Множина цілих чисел позначається: Z. Числа, які можна подати у вигляді дробу, чисельник якого – ціле число, а знаменник – натуральне називаються раціональними. Раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Множина раціональних чисел позначається Q. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби називаються ірраціональними. Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, що позначається: R. Розглянемо окремі задачі, що передбачають знання властивостей дійсних чисел.
Завдання 1. (2013)
Розташувати у порядку зростання числа: 1/9; 0,1; 0,11
Для правильно виконання потрібно 1/9 записати у вигляді десяткового дробу (поділіивши 1 на 9), або звести усі дроби до спільного знаменника .
Відповідь: 0,1; 0,11; 1/9
Завдання 2 (2010)
Обчисліть: 1/3+2/3*5/8
2/3*5/8=5/12;
1/3+5/12=4/12+5/12=9/12=3/4.
(Серед правильних відповідей надається скорочений дріб, або десятковий)
Відповідь: 3/4
Завдання 3. (2010)
Обчисліть: 10012-9992
Зазначимо, що завадання такого характеру передбачають застосування формул скороченого множення:
10012-9992=(1001-999)(1001+999)=2*2000=4000.
Відповідь: 4000
Завдання 4. (2011)
Учитель роздав учням певного класу 72 зошити. Кожен учень отримав однакову кількість зошитів. Якому з поданих чисел може дорівнювати кількість учнів у класі?
а) 7; б) 9; в)11; г)15; д) 35
У даному випадку потрібно використати ознаки подільності. 72 ділиться на такі числа: 1, 2, 3, 4, 8, 9, 18, 25,36 Отже з поданих чисел можливий єдиний варінат – 9 .
Відповідь 9.
Нагадаємо основні ознаки подільності
1. Якщо запис числа закінчується парною цифрою (0; 2; 4; 6; 8) то це число ділиться на 2 (кратне 2)
2. Якщо запис числа закінчується парною цифрою 0 або 5 то це число ділиться на 5 (кратне 5).
3. Якщо сума цифр у записі числа ділиться на 3, то й число ділиться на 3. (кратне 3)
4. Якщо сума цифр у записі числа ділиться на 9, то й число ділиться на 9. (кратне 9)
2.Відношення та пропорції. Відсотки
Відношенням числа а до числа b називається частка чисел а і b, тобто а/b (або а:b).
Пропорцією називається рівність двох відношень, тобто ; а і п називають крайніми членами пропорції, b і т – середніми членами пропорції.
Властивості пропорції
1) Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, тобто якщо , то .
2) Із пропорції випливають такі пропорції , , тобто в пропорції можна змінювати місцями крайні і середні члени або ті й інші одночасно.
3) Щоб знайти невідомий крайній (середній) член пропорції, треба добуток середніх (крайніх) членів поділити на відомий крайній (середній) член пропорції:
Наприклад: =;
Певна кількість алгебраїчних задач розв’язується за допомогою пропорцій. Наведемо одну з таких задач.
Задача. У 800 грамах розчину міститься 50 грамів солі. Скільки солі міститься у 240 грамах розчину?
Розв’язання
Нехай 800 г розчину – це 50 г солі, а 240 г розчину – це х г солі. Складемо і розв’яжемо таку пропорцію: . Отже, 15 грамів солі міститься у 240 грамах розчину.
Відповідь: 15 г.
Відсотки
Відсотком називається сота частина якого-небудь числа. Відсоток позначається знаком «%». Якщо дане число взяти за одиницю, то 1% складає 0,01 цього числа, 10% складають 0,1 числа, 25% відсотків складають 0,25 числа (або ? числа), 50% складають 0,5 числа (або ? числа), 75% складають 0,75 числа (або ? числа) і т.д. Щоб число відсотків виразити у вигляді дробу, треба число відсотків поділити на 100. Наприклад, 6%=0,06; 150%=1,5; 0,4%=0,004.
Правило 1. Щоб знайти р% від числа а, потрібно а помножити на р/100.
Правило 2. Якщо р% від числа с дорівнює а, то число .
Правило 3. Відсоткове відношення чисел а і с дорівнює .
Задача 1. Знайти 40% від числа 80.
Розв’язання
40% від 80 знайдемо за правилом 1:
Задача 2. Хлопці у класі складають 75% від усієї кількості учнів. Дівчат у класі 8. Скільки всього учнів у класі?
Розв’язання
За умовою задачі хлопців у класі – 75%, тоді дівчат – 25%. Скористаємось правилом 2 для обчислення кількості учнів у класі: .
Відповідь: 32 учні.
Задача 3. Який відсоток становить число 28 від числа 35?
Розв’язання
За правилом 3 відсоткове відношення чисел 28 і 35 дорівнює .
Всі 3 типи вищевказаних задач можна розв’язувати за допомогою пропорцій. Так, наприклад, задачу 2 можна було б розв’язати таким чином.
Якщо дівчат у класі 8 і це складає 25% всієї кількості, то нехай хлопців – х, що становить 75%. Складемо і розв’яжемо пропорцію: . Отже, у класі 24 хлопці, тоді усіх учнів 24+8=32.
Відповідь: 32 учні.
Задача 4. Скільки кілограмів води варто додати до 7,5 кг 12%-го розчину солі, щоб одержати 10% розчин?
Розв’язання
Дізнаємось спочатку, скільки кілограмів солі міститься у 12% розчині. Для цього візьмемо масу 12%-го розчину 7,5 кг за 100%, масу солі в 12% – за х, тобто
7,5 кг – 100% або .
х кг – 12%
Отже, 0,9 кг солі міститься у 12% розчині солі.
Маса солі у новому розчині не змінилась, а змінилась лише її відсоткова частка. Тобто 0,9 кг становить 10%. Натомість невідому масу нового розчину візьмемо за 100% і позначимо через y. Тобто y кг – 100%. Складемо і розв’яжемо пропорцію: . Тобто 9 кг – маса нового розчину. Звідси, долили води 1,5 кг (9 кг-7,5 кг).
Відповідь: 1,5 кілограма.
Якщо відомо, що р% числа х дорівнює а, то число х можна знайти за формулою . Наприклад, якщо 10% внеску в ощадбанк складають 250 доларів, то цей внесок дорівнює (доларів).
Якщо ставиться задача, що первісний внесок в ощадбанк дорівнює а доларів, за рік нараховується р відсотків, а потрібно обчислити суму внеску через п років, то використовуємо формулу складних відсотків: , де s – величина внеску через п років.
Приклад: Первісний внесок в ощадбанк дорівнює 500 доларів, за рік нараховується 4%. Знайти суму внеску через 5 років.
Розв’язання
(доларів).
Відповідь: 608 доларів.