随伴性理論

環境内の規則性を記述する

　学習という現象は「環境内の規則性に基づいた観察可能な行動の変化」と定義しました。この定義に従えば、環境内の規則性をなんらかの形で記述する必要があります。そこで登場したのが随伴性理論(contingency theory, 1)です。随伴性理論を理解するためには、この理論の元になる実験事実と、その実験の動機について知っておく必要がありますので、まずはそこから紹介します。

学習の条件は何か

　学習という現象を研究するにあたって、大きな目的は「どんなときに学習が生じるのか」、つまり学習が生じる条件を明らかにするというものでした。古典的条件づけの発見者であるパブロフや道具的条件づけの発見者であるソーンダイクの時代から、「どういった条件設定が学習を強めるか、あるいは弱めるか」について様々な実験が行われています。中でも、長く重要視されていたのが接近の法則(law of contiguity)と呼ばれるものです。接近の法則とは、「事象と事象の時間的間隔が接近しているほど学習が容易である」というもので、主に古典的条件づけにおいては条件刺激(CS)と無条件刺激(US)の時間間隔が接近しているほうが離れているよりも条件反応の獲得が容易であるという実験事実によって支持されていました。例えば「音刺激と電気ショックの対呈示」という手続きを行うと、音刺激に対して恐怖反応が条件反応(CR)として学習されますが、音刺激の呈示が終わってから電気ショックを呈示するまでの時間間隔を長くするとCRが弱くなります。また道具的条件づけにおいても、道具的反応と結果事象の時間的接近関係は、道具的行動の獲得や維持に重要な役割を果たします。このことから、時間的接近関係は学習が成立するための条件のひとつと考えられてきました。

　ここで、下のような状況を考えてみます。

　一方でB条件では、A条件と同じようにCSとUSの対呈示が3回行われていますが、それに加えてUSの単独呈示が1試行行われています。また、C条件ではさらにUSの単独呈示の回数が増えています。注目してほしいのは、この3つの条件では、四角で囲んだように「CSとUSが時間的に接近して対呈示される回数が同じ」ということです。つまり、もし接近の法則が学習が生じる必要十分条件（CSとUSが接近していなければ学習は起きないし、接近さえしていれば学習が生じる）であるならば、これら3つの条件すべてで同じ程度の学習（ここではCSに対して獲得されるCRの程度）が同じになるはずです。

　しかし実際には、そうはなりません。Rescorla (1968)は、10通りの条件を設定し、CSが提示されていないときにUSが提示されることでCRの獲得の程度が変化することを実験的に示し、随伴性理論を提案しました。実際の結果は論文を見ていただくとして、随伴性というアイデアについて説明します。

随伴性の計算方法

　下の図を見てみましょう。さきほどと同様に、時間が右に向かって流れており、CSやUSが提示されています。随伴性を計算するためには、まず「どんなイベントが何回起こったか」を数える必要があります。そこで、実験時間全体をCSの呈示時間を単位として区切り、イベントを数えるためのユニットを作ります。

　点線で区切られた箇所を見ると、CSとUSが対呈示された試行(CS-US)が2回、CSが単独で提示された試行(CS-no US)が1回、USが単独で提示された試行(no CS-US)が1回、どちらも提示されなかった試行(no CS-no US)が2回となっています。本来は、時間は連続的に流れているものである、イベントの生起回数は「CSあり」「USあり」のケースを数えることはできても、「なにも提示されていない」のような場合を数えるのが厄介になるので、ここではCS呈示時間を使って連続的に流れている時間を区切りました。

　この方法で、どんなに複雑な試行の系列であっても、「4通りのイベントそれぞれの生起回数」という単純なものに圧縮されることになります。圧縮によって重要な情報（試行の順序など）は失われてしまいますが、この問題についてはここでは立ち入りません。

　例えば「CS提示」に1、「CS非提示」に0というように数字を割り当てることができ、それぞれに対して確率を考えることができます。ここでの1や0、つまり確率を考えたい「CS提示」や「CS非提示」といった事象に対して数字を割り当てたものを確率変数と呼びます。そして確率変数に対して確率を対応させる関数が確率分布です。もしCSの提示・非提示が排反かつ同じ程度に起こるならば、それぞれの確率は0.5 (つまり1/2)となります。

　標本空間に含まれる個々の事象が同様に確からしい（同じ程度に起こる）とき、それぞれの事象が起こる確率は標本空間内の事象の数の逆数になります。上の例であれば、CS提示とCS非提示という2つの事象があるので、それぞれの事象が起こる確率は1/2です。CS提示とUS非提示は排反事象なので、これらの確率をすべて合計すると1になる、というのが重要です。この例のように、「CS提示・非提示」といった離散的な事象に対して確率を割り当てる関数を確率質量関数、身長や体重のように連続的な事象に対して確率を割り当てる関数を確率密度関数と呼びます。確率分布についてはさまざまな種類があり、その特徴や用途によって使い分けられていますが、ここではまだ踏み込みません。興味のある方は成書(2)をあたってください。

　注：ここでの議論は、古典的な確率の定義に従って進めます。標本空間が可算集合の場合など、古典的な確率の定義では不具合が起こるところが出てきますが、測度論や公理的確率の話題は、必要が出てきたときに紹介するかもしれませんが未定です。とりあえず、「事象と『0から1までの数字』を対応させる関数が確率分布で、起こりうる事象の確率を全部足せば1になる」ということだけ押さえておけばとりあえず十分かと思います。

　CSとUSそれぞれの確率だけでなく、ここでは「CSとUSの関係」が関心の対象です。そこで、まずは「CSとUSが対提示される試行の確率」を見てみます。表でいうと、CSの行とUSの列の交わる箇所になり、P(CS,US)と表記されています。このように、確率を割り当てる複数の事象が同時に起こる確率を同時確率と呼びます。

　ここで、先に考えたCS提示・非提示のみの例を思い出しましょう。CS提示・非提示というそれぞれの事象に対して確率を与えてくれるのが確率分布でした。同じように、上の表では「CS提示・非提示」と「US提示・非提示」という複数の事象に対して確率を与えてくれます。このように、複数の確率変数に対して確率を与えるような関数を同時確率分布と呼びます。

　CS提示・非提示およびUS提示・非提示に関する同時確率分布から、CS提示・非提示の確率分布、およびUS提示・非提示の確率分布を求めることができます。上の表の一番右の列を見ると、ここにはP(CS)およびP(noCS)というCS提示・非提示に関する分布が示されています。ここは「US関係なし」、つまりUSの提示・非提示に関係なくCSが提示されるかどうかの確率が示されていて、表にあるように「CS提示確率(p(CS))」は「CSとUSが対提示される確率(P(CS,US))」と「CSは提示されるがUSは提示されない確率(P(CS,noUS))」の足し算、和になり、「CS非提示確率(p(noCS))」についても同様に横方向に確率を足し算したものになります。US提示・非提示の確率分布を計算するには、横方向ではなく縦方向に足し算をしてやれば「CSに関係ないUSの提示・非提示確率」を求めることができます。このように、同時確率分布が与えられれば、無視したい確率変数が消えるように合算してやれば、関心のある確率変数の分布を算出することができます。こうした操作を、同時確率分布の一番右や下という周辺部に足し算してまとめるという意味を込めて、周辺化と呼びます。

　では、CSとUSの関係について考えていきます。「CS提示とCS非提示は同時に起こりえない排反事象である」、「CS提示とUS提示などは同時に起こりうる」という話はしました。そして、CS提示とUS提示が同時に起こる確率などを同時確率といいました。もし、CS提示とUS提示の確率のあいだに下式のような関係が成り立つとき、これらの事象は「独立」であるといい、成り立たないときには「従属」といいます。

　CSとUSの提示・非提示については、実験者が決定することであり、これらが独立であるかどうかは設定次第です。また、学習心理学の関心としては「独立かどうかわからない事象間の関係が行動にどう影響するか」なので、独立であるかどうか、あるいは独立でないならどの程度関連があるのかを示してくれるような指標が欲しいところです（カイ二乗値はそうした指標のひとつです）。

　実験手続きに立ち返ってみると、「音刺激のあとに電気ショックがやってくる」「光刺激のあとにエサがやってくる」という事態においては、音刺激や光刺激のようなCSが電気ショックやエサのようなUSの到来、非到来についてどの程度の意味を持っているかが重要に思われます。

　これら2つの手続きのうち、上の手続きでは「CSが提示されているときにはUSが提示され、CSが提示されていない時にはUSが提示されない」ということになっています。下の手続きでは逆に、「CSが提示されているときにはUSが提示されず、CSが提示されていない時にはUSが提示される」ということになっています。そこで、「CSが提示されているときのUS提示確率」と「CSが提示されていないときのUS提示確率」を計算してみます。

このように、ある事象が起こるという前提のもとで別の事象が起こる確率のことを条件付き確率と呼びます。ここでは、「CSが提示されるという前提条件のもとでUSが提示される確率」を計算したことになり、確率Pのカッコのなかの縦線の右に条件となる事象を書くことになっています。同様に、「CSが提示されないという前提のもとでUSが提示される確率についても下のように書くことができます。

こうして、「CSが提示されたときのUS確率」と「CSが提示されていないときのUS確率」を求めることができました。この2つの確率の関係によって、CSとUSの関係が示せそうです。そこで、2つの変数（ここでは確率）の関係を検討するために、それぞれを横軸・縦軸にとって図示してみます。

　この空間の意味を考えていきます。まず、この空間の対角線を考えてみましょう。この対角線上の点は、どこであってもP(US|CS)とP(US|noCS)が同じであることがわかります。そして、対角線よりも下の三角形の領域では、P(US|CS)のほうがP(US|noCS)より大きな値を取り、逆に対角線の上の三角形の領域ではP(US|CS)よりもP(US|noCS)の値の方が大きい、ということがわかります。

　条件付き確率のあいだの大小関係が表していることをまとめます。「CSあり時のUS確率＞CSなし時のUS確率」であるということ、つまり随伴性空間の下三角形の領域では、「CSがあるときのほうがないときよりもUSが提示されやすい」ということになります。つまり、CSはUSの到来を予測する信号になるということです。逆に、「CSあり時のUS確率＜CSなし時のUS確率」であるということ、つまり随伴性空間の上三角形の領域では、「CSがあるときのほうがないときよりもUSが提示されにくい」ということになります。つまり、CSはUSの非到来を予測する信号になるということです。そして対角線上、つまり「CSあり時のUS確率＝CSなし時のUS確率」では、「CSがあろうがなかろうがUSの提示確率が変わらない」ということになり、CSはUSの到来も非到来も予測できません。

　このことから、CSとUSの関係について条件付き確率を計算して随伴性空間上の点として表現したとき、対角線より下にきたときには「CSがUSの到来を予測する信号」として機能し、それに対応した反応が学習され、対角線よりも上にきたときには「CSがUSの非到来を予測する信号」として機能し、それに対応した反応が学習されるという仮説が考えられます。本ページの冒頭で紹介したRescorla (1968)以降、この仮説を支持する結果が報告されています(結果の要約を参照可能なフリーアクセス文献として中島(2014)など)。

　随伴性空間上の対角線では、P(US|CS)とP(US|noCS)が等しく、CSはUSの到来・非到来についてなんの情報も与えてくれません。Rescorlaはこのことから、CSとUSの関係性の学習に関する実験を行う際の統制条件としてP(US|CS)とP(US|noCS)が等しくなるような手続きを用いるべきであると主張し、これを真にランダムな統制条件と呼びました。P(US|CS)とP(US|noCS)が等しいときに実際にどういう反応が学習されるかにはいろいろな話題がありますが、ここでは立ち入りません。

　対角線から右下へ、あるいは左上へと離れていくほど、P(US|CS)とP(US|noCS)の差が大きくなっていきます。実際、対角線から離れた条件設定をしたときのほうが、より強い反応が学習されることが示されています。随伴性空間上の「点」は、縦横の軸に対応する2つの条件付き確率の値を持っており、いってみれば「実験条件を2つの値に要約した」ということになります。せっかくなので1つの指標にまとめようということで、この対角線からの離れ具合を示す指標としてΔP（デルタP）というものが提案されており、下の式で計算されます。

　このように、CSとUSの対提示や非対提示の回数から確率（あるいは条件付き確率）を計算し、確率同士の関係や差分を使ってCSとUSのあいだの関係性を定量的に示すことができました。これがいわゆるCS-US随伴性と呼ばれるものです。すでに紹介したように、動物を対象とした実験ではこうして定量化された随伴性が学習された行動の種類・強度と関連することがわかっています。つまり、「随伴性という環境内の規則性に基づいて行動が変化する」ということです。

　一方で、ここで紹介した随伴性理論では説明できない問題もあります。例えば人間を対象とした実験では、必ずしもΔPに一致するような行動ばかりが獲得されるわけではありません。発達段階による変化や課題の難易度の影響なども指摘されています。ΔP以外にも（カイ二乗値のように）2つの事象のあいだの関係性を示す指標はあります。

　学習心理学の観点からすると、さらに大きな問題は、こうした確率的関係、つまり環境内の規則性を人間や動物がどのように抽出しているかということでしょう。この問題については別ページでとりあげます。