Заряженная частица движется в магнитном поле бесконечно тяжёлого магнитного монополя. Начальная скорость частицы перпендикулярна вектору, соединяющему монополь с частицей.
(a) Вычислите производную по времени от механического момента импульса L = r x mv. Покажите, что она не равна нулю, несмотря на сферическую симметрию, и объясните кажущийся парадокс.
(b) Хотя механический момент импульса не сохраняется, существует «исправленная» величина, подобная моменту импульса, J, которая сохраняется. Найдите эту величину и, используя её сохранение, определите качественный характер движения и зависимость расстояния от заряда до монополя от времени. В частности, растёт ли это расстояние или остаётся ограниченным?
A charged particle moves in the magnetic field of an infinitely heavy magnetic monopole. The initial velocity of the particle is perpendicular to the vector from the monopole to the particle.
(a) Compute the time derivative of the mechanical angular momentum L= r x m v. Show that it is nonzero despite spherical symmetry, and explain the apparent paradox.
(b) Although the mechanical angular momentum is not conserved, there is a “corrected” angular momentum-like quantity J which is conserved. Find this quantity and use its conservation to determine the qualitative character of the motion and the time dependence of the charge-to-monopole distance as a function of time. Decide whether the distance grows or remains bounded.
Заряджена частинка рухається в магнітному полі нескінченно важкого магнітного монополя. Початкова швидкість частинки перпендикулярна до вектора, що сполучає монополь із частинкою.
(a) Обчисліть похідну за часом від механічного моменту імпульсу L= r x m v. Покажіть, що вона не дорівнює нулю, попри сферичну симетрію, і поясніть уявний парадокс.
(b) Хоча механічний момент імпульсу не зберігається, існує «виправлена» величина, подібна до моменту імпульсу, J, яка зберігається. Знайдіть цю величину і, використовуючи її збереження, визначте якісний характер руху та залежність відстані від заряду до монополя від часу. Вирішіть, чи зростає ця відстань, чи залишається обмеженою.