Задача 2

Частица детерминированно движется в плоскости по закону
x(t)=a_1\cos(\nu_1 t),  y(t)=a_2\sin(\nu_2 t),
где отношение частот \nu_1/\nu_2 иррационально.

Предполагая, что движение наблюдается в течение очень долгого времени, найдите усреднённую по времени плотность вероятности P(x,y), определённую так, что P(x,y),dx,dy есть доля времени, которую частица проводит в прямоугольнике [x,x+dx] x [y,y+dy].

Частинка детерміновано рухається в площині за законом
x(t)=a_1\cos(\nu_1 t), y(t)=a_2\sin(\nu_2 t),
де відношення частот \nu_1/\nu_2 є ірраціональним.

Припускаючи, що рух спостерігається протягом дуже тривалого часу, знайдіть усереднену за часом густину ймовірності P(x,y), визначену так, що P(x,y),dx,dy є часткою часу, яку частинка проводить у прямокутнику [x,x+dx]x [y,y+dy].

A particle moves deterministically in the plane according to

x(t) = a₁ cos(ν₁ t), y(t) = a₂ sin(ν₂ t),

with irrational frequency ratio ν₁/ν₂.

Assuming the motion is observed over a very long time, find the time-averaged probability density P(x,y), defined so that P(x,y) dx dy is the fraction of time the particle spends in the rectangle [x, x+dx] × [y, y+dy].