Profesor: José Simental Rodríguez, simental@im.unam.mx
Ayudante: Luis Adrián Nava Rosas, adrian_fis98@ciencias.unam.mx
Clases: Lunes, Miércoles y Viernes, 5-6pm. O221.
Ayudantías: Martes y Jueves, 5-6pm. O221.
El objetivo principal del curso es dar una introducción a la teoría de los grupos y su relación con otras áreas de las matemáticas. Además de la teoría, se pondrá especial énfasis en ejemplos que, por un lado, ilustren la teoría y, por el otro, sean testigos de la gran flexibilidad que la teoría de grupos tiene para interactuar con otras áreas de las matemáticas.
Libros de texto:
J. J. Rotman. An introduction to the theory of groups, 4th edition. Springer.
M. Artin. Algebra, 2nd edition. Pearson
Así mismo, haré disponibles mis notas (escritas a mano) durante el transcurso del semestre.
Evaluación, etc.: Tareas - 60%
El 40% restante se evaluará por medio de un trabajo escrito en el que los estudiantes desarollen alguna conexión de la teoría de grupos con un área de las matemáticas (incluyendo álgebra). Algunos ejemplos son:
Grupos en topología (grupo fundamental, ejemplos y cálculos)
Grupos abelianos infinitos (grupos divisibles, grupos de Prüfer, espacios vectoriales sobre Q)
Grupos de simetrías (grupos de papel tapiz, grupos en arte)
Grupos en música (sistemas generalizados de intervalos)
La decisión del tema se hará por el profesor y estudiante, tomando en cuenta las preferencias de la, él o le estudiante. Dependiendo del número de estudiantes, esto se podrá hacer en equipos.
El trabajo escrito podrá ser entregado en repetidas ocasiones, en caso de ser necesario hacer correcciones. Una línea de tiempo sugerida es:
Antes del 26 de Agosto: Platicar con el profesor para elegir un tema y temario.
Antes del 29 de Septiembre: Entrega de avance parcial.
Antes del 27 de Octubre: Entrega de avance parcial.
Antes del 17 de Noviembre: Entrega del primer borrador.
Antes del 8 de Diciembre: Entrega del trabajo final.
Progreso de la clase
Semana 1.
Lunes, 14 de Agosto - Definición de grupos, ejemplos (grupos de matrices, grupos simétricos). Grupos diédricos.
Martes, 15 de Agosto - Propiedades básicas de grupos (unicidad del neutro y de inversos, ley de la cancelación, ley del calzado). Grupo simétrico. Ciclos en el grupo simétrico.
Miércoles, 16 de Agosto - Descomposición en ciclos.
Jueves, 17 de Agosto - Tipos cíclicos. Problemas de conteo que involucran a tipos cíclicos. Permutaciones pares e impares y matrices de permutaciones.
Viernes, 18 de Agosto - Permutaciones pares e impares. Cálculos en el grupo simétrico. El grupo alternante.
Semana 2.
Lunes, 21 de Agosto - Definición de subgupo, ejemplos. Subgrupos generados por elementos. El orden de un elemento.
Martes, 22 de Agosto - La relación de equivalencia definida por un subgrupo. Clases laterales.
Miércoles, 23 de Agosto - Ayudantía
Jueves, 24 de Agosto - Ayudantía
Viernes, 25 de Agosto - Ayudantía
Semana 3
Lunes, 28 de Agosto - Clases laterales, subgrupos normales y grupos cociente.
Martes, 29 de Agosto - Caracterizaciones de grupos normales. Homomorfismos de grupos (definición, homomorfismos, monomorfismos, epimorfismos, ejemplos)
Miércoles, 30 de Agosto - No hay clase
Jueves, 31 de Agosto - Ayudantía
Viernes, 1 de Septiembre - Ejemplos de morfismos. El Kernel de un morfismo.
Semana 4
Lunes, 4 de Septiembre - Primer teorema de Isomorfismo
Martes, 5 de Septiembre - Segundo teorema de Isomorfismo
Miércoles, 6 de Septiembre - Tercer teorema de Isomorfismo y el teorema de la correspondencia biyectiva
Jueves, 7 de Septiembre - Ayudantía
Viernes, 8 de Septiembre - Ejemplos. Un morfismo especial de S_4 a S_3.
Semana 5
Lunes, 11 de Septiembre - Ayudantía
Martes, 12 de Septiembre - No hay clase
Miércoles, 13 de Septiembre - Ayudantía
Jueves, 14 de Septiembre - Ayudantía
Viernes, 15 de Septiembre - Feriado
Semana 6
Lunes, 18 de Septiembre - Productos directos
Martes, 19 de Septiembre - Ayudantía
Miércoles, 20 de Septiembre - Productos semidirectos
Jueves, 21 de Septiembre - Ayudantía
Viernes, 22 de Septiembre -Productos directos y Sucesiones exactas
Semana 7
Lunes, 25 de Septiembre - Sucesiones exactas escindibles. Acciones de grupos.
Martes, 26 de Septiembre - Suspensión de clases
Miércoles, 27 de Septiembre - Acciones de grupos, ejemplos y nociones básicas.
Jueves, 28 de Septiembre - Ayudantía
Viernes, 29 de Septiembre - Fórmula de órbita-estabilizador. La ecuación de clase.
Semana 8
Lunes, 2 de Octubre - Suspensión de clases
Martes, 3 de Octubre - Suspensión de clases
Miércoles, 4 de Octubre - Suspensión de clases
Jueves, 5 de Octubre - Suspensión de clases
Viernes, 6 de Octubre - Suspensión de clases
Semana 9
Lunes, 9 de Octubre - Acción por conjugación. Clases de conjugación en S_n. La ecuación de clase de S_5.
Martes, 10 de Octubre - Ayudantía
Miércoles, 11 de Octubre - Clases de conjugación en S_n vs clases de conjugación en A_n. La ecuación de clase de A_5.
Jueves, 12 de Octubre - Ayudantía
Viernes, 13 de Octubre - Simplicidad de A_n para n >= 5.
Semana 10
Lunes, 16 de Octubre - p-subgrupos de Sylow. Demostración del Primer Teorema de Sylow.
Martes, 17 de Octubre - Ayudantía
Miércoles, 18 de Octubre - Demostración del Segundo Teorema de Sylow.
Jueves, 19 de Octubre - Ayudantía
Viernes, 20 de Octubre - Tercer Teorema de Sylow. Aplicaciones de los Teoremas de Sylow.
Semana 11
Lunes, 23 de Octubre - Ayudantía
Martes, 24 de Octubre - Ayudantía
Miércoles, 25 de Octubre
Jueves, 26 de Octubre
Viernes, 27 de Octubre