僕が良く参照する論文たち。日に日に増えていきます。
P. Lochak, L. Schneps, The Grothendieck-Teichmüller group and automorphisms of braid groups, in The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, LMS Lecture Notes 200, Cambridge U. Press, 1994.
「GT群とはブレイド群のタワーの自己同型群である」をpro-l版とprofinite版について示した論文。Grothendieckのレゴの話の正当な続編という感じです。
D. Bar-Natan, "On Associators and the Grothendieck-Teichmuller Group I", Selecta Math (N. S.) 4 (1998), 183-212.
Betti側 (resp. de Rham側) のGrothendieck-Teichmuller群を括弧付き組紐 (resp. コード図) の圏の自己同型群として解釈する、という仕事。したがってこれらの圏の間の同値がDrinfeld結合子と対応することにもなります。現代的にはexpansion theoryの走りといってもいいのか？
H. Furusho, "Pentagon and hexagon equations", Ann. of Math. 171 (2010), 545-556.
言わずと知れた超マスターピース。結合子関係式はペンタゴンで十分だということだそうです (2-cycleが出るのは古典的に知られていたが、3がすごい)。as well as other variants... と言いたいところですが、profinite版はまだみたい？
J. Ecalle, "The flexion structure and dimorphy: flexion units, singulators, generators, and the enumeration of multizeta irreducibles", With computational assistance from S. Carr., CRM Series, 12, Asymptotics in dynamics, geometry and PDEs; generalized Borel summation. Vol. II, 27–211, Ed. Norm., Pisa, 2011.
「flexion理論」のバイブルです。実に色んなことがなされていますが、lomaの構成だけは未だに誰も読み解けていないらしい？
H. Furusho, "Double shuffle relation for associators", Ann. of Math. 174 (2011), 341-360.
調和関係式は結合子関係式から出る、という結果。すごすぎ。見れば見るほどペンタゴン関係式と二変数ポリログの調和関係式の相性の良さが奇跡に見えますね (Brown単射もつかってます)。
H. Furusho, "Geometric interpretation of double shuffle relation for multiple L-values", Galois-Teichmuller theory and Arithmetic Geometry, Advanced Studies in Pure Math 63 (2012), 163-187.
多重L値でもやっぱり調和関係式は結合子関係式から出ます。証明もほぼパラレル。
D. Bar-Natan and Z. Dansco, "Finite Type Invariants of w-Knotted Objects I: w-Knots and the Alexander Polynomial", Algebraic and Geometric Topology 16-2 (2016), 1063-1133.
D. Bar-Natan and Z. Dansco, "Finite Type Invariants of w-Knotted Objects II: Tangles, Foams and the Kashiwara-Vergne Problem", Math. Ann. 367 (2017), 1517-1586.
4次元トポロジーでKV問題を解釈するシリーズ二作。後続論文もいっぱいあるみたいですが僕は全然まだ理解していません。
B. Enriquez and H. Furusho, "A stabilizer interpretation of double shuffle Lie algebras", IMRN 22 (2018), 6870-6907.
Deligne-Terasomaの未完プロジェクトを大発展させる長い旅路の始まりです。"余積の空間" みたいなのとそこへの作用を考えて、ちょうどその作用における調和余積のstabilizerこそがdouble shuffle Lie環ですね、という話。後続論文でいうところの "加群側" しか考えていないようですが、最初から cyclotomic な設定でもあります。
B. Enriquez and H. Furusho, "The Betti side of the double shuffle theory. I. The harmonic coproduct", Selecta Math. (N. S. ) 27 (2021), no. 5, art. 79.
所謂 "EF三部作" のパート1。"加群側" と "代数側" の二つの設定で調和余積のstablizerを考えよう、という仕組み。Bar-Natanの解釈 (括弧付ブレイドのexpansion) をガッツリ使っています (というかfake比較同型がgroup-like expansionそのもの)。
B. Enriquez and H. Furusho, "The Betti side of the double shuffle theory. II. Double shuffle relations for associators", Selecta Math. (N. S. ) 29 (2023), no. 1, art. 3.
EF三部作のパート2にして本編。「結合子関係式が double shuffle を導く」の、stabilizerにもとづいた別証明です。Torsorの議論がなんかもう職人技通り越して神業ですね。
B. Enriquez and H. Furusho, "The Betti side of the double shuffle theory. III. Bitorsor structures}, Selecta Math. (N. S. ) 29 (2023), no. 2, art. 27.
EF三部作のラスト。Betti側の作用も込みで "bitorsor" を考えます。タイトル回収回 (DMR^B が定義される) でもありますね。
M. Hirose, "The cyclotomic Grothendieck-Teichmüller group and the motivic Galois group", preprint, 2023.
Z[1/2] 上のモチヴィックGalois群はEnriquezのレベル2 Grothendieck-Teichmuller群に一致します、の論文。「混合ペンタゴンならconfluence」をレベル2の場合にも示して、後者がモチヴィックEuler和に対しても成り立つ (Hirose-Sato) ことと合わせて導いているようです。
B. Enriquez and H. Furusho, "The stabilizer bitorsors of the module and algebra harmonic coproducts are equal", Adv. Math. 463 (2025), 110128.
EF三部作の番外編。タイトルそのままですが、"加群側" と "代数側" それぞれの調和余積のstabilizerが一致しました、という話。一方 cyclotomic setting では(2026年10月現在)まだ未解決らしい？
B. Enriquez and H. Furusho, "Double shuffle Lie algebra and special derivations", preprint, 2025.
お二方が積み上げてきたstabilizerの理論が、満を持してKashiwara-Vergne方程式にもぶつけられました。"Special derivations" の空間には自然にtripodの写像類群が作用しますが、そのうち0と無限大を入れ替えるinvolutionで dmr_0 が安定であることも示されています。実はarXivのv1にはde Rham側の議論しかなかったのですが、v2へのアップデートで一気にBetti版とbitorsor版が増えました。
H. Furusho, M. Hirose and N. Komiyama, "Associators in mould theory", to appear in J. Lie theory.
Ecalleのmould理論で結合子も理解しよう、という論文。ペンタゴンの再現のために二変数多重ポリログSauzinのdimouldが大活躍しています。
H. Furusho, M. Hirose and Nao Komiyama, "Notes on Ecalle's and Brown's solutions to the double shuffle relations modulo products", preprint, 2026.
FHK第二作。Brownが "anatomy" 論文で与えている dmr_0 の元の系列のうち、ψ_{奇数} 型のやつがEcalleの "singulator" から自然に得られる、という結果。
D. Bar-Natan, Z. Dansco, T. Hogan, J. Liu and N. Scherich, "Goldman-Turaev Formality from the Kontsevitch Integral", to appear in Quantum Topology.
AKKNの理屈を応用して、Kontsevich積分が結合子ゆえKV問題の解だからGT-formalityにもなるよね、ってことなんでしょうか。まだほとんど未読です。
M. Hirose, "An explicit parity theorem for multiple zeta values via multitangent functions", to appear in Ramanujan J.
Bouillotの還元定理に調和antipodeを噛ませることでparity resultの明示式が出てくる。Ecalleが "shorter terms" って言ってたやつですね。