A.A. 2023/2024 Analisi Matematica II (Gruppo DIM-NES) - Corsi di Laurea  in Ingegneria Meccanica ed  Ingegneria Aerospaziale - Canale SG2

Programma del corso di Analisi Matematica II 2023/2024(versione preliminare)

Registro delle lezioni

Lezione 1 (04/03/2024): Successioni di funzioni: Definizione di convergenza puntuale per successioni di funzioni. Esempi. La convergenza puntuale, in generale, (i) non preserva la continuità, (ii) non preserva la derivabilità, (iii) non commuta con l'integrazione. Esempi. Definizione di convergenza uniforme per successioni di funzioni. Esempi. Riformulazione equivalente della definizione di convergenza uniforme. La convergenza uniforme implica quella puntuale, ma non vale il viceversa. Esempi. 

Lezione 2 (06/03/2024):  Teorema: il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Esempi ed esercizi. 

Lezione 3 (08/03/2024): Serie di funzioni:  Definizione di convergenza puntuale e uniforme per serie di funzioni. Definizione di convergenza totale di una serie di funzioni. Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni: la convergenza totale implica quella uniforme e quella assoluta. La convergenza uniforme non implica quella totale: esempio di serie che converge uniformemente ma non totalmente. Esempi ed esercizi sullo studio della convergenza puntuale e totale (uniforme). Teorema: La somma di una serie di funzioni continue convergente uniformemente è una funzione continua. Teorema di integrazione di una serie termine a termine. Teorema di derivazione di una serie termine a termine (dimostrazione lasciata per esercizio).

Lezione 4 (11/03/2024): Serie di potenze: Definizione di serie di potenze; Teorema: se una serie di potenze converge in un punto $\xi$, allora converge (i) assolutamente in ogni x tale che |x|<|\xi|; (ii) totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(-|\xi|,|\xi|)$.  Definizione di insieme di convergenza e di raggio di convergenza di una serie di potenze. Teorema di caratterizzazione del raggio di convergenza (s.d.). Teorema di Abel (sulla convergenza agli estremi dell'intervallo) (s.d.).  Teorema: la somma di una serie di potenze è una funzione continua nell'intervallo di convergenza. -Criterio di D’Alembert e criterio di Cauchy-Hadamard per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze. Esercizi sulle serie di potenze.

Lezione 5 (13/03/2024): Serie di potenze, serie derivata e serie integrata hanno lo stesso raggio di convergenza. Le serie di potenze possono essere derivate termine a termine e integrate termine a termine nell'intervallo di convergenza. Teorema: la somma f di una serie di potenze con raggio di convergenza \rho>0 è di classe C^\infty in (-\rho,\rho). Inoltre, la serie di potenze coincide con la serie di Taylor di f in (-\rho,\rho). Esempio di una funzione C^\infty che non è sviluppabile in serie di Taylor. Richiami: Formula di Taylor, resto n-esimo e sua forma di Lagrange. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Le funzioni esponenziale, seno e coseno sono sviluppabili in serie di Mac Laurin in R. Sviluppi di arctan(x) e ln(1+x) per integrazione termine a termine di opportune serie geometriche.

Lezione 6 (15/03/2024): Esercizi su successioni e serie di funzioni: studio della convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni, passaggio al limite sotto il segno di integrale, studio della convergenza puntuale e totale (uniforme) di serie di funzioni, determinazione dell'insieme massimale di convergenza di serie di potenze, serie di funzioni riconducibile ad una serie di potenze mediante una sostituzione, calcolo della somma di una serie di potenze ricorrendo a serie notevoli, calcolo di un integrale definito per serie. 

Lezione 7 (18/03/2024): Lo spazio vettoriale euclideo R^n: definizione della norma euclidea e della distanza indotta. Il prodotto scalare in R^n e sue proprietà fondamentali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (s.d.). Successioni di vettori di R^n: Definizione di successione convergente in R^n. Proposizione: la convergenza di una successione in R^n equivale alla convergenza in R di tutte le sue componenti.Topologia di R^n: Definizione di intorno sferico aperto, intorno sferico chiuso, insieme aperto, insieme chiuso, insieme limitato, insieme compatto. Esempi. Teorema di Heine-Borel: un sottoinsieme di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato (s.d.). Punto interno, punto esterno, punto di frontiera, punto di accumulazione, punto isolato. Esempi. Interno di un insieme, chiusura di un insieme, frontiera di un insieme. Principali proprietà ed esempi. Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali: Grafico (nel caso scalare) ed insieme di definizione.

Lezione 8 (22/03/2024): Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali: Insieme di definizione. Esempio. Definizione di limite. Proposizione: una funzione a valori vettoriali f=(f_1,…,f_m) converge ad l=(l_1,…,l_m) se e solo se la funzione componente f_k converge alle componente k-esima del limite l_k per ogni k=1,…,m. Principali proprietà dei limiti: unicità e linearità (s.d.). Definizione di funzione continua. Proposizione: la somma, il prodotto scalare e la composizione di funzioni continue è una funzione continua (s.d). Proposizione: per una funzione a valori vettoriali, la continuità in un punto equivale alla continuità di ogni sua componente nel punto. Esempi di funzioni continue: la traslazione, l’omotetia, la norma, la proiezione k-esima, e il prodotto scalare. Tecniche per lo studio del limite di funzioni di più variabili: Se il limite esiste, allora è lo stesso lungo ogni curva continua passante per il punto. Primo criterio per non esistenza del limite: differenza tra limite destro e sinistro lungo una curva passante per il punto. Secondo criterio per non esistenza del limite: differenza dei limiti lungo due curve distinte passanti per il punto. Osservazione: il fatto che i limiti lungo le direzioni principali esistano e coincidano non garantisce che il limite della funzione esista. Condizione sufficiente per l’esistenza del limite: maggiorazione con una funzione radiale. Il caso di due variabili, calcolo del limite in coordinate polari.

Lezione 9 (25/03/2024): Esercizi sulla non esistenza di limiti, calcolo di limiti, continuità. Teorema della permanenza del segno (s.d.). Insiemi aperti e chiusi definiti tramite disuguaglianze e funzioni continue. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili continue su un compatto. Insiemi connessi, insiemi connessi per poligonali, equivalenza sugli aperti (s.d.), ogni convesso è connesso per poligonali. Teorema dei valori intermedi in R^n. Calcolo differenziale in più variabili: Definizione di derivata parziale e gradiente per funzioni scalari di due variabili. Esempi ed esercizi.

Lezione 10 (27/03/2024): Calcolo differenziale in più variabili: Definizione di derivata parziale e gradiente per funzioni scalari di n variabili. Esempi ed esercizi. Definizione di derivata parziale e gradiente per funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Osservazione: l’esistenza di tutte le derivate parziali di f in un punto non implica la continuità di f nel punto. Esempio. Significato geometrico delle derivate parziali per funzioni scalari di 2 variabili e piano tangente. Definizione di derivata direzionale. Richiami sulle applicazioni lineari: Definizione di applicazione lineare da R^n ad R^m. Proposizione: una applicazione f: R^n -> R^m è lineare se e solo se esiste una matrice A di m righe ed n colonne tale che f(x) = Ax per ogni x in R^n (s.d.). Norma euclidea di una matrice. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per il prodotto matrice vettore (s.d.). Definizione di funzione differenziabile in un punto, definizione di differenziale della funzione f nel punto x. Proposizione: se una funzione f è differenziabile nel punto x, allora esistono tutte le derivate parziali di f in x, e il vettore che rappresenta il differenziale di f in x è il gradiente di f in x. Proposizione: se una funzione f è differenziabile nel punto x, allora esistono le derivate direzionali di f in x in tutte le direzioni. Formula del gradiente per la derivata direzionale quando f è differenziabile.

Lezione 11 (03/04/2024): Interpretazione geometrica della differenziabilità: esistenza ed equazione dell'iperpiano tangente. Interpretazione geometrica del gradiente nel punto x come direzione in cui è massima la crescita della funzione f a partire dal punto x. Proposizione: se f è differenziabile in x allora f è continua in x. Definizione di funzione differenziabile in un punto, definizione di differenziale della funzione f nel punto x nel caso vettoriale. Proposizione: una funzione a valori vettoriali è differenziabile in x se e solo se ciascuna funzione componente è differenziabile in x (s.d.). Proposizione: se una funzione f è differenziabile nel punto x, allora esistono tutte le derivate parziali di f in x, e la matrice che rappresenta il differenziale di f in x è la matrice jacobiana di f in x (s.d.). Teorema del differenziale totale. Dimostrazione (nel caso n = 2, m = 1). Definizione: una funzione è di classe C^1(A) se tutte le sue derivate parziali esistono e sono continue in A. Per le funzioni di classe C^1(A) vale il Teorema del differenziale totale. Esempio di funzione differenziabile che non è di classe C^1. Definizione di punto di minimo/massimo locale per funzioni reali di più variabili. Teorema di Fermat in più variabili. Definizione di punto critico. Osservazione: Il teorema di Fermat non rileva eventuali punti di massimo o minimo locale sul bordo o interni senza derivabilità. Esempi. La condizione non è sufficiente. Esempio di punto di sella e descrizione della sua geometria: punto critico che è di massimo oppure di minimo lungo differenti direzioni.

Lezione 12 (04/04/2024): Formule per il calcolo del gradiente (combinazione lineare, prodotto e rapporto)(s.d.). Teorema di differenziabilità della funzione composta (dimostrazione solo nel caso di restrizione di una funzione di più variabili ad una curva). Definizione delle derivate parziali seconde. Matrice Hessiana. Osservazione: in generale, l'ordine in cui si eseguono le due derivazioni è importante. Esempio di funzione che presenta questo fenomeno. Teorema di Schwarz. Definizione di funzioni di classe C^2. Osservazione: per funzioni di classe C^2 vale il Teorema di Schwarz e la matrice Hessiana è simmetrica. Formula di Taylor di ordine 1 con resto in forma di Lagrange. Formula di Taylor di ordine 2 con resto in forma di Lagrange. Formula di Taylor di ordine 2 con resto di Peano.

Lezione 13 (05/04/2024): Esercizi sulla differenziabilità con i due metodi: uso della definizione o del teorema del differenziale totale. Esercizi su continuità, calcolo della derivata direzionale, esistenza ed equazione del piano tangente. Altri esercizi: sviluppo in serie di Mac Laurin di una funzione razionale utilizzando una opportuna serie geometrica, insieme di convergenza di una serie di funzioni riconducibile a serie di potenze mediante sostituzione.

Lezione 14 (08/04/2024): Definizione di forma quadratica, matrice simmetrica associata. Definizione di forma quadratica definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa, indefinita. Caratterizzazione di queste proprietà in termini degli autovalori della matrice associata. Coercività delle forme quadratiche definite. Esempi. Proposizione: capire se una forma quadratica in R^2 è definita/semidefinita/indefinita tramite il determinante della matrice 2x2 associata alla forma quadratica (s.d.). Esempi ed esercizi. Criterio di Cartesio per determinare il segno delle radici del polinomio caratteristico senza risolvere l'equazione caratteristica (s.d.). Esempi ed esercizi. Condizioni necessarie del secondo ordine per massimi/minimi locali.

Lezione 15 (10/04/2024): Condizioni sufficienti del secondo ordine per massimi/minimi locali. Classificazione dei punti critici di una funzione in base alla sua matrice Hessiana: massimi locali, minimi locali e punti di sella. Esercizi sulla determinazione di eventuali punti di massimo/minimo locale: uso della matrice Hessiana sui punti critici per stabilire se sono massimi e minimi locali. Studio del punto critico nel caso in cui la matrice Hessiana sia semidefinita tramite analisi dell’incremento locale, restrizione lungo curve diverse per mostrare la presenza di punti sella. Massimi e minimi in punti di non derivabilità.

Lezione 16 (12/04/2024): Equazioni differenziali ordinarie:  Definizione di equazione differenziale ordinaria (ODE). Equazioni differenziali in forma normale, ordine di un’equazione differenziale, sistemi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. Osservazione: ogni equazione di ordine n in forma normale si riscrive come sistema di equazioni del primo ordine in forma normale. Problemi di Cauchy. Esempi: caduta libera di un grave, oscillatore armonico. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy di ordine 1 (prima parte della dimostrazione). 

Lezione 17 (15/04/2024): Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy di ordine 1 (seconda parte della dimostrazione).La continuità della derivata parziale di f(t,y) rispetto ad y implica la Lipschitzianità. Osservazione: l'ipotesi di Lipschitzianità è essenziale per avere unicità della soluzione locale. Esempio. Cenno al Teorema di esistenza locale di Peano per il problema di Cauchy. Corollario del teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy: le soluzioni non si toccano. Teorema di regolarità delle soluzioni. Teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy (s.d.). Equazioni a variabili separabili: soluzioni di equilibrio, metodo generale di risoluzione. Esercizi.

Lezione 18 (18/04/2024):  Equazioni differenziali lineari: Definizioni: equazioni differenziali lineari di ordine n, omogenee e non omogenee. Teorema di esistenza globale ed unicità per le equazioni lineari (s.d.). Osservazioni sulle proprietà delle equazioni lineari e delle loro soluzioni: l'integrale generale della equazione non omogenea si ottiene aggiungendo una soluzione particolare all'integrale generale dell'omogenea associata. Proposizione: l’insieme S_0 delle soluzioni di una equazione lineare omogenea di ordine n è un sottospazio di dimensione n dello spazio delle funzioni C^n([a,b]).  Definizione di matrice Wronskiana W. Teorema del Wronskiano e sue conseguenze. Metodo (di Lagrange) di variazione delle costanti arbitrarie. Soluzione generale per equazioni di ordine 1.

Lezione 19 (17/04/2024): Equazione di Bernoulli: riduzione ad una equazione lineare del primo ordine per sostituzione. Esempio: modello (irrealistico) di diffusione delle epidemie. Equazioni lineari omogenee di ordine 2 a coefficienti costanti e loro risoluzione. Legame tra le radici del polinomio caratteristico e le soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione. Esercizi sulle equazioni lineari omogenee di ordine 2 a coefficienti costanti, problemi di Cauchy. Esercizi sulle equazioni lineari non omogenee di ordine 2 a coefficienti costanti: metodo di somiglianza per la ricerca di soluzioni particolari di equazioni lineari non omogenee quando il termine noto sia un polinomio, un polinomio trigonometrico, o un' esponenziale o una combinazione di essi.

Lezione 20 (19/04/2024): Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo di somiglianza. Il metodo di Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie, esercizi. Il principio di sovrapposizione per le equazioni lineari. Esercizi di riepilogo. 

Lezione 21 (03/05/2024): Integrali doppi: Costruzione dell’integrale di Riemann di una funzione f limitata definita su un rettangolo R: partizionamento in sotto-rettangoli, definizione di integrale superiore/inferiore, definizione di somma integrale superiore/inferiore. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale doppio, condizione necessaria e sufficiente di integrabilità (s.d.). Uniforme continuità e Teorema di Heine-Cantor per funzioni di più variabili (s.d.). Teorema: le funzioni continue definite su un rettangolo chiuso sono integrabili. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann in un insieme generico. Significato geometrico dell’integrale nel caso di funzioni positive. Definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan. Proposizione: un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla (s.d.). Osservazione: intersezione, unione e differenza di due insiemi misurabili sono misurabili. Proposizione: il sottografico di una funzione f integrabile secondo Riemann è un insieme misurabile. Teorema: le funzioni continue su un rettangolo chiuso sono integrabili su ogni sottoinsieme misurabile incluso nel rettangolo. 

Lezione 22 (06/05/2024): Teorema: una funzione continua su un insieme misurabile e limitato D, eccetto al più un insieme di misura nulla, è integrabile in D (s.d.). Corollario: funzioni continue definite su un compatto misurabile sono integrabili (s.d.).  Teorema: proprietà di linearità, monotonia, annullamento e additività dell’integrale doppio (s.d.). Definizione di dominio normale (o semplice) rispetto ad uno degli assi. Un dominio normale è misurabile secondo Peano-Jordan ed è compatto. Teorema di riduzione (o di Fubini) su un rettangolo. Corollario: formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Esercizi.

Lezione 23 (08/05/2024): Teorema di cambiamento di variabili per integrali doppi (s.d.). Coordinate polari in R^2, determinante Jacobiano associato ed interpretazione geometrica. Esercizio sul calcolo di un integrale doppio in coordinate polari. Esercizio sul calcolo di un integrale doppio con un opportuno cambio di variabili che trasforma un trapezio in un rettangolo coordinato. Integrali tripli:  Costruzione dell’integrale di Riemann di una funzione f limitata definita su un parallelepipedo: partizionamento in sotto-parallelepipedi, somma integrale superiore/inferiore, definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale triplo. Criterio di integrabilità (s.d.). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann in un insieme generico. Definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan. Proposizione: un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura tridimensionale nulla (s.d.). Teorema: le funzioni continue definite su parallelepipedo chiuso sono integrabili nel parallelepipedo, e su ogni sottoinsieme misurabile incluso nel parallelepipedo (s.d.).Teorema: funzioni continue definite su un compatto misurabile sono integrabili(s.d.). Teorema: proprietà di linearità, monotonia e additività dell’integrale triplo (s.d.). Teorema di Fubini su parallelepipedi (s.d.). 

Lezione 24 (10/05/2024): Definizione di dominio normale rispetto all'asse z, che risulta essere un compatto misurabile. Formula di integrazione per fili su domini normali (s.d.). Formula di integrazione per sezioni (s.d.). Esercizi. Applicazione: calcolo del volume di un tronco di paraboloide integrando per fili, calcolo dello stesso volume integrando per sezioni. Teorema di cambiamento di variabili per integrali tripli (s.d.). Coordinate cilindriche in R^3. Esercizio. Coordinate sferiche in R^3: raggio, colatitudine, longitudine. Applicazione: calcolo del momento d'inerzia di un ottante di sfera. Calcolo del volume di un solido di rotazione. Esempio: calcolo del volume di un cono.

Lezione 25 (13/05/2024): Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione. Esempio: calcolo del volume di un toro. Curve in R^n: Moto del punto materiale, legge oraria e traiettoria, vettore velocità. Definizione di curva in R^n, sostegno di una curva, curva semplice, curva chiusa. Esempi: circonferenza, curva strofoide e cappio strofoide, cicloide, curve grafico, ellisse, elica cilindrica.  Definizione di curva regolare, curva regolare a tratti, vettore tangente, versore tangente. Equazione parametrica/cartesiana della retta tangente ad una curva. Esercizio. Definizione di curve equivalenti e di cambiamento ammissibile di parametro. Esempi. Verso di percorrenza indotto dalla parametrizzazione, legame col cambio di parametro per curve equivalenti.

Lezione 26 (14/05/2024): Definizione di lunghezza di una curva. Significato geometrico. Curve rettificabili. Teorema di rettificabilità per curve di classe C^1 (o C^1 a tratti) (s.d.). In particolare, curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Esempi. Esercizi sul calcolo della lunghezza di una curva parametrica (elica cilindrica, arco di cicloide) e di una curva grafico (un arco della catenaria). Curve in coordinate polari, calcolo della lunghezza: arco di spirale logaritmica, cardioide. Parametrizzazione per ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di prima specie: Definizione di integrale curvilineo di una funzione lungo una curva. Interpretazione geometrica come area della superficie compresa tra il sostegno della curva e il grafico della funzione. Proprietà dell’integrale curvilineo (s.d.) Proposizione: l'integrale curvilineo è invariante per cambiamenti ammissibili di parametro. 

Lezione 27 (15/05/2024): Esercizi su integrali curvilinei, calcolo della massa totale di un filo rigido, calcolo di momenti di inerzia rispetto ad uno degli assi. Integrali curvilinei di seconda specie: Definizione di integrale curvilineo di seconda specie per un campo vettoriale. Interpretazione fisica: tale integrale rappresenta il lavoro totale compiuto dal campo di forze per spostamenti lungo una curva regolare. Proposizione: gli integrali curvilinei di seconda specie dipendono dal verso di percorrenza della curva. Ogni integrale curvilineo di seconda specie si può esprimere come l' integrale curvilineo di prima specie lungo la curva del prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il versore tangente alla curva. Esercizi. Superfici parametriche regolari: Richiami sul prodotto vettoriale in R^3. Definizione di superficie regolare, sostegno, equazioni parametriche. Esempi di superfici regolari: la sfera, le superfici cartesiane con f di classe C^1, superfici di rotazione: tronco di paraboloide.

Lezione 28 (17/05/2024): La superficie laterale di un cono con vertice nell'origine non è regolare nell'origine. Equazione del piano tangente ad una superficie e versore normale ad una superficie. Esercizio. Piano tangente nel caso di una superficie cartesiana. Area della superficie, definizione e giustificazione non rigorosa della definizione. Esempio nel caso del grafico di una funzione f di classe C^1. Esercizio: area di una porzione di paraboloide iperbolico che si proietta sul cerchio unitario. Area delle superfici di rotazione. Teorema di Guldino per l’area delle superfici di rotazione. Esempio: calcolo dell’area di un toro. Definizione di integrale di superficie di una funzione scalare. Esercizi

Lezione 29 (20/05/2024): Orientamento di una superficie, esempi di superfici orientabili (superficie laterale di un cilindro, superficie cartesiana, la sfera) e non orientabili (il nastro di Möbius). Definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Esercizio. Funzione implicita e Teorema del Dini: Definizione di insieme di livello. Esempi. Rappresentazione del grafico di una funzione per insiemi di livello. Perpendicolarità del gradiente alle linee di livello. Definizione di funzione definita implicitamente. Teorema del Dini della funzione implicita in due variabili. Punti singolari e punti regolari dell'insieme di livello. Regolarità della funzione implicita. Calcolo della derivata prima della funzione implicita. Interpretazione geometrica del Teorema del Dini. Equazione della retta tangente al sostegno della curva definita implicitamente dall'equazione F(x,y)=0.

Lezione 30 (22/05/2024): Osservazione sulla sviluppabilità della funzione implicita tramite formula di Taylor. L'ipotesi che il punto sia regolare è essenziale per l'esistenza ed unicità della funzione implicita. Esempi. Teorema del Dini della funzione implicita in tre variabili (s.d.). Esercizi sul Teorema del Dini in dimensione 2 e 3. Interpretazione geometrica. Equazione del piano tangente alla superficie definita implicitamente dall'equazione F(x,y,z)=0. Massimi e minimi vincolati: Definizione di massimo e minimo locale vincolato. Considerazioni preliminari. Massimi e minimi assoluti di una funzione continua su un compatto. Vincoli esplicitabili: metodo diretto. Condizione necessaria affinché f abbia un estremo vincolato in un punto: il gradiente di f nel punto è ortogonale al vincolo. Dimostrazione nel caso che il vincolo coincida con il sostegno di una curva regolare o con una superficie regolare. Punti stazionari vincolati. Esercizi: ottimizzazione vincolata su una una parabola e una ellisse.

Lezione 31 (24/05/2024): Esercizi: ottimizzazione vincolata sulla frontiera di un rettangolo. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Confronto col metodo diretto. Definizione di Lagrangiana. Legame tra gli estremi vincolati di f e i punti critici liberi della Lagrangiana. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due e tre variabili. Interpretazione geometrica: tangenza delle linee di livello nei punti di estremo vincolato. Massimi e minimi assoluti per funzioni continue su un insieme compatto: uso del Teorema di Weierstrass per la classificazione dei punti stazionari vincolati. Esercizi. 

Lezione 32 (27/05/2024): Esercizi sull'ottimizzazione vincolata: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e metodo diretto. Massimi e minimi assoluti di funzioni continue su insiemi compatti. Esercizi di riepilogo: integrale doppio, integrale triplo, calcolo di volume, momento d'inerzia, baricentro, lunghezza di un arco di curva, area di una superficie regolare, flusso di un campo vettoriale, funzione implicita.

Lezione 33 (29/05/2024): Campi vettoriali / Forme differenziali lineari:  Campi vettoriali: definizione di rotore del campo. Campi irrotazionali. Definizione di forma differenziale lineare su R^n associata ad un campo vettoriale F su R^n. Il linguaggio matematico delle forme differenziali lineari a confronto con quello fisico dei campi vettoriali. Definizione di integrale di una forma differenziale lungo una curva. Proposizione: integrale di una forma differenziale lungo due curve equivalenti. Definizione di forma differenziale esatta, di primitiva, di campo conservativo e di potenziale di un campo conservativo. Proposizione: l’integrale di una forma esatta lungo una curva è dato dalla differenza di potenziale nei punti finale e iniziale. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte su aperti connessi: una forma è esatta se e solo se ha integrale nullo lungo ogni curva chiusa. Definizione di forma differenziale chiusa. Il campo vettoriale associato è irrotazionale. Proposizione: le forme esatte di classe C^1 sono forme chiuse.

Lezione 34 (31/05/2024): L'essere una forma chiusa, in generale, è solo condizione necessaria per l'esattezza. Esempio. Definizione (non rigorosa) di insieme semplicemente connesso. Vari esempi in R^2 e R^3 di insiemi che sono o non sono semplicemente connessi. Definizione di insieme stellato rispetto un punto. Gli insiemi stellati sono semplicemente connessi. Gli insiemi convessi sono stellati rispetto ogni loro punto, e quindi semplicemente connessi. Teorema: una forma chiusa in un aperto A semplicemente connesso è esatta in A. L' ipotesi che A sia semplicemente connesso è solo sufficiente. Esempio di campo conservativo in un aperto che non è semplicemente connesso. Esercizi sulle forme differenziali / Campi vettoriali: determinazione di un potenziale in regioni semplicemente connesse in due modi diversi. Calcolo del lavoro del campo vettoriale lungo una curva. Integrali curvilinei di forme differenziali chiuse in R^2 privato di un punto lungo curve semplici chiuse che circondano il punto: il valore dell'integrale è lo stesso se le curve sono orientate nello stesso verso. 

Lezione 35 (03/06/2024): Definizione di dominio semplice regolare, definizione di dominio regolare.

Definizione di frontiera orientata positivamente di un dominio regolare piano. Versore tangente e versore normale. Parametrizzazione che induce il verso di percorrenza positivo e una che induce il verso opposto.

Teorema: formule di Gauss-Green nel piano (dimostrazione nel caso di domini semplici regolari, idea del caso generale). Deduzione del Teorema di Gauss-Green e del Teorema della divergenza nel piano.

Teorema: una forma chiusa in un aperto A semplicemente connesso è esatta in A (dimostrazione nel piano utilizzando il Teorema di Gauss-Green). Formule per il calcolo dell’area di una regione piana. Esercizi: calcolo del lavoro di un campo di forze piano mediante il Teorema di Gauss-Green e calcolo del flusso di un campo vettoriale piano uscente dalla frontiera mediante il Teorema della divergenza nel piano. Esercizi sui campi vettoriali: uso delle formule di Gauss-Green per il calcolo di alcuni integrali doppi, della Formula di Stokes nel piano per il calcolo del lavoro di un campo di forze piano, delle formule per il calcolo delle aree, area di una regione piana racchiusa da una curva in forma polare. 

Lezione 36 (05/06/2024): Definizione di superficie con bordo. Orientazione positiva del bordo. Esempi.

Le superfici chiuse sono prive di bordo.Teorema del rotore (o formula di Stokes) (s.d.). Esercizio di calcolo del flusso usando la definizione ed usando il teorema del rotore. Cenni sulle superfici regolari a pezzi. Teorema della divergenza (s.d.). Esercizi.

Lezione 37 (07/06/2024): Esercizi: nell'applicare il teorema della divergenza quando la superficie non racchiude un volume si deve "aggiungere un tappo''. Esercizi di riepilogo.