A.A. 2022/2023 Analisi Matematica I (Gruppo MAS-ROM) - Corsi di Laurea  in Ingegneria Informatica, Ingegneria dell'Automazione, Ingegneria Biomedica e Ingegneria Elettronica - Canale FG4

Programma del corso di Analisi Matematica I

Registro delle lezioni

Lezione 1 (29/09/2022): Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, inadeguatezza dei numeri razionali per misurare le lunghezze. Definizione assiomatica dell'insieme dei numeri razionali.

Lezione 2 (30/09/2022): Definizione assiomatica dell'insieme dei numeri reali. Maggioranti e minoranti di un insieme numerico. Insiemi limitati. Massimi e minimi di un insieme numerico. Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico: definizione e principali proprietà. Esercizi.

Lezione 3 (04/10/2022): Assioma di continuità. Sommatorie e loro proprietà formali. Applicazioni: la somma dei primi n numeri naturali. Somma della progressione geometrica. Fattoriale e coefficienti binomiali. Il binomio di Newton. Il principio di induzione.

Lezione 4 (06/10/2022): Applicazioni del principio di induzione: disuguaglianza di Bernoulli e teorema binomiale. Il valore assoluto di un numero reale. La diseguaglianza triangolare per i numeri reali. Disequazioni elementari col valore assoluto. Radice n-esima.

Lezione 5 (07/10/2022): Disequazioni elementari con le potenze ad esponente intero. Potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale. Logaritmi. Disequazioni elementari.

Lezione 6 (11/10/2022): Numeri complessi: definizioni, somma e prodotto. L'insieme dei numeri complessi ha una struttura di campo non ordinabile. Forma algebrica dei numeri complessi, parte reale, parte immaginaria, rappresentazione nel piano di Gauss. Coniugato e modulo, proprietà. Disuguaglianza triangolare. Esercizi: forma algebrica del rapporto di numeri complessi, risoluzione di alcune equazioni nel campo complesso utilizzando parte reale ed immaginaria.

Lezione 7 (13/10/2022): Richiami di trigonometria. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formule di De Moivre: prodotto, divisione, potenze. Interpretazione geometrica del prodotto di numeri complessi. Applicazioni: calcolo di potenze, risoluzione di alcune equazioni. Esponenziale complessa e forma esponenziale. Radici n-esime.

Lezione 8 (14/10/2022): Teorema sull'esistenza delle radici n-esime. Esercizi: calcolo di radici n-esime e rappresentazione nel piano di Gauss. Interpretazione geometrica delle radici n-esime. Equazioni polinomiali di secondo grado a coefficienti complessi, esercizi. Teorema fondamentale dell'Algebra. Esercizi di riepilogo. 

Lezione 9 (18/10/2022): Funzioni reali di variabile reale, generalità, dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate. Estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni monotone, funzioni periodiche. Funzioni elementari, proprietà e grafico: funzione potenza con esponente naturale, funzione radice n-esima, funzione potenza con esponente intero relativo, funzione valore assoluto, funzione parte intera, funzione potenza con esponente reale, osservazione sulle potenze ad esponente razionale.

Lezione 10 (21/10/2022): Funzioni elementari, proprietà e grafico: funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione seno e funzione coseno. Funzioni invertibili e funzioni inverse. Teorema di invertibilità delle funzioni strettamente monotone. Grafico della funzione inversa. Esempi di funzione inversa: potenza con esponente naturale e radice n-esima sono una l'inversa dell'altra nel caso di esponente dispari, il caso esponente pari, esponenziale e logaritmo. Applicazioni del Teorema di invertibilità delle funzioni strettamente monotone: le funzioni trigonometriche inverse, arcoseno e arcocoseno, risoluzioni delle equazioni trigonometriche elementari sin(x)=y e cos(x)=y usando le funzioni trigonometriche inverse.

Lezione 11 (25/10/2022): Funzioni elementari, proprietà e grafico: funzione tangente. Funzioni trigonometriche inverse: arcotangente. Funzioni composte. Esercizi sulla determinazione dei campi di esistenza.

Lezione 12 (27/10/2022): Successioni numeriche. Definizione di limite di una successione. Unicità del limite. Successioni limitate. Limitatezza delle successione convergenti. Successioni divergenti, infiniti ed infinitesimi.

Lezione 13 (28/10/2022): Successioni monotone. Teorema: le successioni monotone sono regolari. Studio della successione geometrica. Algebra dei limiti di successioni convergenti. Metodi di confronto: il teorema della permanenza del segno.

Lezione 14 (02/11/2022): Metodi di confronto: teorema del confronto a due e seconda forma del teorema della permanenza del segno; Teorema del confronto a tre o dei carabinieri, conseguenze: il prodotto di una successione limitata per una infinitesima è infinitesimo. Confronti tra infiniti. Il numero di Nepero e definito come limite di una successione convergente.

Lezione 15 (03/11/2022): Metodi di confronto: teorema del confronto a due per successioni divergenti, applicazioni al confronto tra infiniti. Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito. Forme indeterminate. Limiti di funzioni: punti di accumulazione, definizione successionale del limite di funzione. Intorni. Teoremi sui limiti di funzione: unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teoremi di confronto. Algebra dei limiti finiti, aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito.

Lezione 16 (04/11/2022): Limiti notevoli del seno, coseno, tangente, numero e. Limite destro, limite sinistro, esistenza del limite in termini di limite destro e sinistro. Definizione topologica (o "epsilon-delta") di limite di funzione. Teorema: le definizioni successionale e topologica di limite sono equivalenti. Funzioni continue, definizione. Esempio: la funzione seno è continua in R.  

Lezione 17 (08/11/2022): Teorema: le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Proposizione: algebra delle funzioni continue, la composizione di funzioni continue è continua. Limiti notevoli: logaritmo, funzione esponenziale, funzione potenza e arcotangente. Esercizi sul calcolo di limiti di successione e di funzione.

Lezione 18 (10/11/2022): Asintoti, esercizi. Classificazione dei punti di discontinuità, esempi. Gerarchia di infiniti. Teorema degli zeri. Applicazione: Teorema dei valori intermedi.

Lezione 19 (11/11/2022): Massimo e minimo/punti di massimo/minimo per una funzione. Teorema di Weierstrass: discussione delle ipotesi con esempi, dimostrazione. Strumenti per la dimostrazione del Teorema di Weierstrass: successioni estratte, Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dim.), Lemma sull'esistenza di una successione minimizzante. Proposizione: una funzione continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo in [a,b]. Applicazione del teorema dei valori intermedi: criterio di invertibilità delle funzioni continue.

Lezione 20 (15/11/2022): Calcolo differenziale: derivata di una funzione nei punti interni di un intervallo, significato geometrico, derivata destra e derivata sinistra agli estremi di un intervallo chiuso. Proposizione: la derivabilità in un punto implica la continuità nel punto. Il viceversa, in generale, non è vero: l'esempio della funzione modulo, punti angolosi. Derivazione delle funzioni elementari: potenza con esponente naturale, esponente reale, seno, coseno, tangente, funzione esponenziale. Teorema sulla derivata della funzione inversa. Applicazioni: calcolo delle derivate delle funzioni logaritmo, arcoseno, arcocoseno ed arcotangente. Teorema sull'algebra delle derivate.

Lezione 21 (16/11/2022): Interpretazione geometrica della derivata ed approssimazione lineare, esempi, Teorema di derivazione delle funzioni composte (regola della catena), Applicazioni delle derivate: definizione di massimo e minimo locale (o relativo), Teorema di Fermat, punti stazionari, punti stazionari che non sono né di minimo né di massimo relativo: punti di flesso a tangente orizzontale. Ricerca di massimo e minimo assoluto per funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b). Monotonia e derivate: il Teorema di Rolle ed il Teorema di Lagrange (o del valor medio).

Lezione 22 (17/11/2022): Applicazioni dei Teoremi di Rolle e di Lagrange: criterio di monotonia (o test di monotonia) per funzioni derivabili, calcolo della derivata destra/sinistra mediante il limite destro/sinistro della derivata, il Teorema di de l'Hôpital. Esercizi: calcolo di limiti con il Teorema di de l'Hôpital, studio di continuità e derivabilità di funzioni definite a tratti. 

Lezione 23 (17/11/2022): Applicazioni del Teorema di de l'Hôpital: gerarchia degli infiniti. Derivate successive, derivata seconda, significato geometrico. Sopragrafico (o epigrafico) di una funzione, insiemi convessi, funzioni convesse/concave. Il grafico di una funzione convessa è sempre al di sotto delle sue corde. Teorema sulle proprietà delle funzioni convesse: continuità, derivabilità da destra e da sinistra in ogni punto, derivata prima crescente, derivata seconda non negativa. Conseguenze: il grafico di una funzione convessa è sempre al di sopra delle sue tangenti. Teorema: classificazione dei punti stazionari mediante la derivata seconda. Classificazione dei punti di non derivabilità: flessi a tangente verticale, cuspidi. Punti di flesso e derivata seconda. 

Lezione 24 (23/11/2022): Esercitazione: studio di funzione, calcolo di limiti.

Lezione 25 (24/11/2022): Approssimazione di funzioni mediante polinomi, Polinomio di Taylor all'ordine n di centro x0 e sue proprietà. Simboli di Landau: gli "o-piccolo" e loro proprietà. Formula di Taylor all'ordine n con resto di Peano. Applicazioni al calcolo dei limiti. 

Lezione 26 (25/11/2022): Sviluppi di MacLaurin di alcune funzioni elementari, applicazioni al calcolo dei limiti. Formula di Taylor all'ordine n con resto di Lagrange. Applicazioni: calcolo approssimato con precisione assegnata di sin(1) e del numero di Nepero. 

Lezione 27 (29/11/2022): Esercitazione: calcolo dei limiti di successione e di funzione utilizzando gli sviluppi di Taylor.

Lezione 28 (30/11/2022): Integrale secondo Riemann: integrale come limite di somme, partizioni, somme integrali di Riemann inferiori e superiori, integrale superiore ed inferiore, definizione di integrale definito secondo Riemann. Proposizione: una funzione monotona in [a,b] è integrabile in [a,b] secondo Riemann. Uniforme continuità, relazione con la continuità, Teorema di Heine-Cantor (senza dimostrazione). Teorema di Riemann: una funzione continua in [a,b] è ivi integrabile secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione, confronto.

Lezione 29 (01/12/2022): Primitive, caratterizzazione delle primitive di f nell'intervallo [a,b], integrale indefinito. Calcolo degli integrali definiti: la Formula fondamentale del calcolo integrale, esempi. Metodi di integrazione: la formula di integrazione per parti. Funzione integrale. Teorema della media integrale.

Lezione 30 (02/12/2022): Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: integrazione per sostituzione. Applicazioni della prima formula di integrazione per sostituzione: ricondurre un integrale ad un integrale "da tabella" immediato. Calcolo di alcuni integrali di funzioni razionali.

Lezione 31 (05/12/2022): Integrazione delle funzioni razionali, esercizi. Integrazione per sostituzione: funzioni razionali della funzione esponenziale.

Lezione 32 (06/12/2022): Alcuni casi notevoli di uso della formula di integrazione per parti. Integrazione delle funzioni trigonometriche: formule parametriche. Le funzioni iperboliche e loro proprietà. Metodo alternativo alla decomposizione in fratti semplici in presenza di radici multiple: decomposizione di Hermite.

Lezione 33 (07/12/2022): Integrazione delle funzioni irrazionali (i radicandi sono polinomi di grado 2): sostituzioni con funzioni goniometriche ed iperboliche. Integrazione delle funzioni irrazionali (radicandi di grado uno): radicali con lo stesso indice e con indici diversi. Integrali definiti di funzioni con il modulo, uso delle formule di prostaferesi per il calcolo di alcuni integrali di funzioni goniometriche.

Lezione 34 (13/12/2022): Serie numeriche: Definizione, ridotta m-esima e successione delle somme parziali. Carattere di una serie: serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza. La condizione non è sufficiente: esempi. La serie geometrica. Applicazione: frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico. La serie di Mengoli e le serie telescopiche. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Regolarità delle serie a termini di segno costante. Criteri di convergenza per serie numeriche a termini di segno costante: criterio del confronto, esempi. 

Lezione 35 (15/12/2022): Criteri di convergenza per serie numeriche a termini di segno costante: criterio del confronto asintotico. Caso speciale del confronto con la serie armonica generalizzata: il criterio degli infinitesimi. Il criterio del confronto integrale (sd). La serie di Abel. Criteri di convergenza per serie numeriche a termini di segno costante: il criterio della radice e del rapporto (confronto con la serie geometrica). Esempi ed esercizi. 

Lezione 36 (16/12/2022): Serie a termini di segno qualunque: serie assolutamente convergenti. Criterio dell'assoluta convergenza: una serie assolutamente convergente è convergente. Esempi di serie convergenti ma non assolutamente convergenti. I criteri del confronto, della radice e del rapporto in combinazione con il criterio dell'assoluta convergenza. Caso speciale di serie a termini di segno qualunque: le serie a termini di segno alterno. Condizione sufficiente per la convergenza di una serie a termini di segno alterno: il criterio di Leibniz (sd). La serie armonica alternata, stima del numero ln(2). Esercizi vari sulle serie.